1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 1第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 一一. .定积分的微元法定积分的微元法 二二. .定积分求平面图形的面积定积分求平面图形的面积 本节主要内容本节主要内容: : 三三. .定积
2、分求体积定积分求体积 四四. .平面曲线的弧长平面曲线的弧长 2第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设曲边梯形由连续曲线设曲边梯形由连续曲线 ( ) ( ( )0)yf xf x ，轴及x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积解决步骤解决步骤:1) 分割分割2) 取近似取近似3) 求和求和 4) 取极限取极限abxyoi ix1x1 ix1 nx1 2 3第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设函数设函数 y =
3、f(x) 在在a,b上连续上连续, (1) 在区间在区间a,b上任取小区间上任取小区间x, x+dx, 相应地小区间上面积的近似值为相应地小区间上面积的近似值为: A f(x)dxab xyo)(xfy xdxx dA面积元素面积元素记作记作dA(2) 将这些面积元素在将这些面积元素在a,b上上“无限累加无限累加”得得lim( )dAf xx ( )dbaf xx dbaA 4第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 应用微元法解决定积分应用问题的步骤是应用微元法解决定积分应用问题的步骤是: 1) 选取积分变量选取积分变量, 确定它的变
4、化区间确定它的变化区间a,b; 2) 在区间在区间a, b上任取一个小区间上任取一个小区间x,x+dx, 并在小区并在小区间上找出所求量间上找出所求量F的微元的微元 dF = f(x)dx (局部近似值局部近似值) ; 3) 求定积分求定积分( )dbaFf xx 5第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 ( (一一) )直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算 1.由曲线由曲线y=f(x) 和直线和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形所围成曲边梯形xyo)(xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积( )dba
5、Af xx xdxx面积微元面积微元: d( )dAf xx 6第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 2.求由两条曲线求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线及直线 x=a, x=b 所围成平面所围成平面曲边梯形的面积曲边梯形的面积 ( )( )dbaAf xg xx 面积微元面积微元: d ( )( )dAf xg xx7第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 3. 求由两条曲线求由两条曲线x= (y),x= (y),( (y) (
6、y) 及直线及直线y=c,y=d所围成平面所围成平面曲边梯形的面积曲边梯形的面积: ( )( )ddcAyyy 面积微元面积微元: d ( )( )dAyyy8第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例1 求由求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积所围成的图形的面积 选选 x 为积分变量为积分变量 x 0, 1两曲线的交点两曲线的交点 (0,0), (1,1) 面积微元面积微元: 2()Axxxdddd102()Adxxx 3311200233xx.31 2xy 2yx 9第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第
7、二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例2 求由求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积所围成的图形的面积 两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y.1824422 dyyyA22yx 4yx10第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 1S2S42244问题问题 若选若选x为积分变量呢？为积分变量呢？21SSS2082()24 2()2xxxxxx d dd d280222( 24)x xxxxdddd332828220222212 22243
8、32xxx11第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例3 求由求由 y=cosx, y=sinx 在区间在区间 0, 上所围成的图上所围成的图形的面积形的面积. 两曲线的交点两曲线的交点 2(,)42 sincosyxyx 12404404(cossin)d(sincos)d(sincos)(cossin)2 2AAAxxxxxxxxxx 1A2A12第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设曲边梯形的曲边参数方程为设曲边梯形的曲边参数方程为, )()( tyytxx其面
9、积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到公式经过定积分的换元法得到: baAydx ; )()()()(11dttxtybxax dcAxdy . )()()()(11dttytxdycy 参数方程情形参数方程情形: )()(11)()(bxaxtdxty )()(11)()(dycytdytx13第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例4 求摆线求摆线的一拱与的一拱与 x 轴围成的图形的面积轴围成的图形的面积 .(sin )(0,02 )(1cos )xa t
10、tatyat 20daAy x 20(1cos ) (1cos )dat att 2220(12coscos)dattt 23 a 14第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 例例5 求椭圆求椭圆 的面积的面积.22221xyab15第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何
