1、第 1 页，共 21 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知曲线() = + 3在点(0,(0)处的切线与直线 + 4 + 1 = 0垂直， 则实数 a 的值为( )A. 4B. 1C. 1D. 42.已知各项不为 0 的等差数列满足5227+28= 0， 数列是等比数列且7=7，则212等于()A. 49B. 32C. 94D. 233.对于函数()，若存在区间 = ,使得| = (), = 则称函数()为“同域函数”，区间 A 为函数()的一个“同城区间”.给出下列四个函数：() = cos2；()
2、 = 21；() = |21|；() =log2(1)存在“同域区间”的“同域函数”的序号是()A. B. C. D. 4.设为两个非零向量,的夹角，已知对任意实数 t，| +|的最小值为 1，则()A. 若|确定，则 唯一确定B. 若|确定，则唯一确定C. 若确定，则|唯一确定D. 若确定，则|唯一确定5.已知点(,)是直线 = 2 24上一动点，PM 与 PN 是圆 C：2+(1)2= 1的两条切线，M，N 为切点，则四边形 PMCN 的面积的最小值为()A. 43B. 23C. 53D. 56第 2 页，共 21 页6.已知函数() = ( + )( 0, 0,0 0)的左右焦点分别是1
3、、2，以2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线1恰好与圆2相切于点 P，则椭圆的离心率为()A. 31B. 3+ 12C. 22D. 51210.已知函数() = 3的图象的一条对称轴为直线 =56，且(1) (2) = 4，则|1+2|的最小值为()A. 3B. 0C. 3D. 2311.若函数() = (3)133+2只有一个极值点，则 k 的取值范围为()A. (,)B. 0,C. (,2)D. (0,2第 3 页，共 21 页12.双曲线2222= 1( 0, 0)的左右焦点分别为1，2， 过1的直线交曲线左支于A，B 两点， 2是以 A 为直角顶点的直角三角形， 且2
4、= 30.若该双曲线的离心率为 e，则2= ( )A. 11 + 4 3B. 13 + 5 3C. 166 3D. 1910 3二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量，| = 1，| = 2，且|2 + | =10，则 = _14.已知抛物线 E：2= 12的焦点为 F，准线为，过 F 的直线 m 与 E 交于 A，B 两点，过 A 作 ，垂足为 M，AM 的中点为 N，若 ，则| = _15.已知函数() = (22)1，若当 1时，() + + 0有解，则 m的取值范围为_16.数列为 1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，首先给出1= 1，
5、接着复制该项后，再添加其后继数 2，于是2= 1，3= 2，然后再复制前面所有的项 1，1，2，再添加 2 的后继数 3，于是4= 1，5= 1，6= 2，7= 3，接下来再复制前面所有的项 1，1，2，1，1，2，3，再添加 4，如此继续，则2019= _三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.如图为一块边长为 2km 的等边三角形地块 ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从 BC 的中点 D 出发引出两条成60角的线段 DE 和 DF，与 AB和 AC 围成四边形区域 AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设 = (1)当 = 60时，求绿化面
6、积；(2)试求地块的绿化面积()的取值范围第 4 页，共 21 页18.已知等差数列前 n 项和， 等比数列前 n 项和为，1= 1，1= 1，2+2= 4(1)若3+3= 7，求数列的通项公式；(2)若3= 13，求519.已知圆 D：(2)2+(1)2= 1，点 A 在抛物线 C：2= 4上，O 为坐标原点，直线 OA 与圆 D 有公共点(1)求点 A 横坐标的取值范围(2)如图，当直线 OA 过圆心 D 时，过点 A 作抛物线的切线交 y 轴于点 B，过点 B引直线 l 交抛物线 C 于 P，Q 两点，过点 P 作 x 轴的垂线分别与直线 OA，OQ 交于第 5 页，共 21 页M，N，
7、求证：M 为，PN 的中点20.已知等差数列的公差 (0,，数列满足= sin()，集合 = | =, .(1)若1= 0， =23，求集合 S；(2)若1=2，求 d 使得集合 S 恰有两个元素；(3)若集合 S 恰有三个元素， + =，T 是不超过 5 的正整数，求 T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合 S第 6 页，共 21 页21.已知函数() = (1)ln，() = ln3e()求函数()的单调区间；()令() = () + ()( 0)两个零点1，2(12+1e22.已知椭圆 C：22+22= 1( 0)的离心率为22，且过定点(1,22).(1)求椭圆
8、 C 的方程；(2)已知直线 l： = 13( )与椭圆 C 交于 A、B 两点，试问在 y 轴上是否存在定点 P，使得以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标和 的面积的最大值，若不存在，说明理由第 7 页，共 21 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题求得()的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得 a 的方程，解方程可得所求值【解答】解：() = + 3的导数为() = + 3，可得在点(0,(0)处的切线斜率为00 + 3 = 4，由切线与直线 + 4 + 1 =
