1、5.2.3简单复合函数的导数 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习简单复合函数的导数本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.了解复合函数的概念B理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数1.数学抽象：复合函数 2.逻辑推理：复合函数的求导法则 3.数学运算：复合函数的求导 重点： 复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 新
2、知探究探究1. 如何求y=(1+x)3导数呢？解析：方法一：y=(1+x)3=x3+3x2+3x+1y=(x3)+(3x2)+(3x)+(1)=3x2+6x+3若求y=(1+x)6的导数呢？还有其它求导方法吗？探究2. 如何求y=ln(2x-1)导数呢？分析：函数y=ln(2x-1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点若设u=2x-1x12,则y=lnu，从而y=ln2x-1可以看成是由y=lnu和u=2x-1x12,经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数。如果把y与u的关系记作y=fu，u和x
3、的关系记作u=gx，那么这个“复合”过程可表示为若设y=fu=fgx=ln2x-11复合函数的概念一般地，对于两个函数yf (u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf (u)和ug(x)的复合函数，记作_yf (g(x) 思考：函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？提示函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的探究3： 求函数y=sin2x的导数 分析：令u=2x,得y=sinu以yx表示y对x的导数，yu表示y对u的导数，一方面，yx =(sin2x)=(2sinxcosx)=2(sinx)cosx+sinx(cosx
4、) =2cosxcosx+sinx(-sinx) =2(cos2x-sin2x) = 2cos2x另一方面yu =(sinu)= cosu，ux =(2x)=2可以发现yx= 2cos2x =cosu2=yu ux2复合函数的求导法则复合函数yf (g(x)的导数和函数yf (u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_ _yuux; y对u的导数与u对x的导数的; 乘积 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin(x)的复合过程是ysin u，ux ()(2)f (x)ln(3x1)则f (x) ()(3)f (x)x2cos2x，则f (x)2xcos2x2
5、x2sin2x ()提示(2)中f (x). (3)中，f (x)2xcos 2x2x2sin 2x.答案(1)(2)(3)2函数y的导数是()A BC DCy，y2(3x1).3下列对函数的求导正确的是()Ay(12x)3，则y3(12x)2Bylog2(2x1)，则yCycos，则ysinDy22x1，则y22xln 2DA中，y6(12x)2，A错误；B中，y，B错误；C中，ysin，C错误；D中y22x1ln 2(2x1)22xln 2.故D正确二、 典例解析例6.求下列函数的导数（1）y=（3x+5）3; （2）y=e-0.05x+1;(3) y=ln(2x-1)解：（1）函数y=（
6、3x+5）3可以看作函数y=u3和y=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则，有yx=yu ux=(u3) (3x+5)=3u3 3=9（3x+5）3（2）函数y=e-0.05x+1可以看作函数y=eu和u=-0.05x+1的复合函数，根据复合函数求导法则，有yx=yu ux=(eu) (-0.05x+1)=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1（3）函数y=ln2x-1可以看成是由y=lnu和u=2x-1的复合函数，根据复合函数求导法则，有yx=yu ux=(lnu) (2x-1)=21u=22x-11解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函
7、数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)y.解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x).(4)(ln 3x)(3x).y.例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数
8、满足关系式y=18sin(23t-2) .求函数在时的导数，并解释它的实际意义。解：函数y=18sin(23t-2) 可以看作函数y=18sinu和u=23t-2的复合函数，根据复合函数的求导法则，有yt=yu ut=(18sinu) (23t-2)=18cosu23= 12cos(23t-2) 当t=3时，yt=12cos(32)=0它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)ycos； (2)yx2tan x.思路探究先将给出的解析式化简整理，再求导解(1)ycoscossincos2sin x(1cos x)(sin xcos x)，y(si
9、n xcos x)(cos xsin x)(2)因为yx2，所以y(x2)2x2x.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过对复合函数的概念及求导法则的推导。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。
10、三、达标检测1函数y(x21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21 By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)n Dy(t1)n，tx21答案A2函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2xBy(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3已知f (x)ln(3x1)，则f (1)_.f (x)(3x1)，f (1).4已知f (x)xex，则f (x)在x2处的切线斜率是_
11、f (x)xex，f (x)exxex(1x)ex，f (2).根据导数的几何意义知f (x)在x2处的切线斜率为kf (2).5求下列函数的导数：(1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)yx.解(1)令u3x2，则y10u.所以yxyuux10uln 10(3x2)3103x2ln 10.2)令uexx2，则yln u.yxyuux(exx2).(3)y(x)x().6.曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是?解：设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，y|2，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0)切点(1，0)到直线2xy 30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁2和与差的运算法则可以推广f (x1)f (x2)f (xn)f (x1)f (x2)f (xn)五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。从问题出发，引导学生探究复合函数的求导问题，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。