11、上的应用 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O, 从从O引一条射线引一条射线Ox, 选定选定一个单位长度以及计算角度的正方向一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针通常取逆时针方向为正方方向为正方) , 这样就建立了一个极坐标系这样就建立了一个极坐标系 , O点叫点叫做做极点极点, 射线射线Ox叫做叫做极轴极轴.极坐标系极坐标系: 极坐标系是由一个极点和一个极轴构成极坐标系是由一个极点和一个极轴构成, 极轴的极轴的方向为水平向右方向为水平向右. 极点极点; 极轴极轴; 长度单位长度单位; 角度单位和它的正角度单位和它的正方向方向, 构成了极坐标系的四要素构成了极坐标系的四要素, 缺一不
12、可缺一不可.16第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 OM点的极坐标点的极坐标 设设M点是平面内任意一点点是平面内任意一点, 用用表示线段表示线段OM的长的长度度, 表示射线表示射线Ox到到OM的角度的角度 , 那么那么叫做叫做M点的点的极极径径,叫做叫做M点的点的极角极角, 有序数对有序数对(,)叫做叫做M点的点的极坐标极坐标. 17第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 如果如果是正的是正的, 则在则在OP上取一点上取一点M使得使得OM= ;如如果果是负的是负的, 则在
13、则在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M使得使得OM= . 极角极角为正表示逆时针旋转为正表示逆时针旋转, 为负表示顺时针为负表示顺时针旋转旋转.OMP18第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 8 6 3 56 23 43 76 53 116 1M2M3M4M19第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 cossinxy 222tan(0)xyyxx 极坐标和直角坐标互化公式极坐标和直角坐标互化公式: 极坐标化直角坐标公式极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式直角
14、坐标化极坐标公式 20第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 ( (二二) ) 极坐标系下面积的计算极坐标系下面积的计算 曲边扇形是由曲线曲边扇形是由曲线 ( ) 及射线及射线 , ( )所所围成的图形围成的图形.1. 取极角取极角 为积分变量为积分变量, 其变化其变化区间为区间为 , 21d( )d2A 以圆扇形面积近似小曲边扇以圆扇形面积近似小曲边扇形面积形面积 , 得到面积元素得到面积元素: 2. ,d , 21() d2A 3. 作定积分作定积分( ) x d 21第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积
15、分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例6 计算心形线计算心形线 =a(1+cos ) 所围图形的面积所围图形的面积210122 (1cos ) d2AAa 220 (1cos )ad 220(12coscos)da o1A2031(2coscos2 )d22a 2203132sinsin2 242aa 22第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 0 xya24 222cos2a 所围面积所围面积. 求双纽线求双纽线练练 习习23第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 24
16、014( )2Sd 22.a 解解 由对称性由对称性 240142cos22ad 2404cos 2ad 2402sin2a 222cos2a 所围面积所围面积. 求双纽线求双纽线练练 习习24第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图作出示意图; (弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)求交点坐标求交点坐标; (确定积分的上限确定积分的上限,下限下限) (3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; (4)计算积分计算积分. 25第
17、五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 设立体介于平面设立体介于平面 x=a, x=b之间之间, 立体内垂直于立体内垂直于x 轴轴的截面面积为的截面面积为A(x). ( (一一) )平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 xA(x)dV=A(x)dxx.aVb baxxAVd)(体积元素为体积元素为dv=A(x)dx. 26第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例7 设有底圆半径为设有底圆半径为R的圆柱的圆柱, 被一与圆柱面交成被一与圆柱面交成 角且过底圆
18、直径的平面所截角且过底圆直径的平面所截, 求截下的锲形体积求截下的锲形体积.oyRxy22xR RRy tan (x, y), )tan( xR截面积截面积 A(x) RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(27第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 ( (二二) ) 旋转体的体积旋转体的体积 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体.这条直线叫做这条直线叫做旋转轴旋转轴 .圆柱圆柱圆台圆台圆锥圆锥28第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二
