1、7.3.2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差讲课人：邢启强21、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望1122()iinnE Xx px px px p2、数学期望的性质、数学期望的性质baEXbaXE )(P1xix2x1p2pipnxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平数学期望是反映离散型随机变量的平均水平复习引入复习引入3、如果随机变量、如果随机变量X服从两点分布为服从两点分布为X10Pp1p则则()E Xp讲课人：邢启强3问题问题1.甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件件产品所出的不合
2、格品数分别用产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，表示， X1，X2的概率分布下的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1E(XE(X1 1) )0 00.60.61 10.20.22 20.10.13 30.10.10.70.7E(XE(X2 2) )0 00.50.51 10.30.32 20.20.23 30 00.70.7E(XE(X1 1) )0 00.70.71 10.10.12 20.10.13 30.10.10.60.6新课引入
3、新课引入讲课人：邢启强4如何评价这两名同学的射击水平？如何评价这两名同学的射击水平？E(X)= 8 ;E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。问题问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数乙两名同学击中目标靶的环数X和和Y的分布列如下表的分布列如下表1和表和表2所示：所示：新课引入新课引入射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，射击水平除了要考虑击中环
4、数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是图一和图二分别是X和和Y的概率分布图：的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。环，即乙同学的设计成绩更稳定。讲课人：邢启强5怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度?学习新知学习新知我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3
5、,3,4；则所得的；则所得的平均环平均环数数是多少？是多少？104332221111 X21014102310321041 X1234P104103102101讲课人：邢启强6某人射击某人射击10次次,所得环数分别是所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的；则这组数据的方差方差是多少？是多少？1)24()23()23()22()22()22()21()21()21()21(10122222222222 s)()()(122212xxxxxxnsni 22222)24(101)23(102)22(103)21(104 s加权平均加权平均反映这组数据相对于平均值的集中程
6、度的量反映这组数据相对于平均值的集中程度的量新课引入新课引入讲课人：邢启强7离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：的概率分布列为：22211()()()()iinnD XxEXpxEXpxEXp则称则称为随机变量为随机变量X的的方差，有时也记为方差，有时也记为Var(X). niiipEXx12)(P1xix2x1p2pipnxnpX称称为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于
7、均值的平均程度越小，即越集中于均值。小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 .sigma,国际音标为国际音标为为希腊字母为希腊字母学习新知学习新知讲课人：邢启强8随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。因此，问题因此，问题1中两名同学中两名同学射击射击成绩的方差和标准差
8、来刻画它们成绩的稳定性。成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:21062106()(8)()1.16,()1.077;( )(8)()0.92,( )0.959;iiD XiP XiD XD YiP YiD Y因为因为D(Y)D(X)(等价地，等价地， ) ，所以随机变量，所以随机变量Y的取值相对更集中，的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。即乙同学的射击成绩相对更稳定。D(Y)E(Y),所以投资股票所以投资股票A的期望收益较大的期望收益较大。解：解：（2)股票股票A和股票和股票B投资收益的方差分别为投资收
9、益的方差分别为 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因为因为E(X)和和E(Y)相差不大，且相差不大，且D(X)D(Y),所以资股票所以资股票A比投资股票比投资股票B的风险高的风险高。讲课人：邢启强13例例3.3.甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100100件产品所出的不合格品数分别用件产品所出的不合格品数分别用X X1 1，X X2 2表示，表示， X X1 1，X X2 2的概率分布下的概率分布下：X20123
10、pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1E(X1)0.600.210.120.130.7E(X2)0.500.310.22030.7乙的技术稳定性较好乙的技术稳定性较好典型例题典型例题D(X1)0.6(0-0.7)20.2(1-0.7)20.1(2-0.7)20.1(3-0.7)21.01D(X2)0.5(0-0.7)20.3(1-0.7)20.2(2-0.7)20(3-0.7)20.61讲课人：邢启强14例例2:甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1, X2分布列
11、如下：分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平.X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：12()9,()9E XE X12()0.4,()0.8D XD X表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。环。典型例题典型例题讲课人：邢启强15问题问题1：如果你是教
12、练：如果你是教练,你会派谁参加比赛呢你会派谁参加比赛呢?问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选环左右，应派哪一名选手参赛？手参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选环左右，应派哪一名选手参赛？手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.412()9,()9E XE X12()0.4,()0.8D XD X讲课人：邢启强16练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工
13、资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概率获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？巩固练习巩固练习解：解：1400,140021 EXEX1240000,160000DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认能力很强，应选择
14、工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。讲课人：邢启强171给出下列四个命题：离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度则正确命题应该是()A BC DD巩固练习巩固练习讲课人：邢启强182把下面X的分布列填写完整：并完成问题其中p(0,1)，则E(X)_，D(X)_.X01PP巩固练习巩固练习解析：而由已知分布列的性质有px1，x=1-p E(X)0(1-p)1pp，D(X)(0p)2(1-p)(1p)2pp(1-p).答案：1-p p p(1-p)讲课人：邢启强19巩固练习巩固练习讲课人：邢启强201、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式、记住几个常见公式DXabaXD2)( 22()( ()E XE X课堂小结课堂小结
