1、第 1 页，共 19 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 = 1 + 2，则|等于()A. 55B. 5C. 1D. 32.已知集合 = |log3(2) 2， = |2 0，若 ，则实数 m 的取值范围是()A. (,4B. (,4)C. (,22)D. (,223.已知实数 x，y 满足 1 + 34 1，则 + 3的最大值为()A. oB. 3C. 4D. 74.执行如图的程序框图，若输出的 =14，则输入的 n 值为()A. 1B. 2C. 3D. 4第 2
2、页，共 19 页5.已知 =35， =log0.20.1， =log32，则 a，b，c 的大小关系是()A. B. C. D. 对任意实数 x 恒成立，若 真，则实数 a 的取值范围是()A. 0,2)B. 2,)C. (2,)D. 0,)9.双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为1，2，虚轴的一个端点为 A，若 12是顶角为120的等腰三角形则双曲线 C 的渐近方程为()A. = 2B. = 2或 = 22C. = 62D. = 62或 = 6310.已知函数() =2+ , (0,1, (1, + )， 若() = 有三个不等实数根1，2，3， 则1+2+3的取值范围是()A.
3、 (2, + )B. 2, + )C. (2,1 +410)D. 2,1 +41011.已知数列满足1= 1，2= 2， + 2= (1 + cos22)+ sin22， ，则2019log22020的值为()A. 0B. 1C. 10102D. 10101010第 3 页，共 19 页12.菱形 ABCD 的边长为 2， = 60，沿对角线 AC 将三角形 ACD 折起，当三棱锥体积最大时，其外接球表面积为()A. 153B. 2153C. 209D. 203二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知平面向量，满足 = 2.| = 1.|2| = 2.则| = _14.已知
4、数列的通项公式为=631317.若，分别是该数列的最大项和最小项，则 + = _15.已知函数() = + 2在0处取得最小值，则()的最小值为_，此时0= _16.已知点P是曲线 =142上任意一点过点P向y轴引垂线， 垂足为.点Q是曲线 =上任意一点，则| + |的最小值为_三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.设数列的前 n 项和为，且= 21.数列1= 2， + 12= 8(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前 n 项和18.在 中，D 是 BC 中点， = 3， =13， =7(1)求边 BC 的长；(2)求 内切圆半径第 4 页，共 19 页19.如图，在三棱锥
5、中， 为正三角形，M 为棱 PA的中点， ， =12，平面 平面 PAC(1)求证： 平面 PAC；(2)若 Q 是棱 AB 上一点，=14，求二面角的大小20.已知椭圆 C：22+22= 1( 0)的的离心率为63，且经过点(2,2)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点(1,1)的直线与椭圆 C 相交于 M， N 两点(与点 P 不重合)， 试判断点 P 与以 MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由第 5 页，共 19 页21.已知函数() = 2(1)求()在点(0,(0)处的切线方程；(2)求证：()在(2, + )上仅有 2 个零点22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方
6、程为 = 1 + = 13(为参数).以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为223 = 0(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，设(1,1)，求1|+1|的值23.已知函数() = |3|2|(1)求不等式() 2的解集；(2)若()的最大值为 m，a，b，c 为正数且 + + = ，求证：2+ 2+ 2 3第 6 页，共 19 页第 7 页，共 19 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：由 = 1 + 2，得 =1 + 2=(1 + 2)()2= 2， | =22+ (1)2=5
7、故选：B把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2.【答案】A【解析】解：依题意，集合 A 的元素 x 满足2 02 32，所以 = |2 2，又因为 ，所以2 2，即 4，所以实数 m 的取值范围是(,4，故选：A依题意， = |2 1，1 =log32 = 3532 3527 = 3335=35= ， 1，变形比较 0恒成立，即 = 24 0，解得：2 0恒成立，则必有 0，令() = ，则() 0恒成立，() = ，则 时，() 0，()单调递增； 时，() 0，解得0 0恒成立，即 = 24 0，
8、解得：2 0恒成立，则必有 0，令() = ，则() 0恒成立，进而求解考查复合函数的定义域，或与非，真假命题，函数的单调性，极值，转化思想9.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，只有双曲线的实轴所在轴是易错点，是基本知识的考查利用已知条件，列出 b、c 关系，然后求解双曲线的渐近线方程即可【解答】解：双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为1，2，虚轴的一个端点为 A，若 12是顶角为120的等腰三角形可得 =3，所以2= 32，即2+ 2= 32，2= 22，解得=2，或=22所以双曲线的渐近线方程为： = 2或 = 22故选 B10.【答案】C【解析】解：函