19、节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 xf(x)ab 曲边梯形曲边梯形: y=f(x), x=a, x=b (ab),y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转29第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 旋转体的体积元素旋转体的体积元素 考虑旋转体内点考虑旋转体内点 x 处垂直于处垂直于x轴厚度为轴厚度为dx的切片的切片, 用圆柱体的体积用圆柱体的体积 f(x) 2 dx 作为切片体积的近似值作为切片体积的近似值, 旋转体的体积旋转体的体积 于是体积元素为于是体积元素为 dV f(x)2dx . 2 ( ) dbaVf xx 30第
20、五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 xoy)(yxcdy当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段( ) ()xycyd 绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,2 ( ) ddcVyy 31第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 绕绕x轴旋转的椭球体轴旋转的椭球体 , 它可看作上半椭圆它可看作上半椭圆例例8 求由椭圆求由椭圆 分别绕分别绕 x 轴及轴及 y 轴旋转轴旋转 而成的椭球体的体积而成的椭球体的体积 . 22221xyab22()byaxaxaa 与
21、与x轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕x轴旋转轴旋转而成而成 旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为 222202()dabaxxa 22320123aba xxa （）243ab 202daxVyx 32第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 绕绕 y 轴旋转的椭球体轴旋转的椭球体 , 它可看作右半椭圆它可看作右半椭圆 22axbyb与与y轴围成的图形绕轴围成的图形绕 y 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为 222202()dbabyyb 2322023bayb yb 243a b 222dbybaVbyyb
22、33第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例9 把抛物线把抛物线 y2 4ax (a 0)及直线及直线 x x0 (x0 0) 所围所围成的图形绕成的图形绕 x 轴旋转轴旋转 计算所得旋转体的体积计算所得旋转体的体积. 旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为 004dxax x 0202xax 202a x 020dxVyx 34第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例10 由由y x3 x 2 y 0所围成的图形所围成的图形 分别绕分别绕x轴及轴及y轴旋转轴旋转 计算
23、所得两个旋转体的体积计算所得两个旋转体的体积 绕绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为轴旋转所得旋转体的体积为 270112877x222600ddxVyxxx绕绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为轴旋转所得旋转体的体积为 85303643255y2882230028d32dyVxyyy 35第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 四四. .平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:( ) ()yf xax b 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :222d(d )(d )1dsxyyx 因此所求弧长因此所求弧
24、长 21dbasyx 21( )dbafxx sdyxabo)(xfy xxxd36第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 曲线弧由曲线弧由参数方程参数方程给出给出:( )()( )xttyt 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :2222d(d )(d )( )( )dsxyttt因此所求弧长因此所求弧长22( )( ) dsttt 37第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 0.511.520.250.50.7511.251.51.75例例11 计算曲线计算曲线 上相应于上
25、相应于 x 从从 a 到到 b 的一段弧的长度的一段弧的长度.3223yx 332221d(1)(1) .3basx xba 2d1dsyx 1221() d1dxxx x38第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 22d()() ddxdystdtdt2 sind2tat 2(1cos )datt2222(1cos ) +sindatatt22002 sind22cos822ttsataa 例例12 计算摆线计算摆线 一拱一拱 的弧长的弧长. (sin )(0)(1cos )xa ttayat (02 )t a 2a )(xy39第
26、五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 例例13 求星形线求星形线 的弧长的弧长. 33cos(02)sinxattyat 根据对称性根据对称性14ss 22204dxyt 2043 sin cos datt t .6a 40第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 1.1.定积分的微元法定积分的微元法 2.2.定积分求平面图形的面积定积分求平面图形的面积 内容小结内容小结: ( )( )ddcAyyy ( )( )dbaAf xg xx 41第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 3.3.定积分求体积定积分求体积 4.4.平面曲线的弧长平面曲线的弧长 (1)(1)平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 (2) 旋转体的体积元素旋转体的体积元素2 ( ) dbaVf xx 2 ( ) ddcVyy 42
