1、新人教版九年级数学新人教版九年级数学( (下册下册) )第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形（解直角三角形（3 3）1在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)2 温故而知新温故而知
2、新ABC如图，如图，RtABC中，中，C=90，（1）若）若A=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=3 333tantanm3n指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.n如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30n点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角4例例1. 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东60方向，距方向，
3、距离灯塔离灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔到达位于灯塔P的南偏东的南偏东30方向上的方向上的B处，这时，海处，这时，海轮所在的轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？ （精确到（精确到0.01海里）海里）6030PBCAMN5例例4.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向
4、上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230M6BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF= x , AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险30607修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要修路、挖河、开
5、渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度注明斜坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比）的比叫做坡面叫做坡面（或（或）. 记作记作i , 即即 i = .坡度坡度通常写成通常写成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6.坡面与坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作水平面的夹角叫做坡角，记作a，有，有. 显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡. lhlh8例例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直是指坡面的铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比
6、），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.49利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,
7、适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.10 达标检测11A1 1、如图所示，一渔船上的渔民在、如图所示，一渔船上的渔民在A A处看见灯处看见灯塔塔M M在北偏东在北偏东6060方向，这艘渔船以方向，这艘渔船以2828海里海里/ /时的速度向正东航行，半小时至时的速度向正东航行，半小时至B B处，在处，在B B处处看见灯塔看见灯塔M M在北偏东在北偏东1515方向，此时灯塔方向，此时灯塔M M与与渔船的距离是渔船的距离是( ) ( ) A.A. 海里海里 B.B. . 海里海里
8、C.7C.7海里海里 D.14D.14海里海里 27214D12w2 2、 如图如图, ,水库大坝的截面是梯水库大坝的截面是梯形形ABCD,ABCD,坝顶坝顶AD=6m,AD=6m,坡长坡长CD=8m.CD=8m.坡坡底底BC=30m,ADC=135BC=30m,ADC=1350 0. .w(1)(1)求坡角求坡角ABCABC的大小的大小; ;w(2)(2)如果坝长如果坝长100m,100m,那么修建这个那么修建这个大坝共需多少土石方大坝共需多少土石方( (结果精确到结果精确到0.01m0.01m3 ).).w咋办w先构造直角三角形!ABCD13 3、气象台发布的卫星云图显示，代号为气象台发布
9、的卫星云图显示，代号为W的台的台风在某海岛（设为点风在某海岛（设为点O）的南偏东）的南偏东45方向的方向的B点生成，测得点生成，测得 台风中心从点台风中心从点B以以40km/h的速度向正北方向移动，经的速度向正北方向移动，经5h后到达后到达海面上的点海面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点处因受气旋影响，台风中心从点C开始以开始以30km/h的速度向北偏西的速度向北偏西60方向继续方向继续移动以移动以O为原点建立如图为原点建立如图12所示的直角坐标所示的直角坐标系系100 6kmOBx/kmy/km北东AOBC图1214图 19.4.6 19.4.6 如图一段路基的横断面是梯形，高为如图一段路
10、基的横断面是梯形，高为4米，米，上底的宽是上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角米，路基的坡面与地面的倾角分别是分别是45和和30求路基下底的宽求路基下底的宽1. 认清图形中的有关线段认清图形中的有关线段;2. 分析辅助线的作法分析辅助线的作法;3. 坡角在解题中的作用坡角在解题中的作用;4. 探索解题过程探索解题过程.1532tan2 . 4AEAEDEi)(72. 632tan2 . 4米AE作作DEAB，CFAB，垂足分别为，垂足分别为E、 F由题意可知由题意可知 DECF4.2（米），（米），CDEF12.51（米）（米）. .在在RtADE中，因为中，因为 所以所以 )(90. 7
11、28tan2 . 4米BF在在RtBCF中，同理可得中，同理可得 因此因此 ABAEEFBF 6.7212.517.90 27.13（米）（米） 答：答： 路基下底的宽约为路基下底的宽约为27.13米米图19.4.6 162.01:2.51:2B CA D E F如图如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米两米,坡度由原来的坡度由原来的1:2改成改成1:2.5,已知原已知原背水坡长背水坡长BD=13.4米米, 求求: (1)原背水坡的原背水坡的坡角坡角 和加宽后的背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角 ; (2)加宽后水坝的横截面面积增加了加宽后水坝的横截面面积增加了
12、多少多少?(精确到精确到0.01)17 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(方位角方位角;坡度、坡角等坡度、坡角等) 2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)18利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案19
