1、4.3.2 4.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 问题提出问题提出 1. 1. 在平面直角坐标系中两点间在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？的距离公式是什么？ 2. 2. 在空间直角坐标系中，若已在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究我们从理论上进行探究. .知识探究（一）知识探究（一）:与坐标原点的距离公式与坐标原点的距离公式 思考思考1:1:在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中
2、，点A A（x x，0 0，0 0），），B B（0 0，y y，0 0），），C C（0 0，0 0，z z），与坐标原点），与坐标原点O O的距离分别是的距离分别是什么？什么？xyzOA AB BC C|OA|=|x|OA|=|x|OB|=|y|OB|=|y|OC|=|z|OC|=|z|4PPT课件思考思考2:2:在空间直角坐标系中，坐标在空间直角坐标系中，坐标平面上的点平面上的点A A（x x，y y，0 0），），B B（0 0，y y，z z），），C C（x x，0 0，z z），与坐标原点），与坐标原点O O的距离分别是什么？的距离分别是什么？xyzOA A22|O Axy=+2
3、2|,O Byz=+22|O Cxz=+B BC C5PPT课件思考思考3:3:在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点 P P（x x，y y，z z）在）在xOyxOy平面上的射影为平面上的射影为M M，则点，则点M M的坐标是什么？的坐标是什么？|PM|,|OM|PM|,|OM|的值分别是什么？的值分别是什么？xyzOPMM(x,y,0)M(x,y,0)|PM|=|z|PM|=|z|22|O Mxy=+6PPT课件 在空间直角坐标系中，若在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点
4、间距离的们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论计算公式，对此，我们从理论上进行探究上进行探究. .x xy yP P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )P P2 2(x(x2 2, y, y2 2) )Q(xQ(x2 2,y,y1 1) )O Ox x2 2y y2 2x x1 1y y1 1长长a a，宽，宽b b，高，高c c的长方体的对角线，怎么求？的长方体的对角线，怎么求？222dabcd dc ca ab bO OP Pz zy yx xx xy yz z在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(xP(x，y y，z)z)到到xOyxOy平面的距平面的距离，
5、怎么求？离，怎么求？xOyyOzxOzdzdxdy 一、探究：空间两点间的距离公式一、探究：空间两点间的距离公式垂线段垂线段的长的长OPzyxdx0y0z0220022002200 xyzdyzdxzdxy 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(xP(x0 0，y y0 0，z z0 0) )到坐标轴到坐标轴的距离，怎么求？的距离，怎么求？垂线段垂线段的长的长xyzo1.1.空间点到原点的距离空间点到原点的距离ABC( , , )P x y z|BP|=|z|BP|=|z|2222|OB|=x +y|OB|=x +y222222|OP|=x +y +z|OP|=x +y +z2.2
6、.如果是空间中任意一点如果是空间中任意一点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）到点到点P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离公式会是怎样呢？）之间的距离公式会是怎样呢？如图，设如图，设P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）是空间中任意两点，且点是空间中任意两点，且点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）在在xOyxOy平面上的射影分别为平面上的射影分别为M,N,M,N,那么那么M,NM,N
7、的坐标为的坐标为M M（x x1 1，y y1 1，0 0），）， N N（x x2 2，y y2 2，0 0）. .O OyzxMP1P2NM1N2N1M2H在在xOyxOy平面上平面上, ,222221212121MN = (x -x ) +(y - y ) .MN = (x -x ) +(y - y ) .过点过点P P1 1作作P P2 2N N的垂线，垂足为的垂线，垂足为H,H,则则11221122MP = z ,NP = z ,MP = z ,NP = z ,所以所以221221HP = z -z .HP = z -z .1212在在RtRtPHP中PHP中，22221212112
8、121PH = MN = (x -x ) +(y -y ) ,PH = MN = (x -x ) +(y -y ) ,因此，空间中任意两点因此，空间中任意两点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离之间的距离2222221 22121211 2212121PP = (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .PP = (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .根根据据勾勾股股定定理理22222222221 2122121211 212212121PP =PH + HP= (x -x )
9、 +(y -y ) +(z -z ) ,PP =PH + HP= (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) , 在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和点和点Q(xQ(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )的中点坐标的中点坐标(x,y,z):(x,y,z):121212222,.xxxyyyzzz 二、空间中点坐标公式二、空间中点坐标公式 例例1 在空间中，已知点在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求，求A、B两点之间的距离两点之间的距离.应用举例：应用举例： 例例2 已知两点已知两点 A(-
10、4, 1, 7)和和B(3, 5, -2)，点，点P在在z轴上，若轴上，若|PA|=|PB|，求点，求点P的坐标的坐标.17PPT课件 P139.B3P139.B3例例4 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-ABCD中，点中，点P、Q分别在棱长为分别在棱长为1的正方的正方体的对角线体的对角线BD和棱和棱CC上运动，求上运动，求P、Q两两点间的距离的最小值，并指出此时点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点两点的位置的位置. ADBCCBAOxyzP(x,y,z1)Q(0,1,z2)H(x,x,0)222111222121|(1)()11()2()22PQzzzzzzz=-+-=-+-+24P
11、PT课件练习练习zxyABCOADCBMN25PPT课件22221 212121 21212平平面面： |PP |= (x -x ) +(y -y )|PP |= (x -x ) +(y -y )，类比类比猜想猜想2222221 21212121 2121212空空间间： |PP |= (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .|PP |= (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .一、两点间距离公式一、两点间距离公式在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和点和点Q(xQ(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )的中点坐标的中点坐标(x,y,z):(x,y,z):121212222xxxyyyzzz 二、空间中点坐标公式二、空间中点坐标公式作业作业: :P138P138练习：练习：1 1，2 2，3 3。