9、 0垂直，可得4= 14，即 = 1故选：C2.【答案】C【解析】解：由5227+28= 0，得5+28= 227，即3(1+6) = 227，即37= 227，7 0， 7=32=7，则212= 27=94故选：C由条件利用等差数列的性质可得37= 227，求得 7 的值，再根据212= 27计算本题考查等差数列、等比数列的性质，求出7= 7是解题的关键，属于中档题3.【答案】B第 8 页，共 21 页【解析】解：对于函数() = cos2，当 0,1，则有() 0,1，符合题意；对于函数() = 21，当 1,0时，则有() 1,0，符合题意；对于函数() =21，当 0,1时，则有()
10、0,1，符合题意；由选项可知，应选 B，故选：B解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”.逐项寻找就可以了！这是一道信息题，理解“同域区间”的概念，结合函数的图象就可以很快进行判断了！4.【答案】D【解析】解：( +)2=2+2 + 22，则令() =2+2 + 22，可得判别式 = 4( )2422= 422cos2422= 422sin2 0恒成立且当 = 2 22= |时，()最小，且为 1即(|) = |2cos2 + |2= |2sin2 = 1，故当唯一确定时，|唯一确定故选：D由题意可得，( +)2=2+2 + 22，则令() =2+2 + 22，可得判别式
11、 0, 0,0 0)的左右焦点分别是1、2，以2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线1恰好与圆2相切于点 P，第 11 页，共 21 页可得(2)2+ 2= 42，可得222 = 2，所以2+22 = 0， (0,1)，解得 =2 +122=31故选：A10.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利用三角函数的最值确定结果，属于中档题首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数， 进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果【解答】解 ： 函数() = 3 =2+ 3sin( + )的图象的一条对
12、称轴为直线 =56， (56) =2+32=2+ 3，解得 = 1当 = 1时，() = 3 = 2(3)， (1) (2) = 4，则(1)和(2)一个为2，另一个为 2，1= 26，2= 2 +56，则|1+2| = |4 +23|， 故当 = 0时，|1+2|取得最小值为23当 = 1时，同理求得，|1+2|取得最小值为23，故选：D11.【答案】B【解析】【分析】利用函数求导得 () = (2)2+2 = (2)()，当()只有一个极值点时() = 0只有一个实数解且解得两边正负号不同，所以有 0恒成立，设新函数设() = ，() = ，等价转化数形结合法即可得出结论，本题考查了利用导
13、数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合第 12 页，共 21 页法，考查了推理能力，属于中档题【解答】解：函数() = (3)133+2只有一个极值点，() = (2)2+2 = (2)()，若函数() = (3)133+2只有一个极值点，() = 0只有一个实数解且解的两边正负号不同，则： 0，从而得到： ，设() = ，() = 如图：当两函数相切时， = ，此时得到 k 的最大值，但 1时，() + 1 + 0有解， 当 1时，存在 = ()在 = (1)1的下方， () = (22)1，令() = 0，解得 =2，当1 2时，() 2时，() 0， ()在(1,
14、2)上递减，在( 2, + )上递增， 当 2时，() 0，又(1) = 1，( 2) 1，故答案为：(1, + )先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出 m 的取值范围本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题16.【答案】1【解析】解：由数列的构造方法可知1= 1，3= 2，7= 3，15= 4，可得21= ，即21 + =(1 21)，故2019=996=485=230=103=40=9=2= 1故答案为：1由数列的构造方法可知1= 1，3= 2，7= 3，15= 4， 可得21= ， 即21 + =(1 21)，进而得出结论本题考查了数
15、列递推关系、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17.【答案】解：(1)当 = 60时，/，/，四边形 AEDF 为平行四边形， 和 都为边长为 1km 的等边三角形，面积342，第 16 页，共 21 页绿化面积34 222 34=322；(2)由题意可得，30 90，在 中， = 120，由正弦定理可得，sin=1sin(120)， =sin(120)， 中， = 120， = ，由正弦定理可得，1sin=sin(120)， =sin(120)sin， + =sin(120)sin+sin(120)=sin2(120) + sin2sin sin(120)，=(32 +12)2+