9、数() =第 11 页，共 19 页2+ , (0,1, (1, + ), () = 有三个不等实数根1，2，3， 转化为 = ()和 = 有三个不同交点 画出()图象如下：不妨设123， 1+2= 2 12= 1，(12) =14，令 =14， =4103 (1,410)，1+2+3的取值范围是(2,1 +410)，故选：C本题需要画出()的图象，将不等实根转化为图象的交点问题求解本题考查了数形结合思想，以及关于 = 对称两点的横坐标的和为 2a，属于基础题11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是分组讨论由题意可知， 当 n 为奇数时， +
10、2= (1 + cos22)+ sin22=+1， 即奇数项是以 1为首项， 以 1 为公差的等差数列， 当 n 为偶数时， + 2= 2， 即偶数项是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，代入可求【解答】解： 数列满足1= 1，2= 2， + 2= (1 + cos22)+ sin22， ，当 n 为奇数时， + 2= (1 + cos22)+ sin22=+1， 即奇数项是以 1 为首项， 以 1为公差的等差数列，2019= 1010，当 n 为偶数时， + 2= 2，即偶数项是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，2020= 21010，则2019log22020= 1010 1
11、010 = 10102，故选 C12.【答案】D第 12 页，共 19 页【解析】【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式得答案本题考查多面体外接球的表面积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题【解答】解：如图，当平面 底面 ACD 时，三棱锥体积最大分别设等边三角形 ACD 与等边三角形 ABC 的外心为 E，F，分别过 E，F 作平面 ACD 与平面 ABC 的垂线，相交于 O，则 O 为三棱锥的外接球的球心，连接 OD，则 =2+ 2=(233)2+ (33)2=153 三棱锥外接球的表面积 = 4 (153)2=203故选 D13.【答案】2 2【解
12、析】【分析】通过向量的模以及向量的数量积转化求解即可本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力【解答】解：平面向量，满足 = 2.| = 1.|2| = 2可得24 +42= 4，化简得：2= 8，第 13 页，共 19 页所以| = 2 2故答案为：2 214.【答案】11【解析】解：=631317=2(317) + 3317= 2 +3317可得数列在1 5时单调递减，且 2；在 6时单调递减，且2 =6，=5，则 + = 11故答案为：11=631317=2(317) + 3317= 2 +3317.可得数列在1 5时单调递减，且 2； 在 6时单调递减，且2 0. 函数(
13、)在 0, + )上单调递增(0) = 1 0 存在唯一实数0 0, + )，使得(0) = 0+02 = 0，且函数()在 0,0)上单调递减， (0, + )上单调递增又(0) = 0，(0) = 0020= 0020 0 函数()在 0, + )上存在两个零点，一个零点为 0，另一个零点属于(0,2)下面证明函数()在实数 (2,0)无零点 (2,0)时，() = + 0 函数()在 (2,0)上单调递增，而(0) = 1 0， 函数()在 (2,0)上满足：() (0) (0) = 0， 函数()在 (2,0)上无零点综上可得：()在(2, + )上仅有 2 个零点【解析】(1)(0)
14、 = 0.切点为(0,0).() = +.可得(0) = 1，利用点斜式即可得出切线方程(2)() = +.分类讨论： 0时，() = +2. 0时，() = + 0.可得函数()在 0, + )上单调递增根据(0) = 1 0.即可判断出其零点的个数利用导数研究函数函数()在 (2,0)上的单调性，证明函数()在实数 (2,0)无零点，即可得出结论本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.【答案】 解 ：(1)曲线 C 的极坐标方程为223 = 0.转换为直角坐标方程为2+ 223 = 0直线 l 的
15、参数方程为 = 1 + = 13(为参数).转换为直角坐标方程为 3 + 31 = 0第 19 页，共 19 页(2)直线 l 的参数方程为 = 1 + = 13(为参数).转换为标准式为 = 1 +12 = 132(为参数)故把直线的参数方程 = 1 +12 = 132(为参数)代入圆的方程2+ 223 = 0，整理得，2 33 = 0，(1和2为 A、B 对应的参数)所以1+2=3，12= 3，所以1|+1|=| + | |=|12|1 2|=(1+ 2)2412|1 2|=153【解析】(1)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换(2)利用一元二次方程根和系数
16、关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】解：(1)当 0时，() = 3 + 2 = + 3，由() 2得 1，故1 3时，() = 32 = 3，由() 2得 5，故此时无解；综上，1 13，即不等式() 2的解集为1,13；(2)由绝对值三角不等式及绝对值的非负性可得：() = |3|2| = |3| 3| 3，当且仅当 = 0时取等号，故()= 3，即 = 3，则 + + = 3，由柯西不等式得：(12+ 12+ 12)(2+ 2+ 2) ( + + )2= 9，则2+ 2+ 2 3，当且仅当 = = = 1取等号【解析】(1)第一问主要考察绝对值不等式的解法，常用方法是零点分段法；(2)第二问主要考察绝对值三角不等式和柯西不等式利用零点分段法需要注意每种情况之间与各种情况之间范围的关系；每种情况之间取交集，各种情况之间取并集；证明不等式时要注意取等条件