16、sin2 (12 +32)1+3432 +12sin2= 1 +34342142 +14= 1 +321sin(230) +12， () = =334( + )=334338112+ sin(230)(30 90)，12 sin(230) 1，1 sin(230) +1232，23112+ sin(230) 1，338 () 32，答：地块的绿化面积()的取值范围(338,32【解析】(1)当 = 60时，/，/， 四边形 AEDF 为平行四边形， 和 都为边长为 1km 的等边三角形，结合已知即可求解；(2)由题意可得，30 0)可得 = 2 ，所以=1，所以= | = 16=14，所以：8
17、 =14(16)，即 =14 + 4，所以(0,4)，设 l： = + 4，(214,1)，(224,2)，由： =12，： =42，得=218，=212，由 = + 42= 4，解得24 + 16 = 0，第 18 页，共 21 页所以1+2=4，12=16，所以+=1+212=21(1+ 2)12=21416=214= 2，即 M 为 PN 中点【解析】本题考查直线与抛物线、圆的关系，涉及解方程组，求导等知识，属于综合题目，难度较大(1)根据题意设出直线 OA 的方程，联立抛物线方程可表示出交点 A 的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得 OA 斜率范围，继而算出 A 点横坐标的范
18、围；(2)对抛物线求导，可求出 AB 的斜率，继而写出 AB 的方程，可以求得 B 点坐标，设出直线 l 及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得+= 2，得出结论20.【答案】解：(1) 等差数列的公差 (0,，数列满足= sin()，集合 = | =, ，1= 0， =23，=23(1)，= sin() = 0，32,32，故 = 0,32,32；(2)1=2，=2+(1)， (0,，根据题意，集合 S 恰有两个元素；当 = 时，sin(2+(1) =1, 为奇数1, 为偶数，故成立，因为1=2，要使( 2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于 y 轴对称，且值相等如图3 = 2， =23
19、，故 = 或23；(3)当 = 3时， + 3=，集合 = 1,2,3，符合题意与之相应的一个等差数列的通项公式为=23，此时 = 32,32,0第 19 页，共 21 页当 = 4时， + 4=，sin(+4) = ，+4 =+2或+4 = 2，等差数列的公差 (0,，故+4 =+2， =2，又 = 1或 2， 当 = 1时满足条件，此时 = 0,1，1与之相应的一个等差数列的通项公式为=2，此时 = 0,1，1【解析】(1)根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；(2)由集合 S 的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；(3)分别令 = 1，2，3，4，5 进行验证，判
20、断 T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合 S本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，考查了分类讨论思想，属难题21.【答案】()解：由题可知 0，() = + 11，()单调递增，且(1) = 0，当0 1时，() 0可知，当0 1时，() 0，当 1时，() 0；即()的最小值为(1) = 13 0，可知()在(1,1)上存在一个零点；当 = 时，() = (1) + 13 0，可知()在(1,)上也存在一个零点；因此212+1第 20 页，共 21 页【解析】本小题考查函数与导数的相关知识函数的单调性以及函数的最值的求法，零点判断定理的应用，
21、是难题()求出函数()的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；()求出() = () + ()( 0)的导数， 求解函数的最小值， 通过零点判断定理，转化两个零点1，2(12+122.【答案】解：(1)由已知可得 =222+ 2= 2122+12= 12=522=54， 椭圆 C 的方程为225+425= 1；(2)由 = 13225+425= 1得：9(22+4)21243 = 0设(1,1)，(2,2)，则1、2是方程的两根，1+2=129(22+ 4),12= 439(22+ 4)，设(0,)，则 = (1,1), = (2,2)， =12+12(1+2) + 2=12+
22、(113)(213)(1+2) +23+ 2=(18245)2+ 362+ 24399(22+ 4)假设在 y 轴上存在定点 P，使得以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点，则 ，即 = 0即(18245)2+362+2439 = 0对任意 恒成立，18245 = 0362+ 2439 = 0，此方程组无解， 不存在定点满足条件【解析】(1)运用离心率公式和点 M 满足椭圆方程，解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设(0,)，求得向量 PA，PB 和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，由韦达定理和向量垂直的条件：数量积为第 21 页，共 21 页0，考查化简整理的运算能力，属于中档题
