1、导入新课导入新课 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块 1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量的面包，并记录下买回的面包的实际质量. 一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为 950g. 于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不 足足. 假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量 数据的平均值应该不少于数据的平均值应该不少于1000g ； “这个平均值不大于“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包是一个与假设“面包 分量足”矛盾的
2、小概率事件；分量足”矛盾的小概率事件； 这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果. 庞加莱应是如何证庞加莱应是如何证 明自己的假设呢？明自己的假设呢？ 1.2独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想 及及 其初步应用其初步应用 1.理解独立性检验的基本思想理解独立性检验的基本思想. 2.会从列联表、柱形图、条形图直观判断两个会从列联表、柱形图、条形图直观判断两个 分类变量是否相关分类变量是否相关. 3.了解随机变量了解随机变量K2的含义的含义. 教学目标教学目标 知识目标知识目标 能力目标能力目标 具有应用独立性检验的能力具有应用独立性检验的能力. 情感
3、目标情感目标 通过对独立性检验的基本思想的学习，通过对独立性检验的基本思想的学习， 能够在在现实生活中应用此思想能够在在现实生活中应用此思想. 教学重难点教学重难点 理解独立性检验的基本思想及实施步骤理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 1.了解独立性检验的基本思想了解独立性检验的基本思想. 2.了解随机变量的含义了解随机变量的含义. 知 识 要 点 1.分类变量分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的不变量的不同“值”表示个体所属的不 同类别，像这样的变量称为同类别，像这样的变量称为分类变量分类变量. 举例举例: :性别性别, ,是否吸烟是否吸烟, ,宗教信仰宗教信仰, ,国籍等国籍等. .
4、 在日常生活中在日常生活中,我们常常关心两个分类我们常常关心两个分类 变量之间是否具有关系变量之间是否具有关系.例如例如,吸烟是否与吸烟是否与 患肺癌有关系患肺癌有关系?性别是否对于喜欢数学课性别是否对于喜欢数学课 程有影响程有影响?等等等等. 探究探究 为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所 随机地调查了随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）人，得到如下结果（单位：人） 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表 不患肺癌不患肺癌 患肺癌患肺癌 总计总计 不吸烟不吸烟 7775 42 7817 吸烟吸烟 2099 49 2148 总计总计 987
5、4 91 9965 那么吸烟是否对患肺癌有影响那么吸烟是否对患肺癌有影响? 列联表列联表 列联表列联表:列出两个分类变量的频数表列出两个分类变量的频数表. 粗略估计粗略估计: 在不吸烟者中在不吸烟者中,有有0.54%患有肺癌患有肺癌; 在吸烟者中在吸烟者中,有有2.28%患有肺癌患有肺癌. 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能 性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大. 通过图形直观判断两个分类变量是否相关：通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
6、不吸烟吸烟 患肺癌 不患肺癌 等高条形等高条形 图图 通过数据和图形分析，我们得到的直观判通过数据和图形分析，我们得到的直观判 断是“吸烟和患肺癌有关”，那么这种判断是否断是“吸烟和患肺癌有关”，那么这种判断是否 可靠呢？可靠呢？ 探究探究 我们先假设我们先假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系. 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟表示不患肺癌，则“吸烟 与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独 立”，即假设立”，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B). 把前表中的数字用字母代替把前表中的数字用字母代替,得
7、到如下用字得到如下用字 母表示的列联表母表示的列联表: 不患肺癌不患肺癌 患肺癌患肺癌 总计总计 不吸烟不吸烟 a b a+b 吸烟吸烟 c d c+d 总计总计 a+c b+d a+b+c+d a恰好为事件恰好为事件AB发生的频数；发生的频数；a+b和和a+c 恰好分别为事件恰好分别为事件A和和B发生的频数发生的频数. 因为频数近似于频率，所以在因为频数近似于频率，所以在H0成立的条成立的条 件下应该有件下应该有 因此，因此， |ad-bc|越小越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强说明吸烟与患肺癌之间关系越强.
8、 ac a c+dc a+bad-bc0 a+bc+d 为了使不同样本容量的数据有统一的评判为了使不同样本容量的数据有统一的评判 标准标准,基于上述分析基于上述分析,我们构造一个随机变量我们构造一个随机变量: n 2 n(ad-bc) K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量. 若若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”， 则则K2应该很小应该很小. 不患肺癌不患肺癌 患肺癌患肺癌 总计总计 不吸烟不吸烟 7775 42 7817 吸烟吸烟 2099 49 2148 总计总计 9874 91 9965 利用
9、上述公式得利用上述公式得 2 2 9965(7775 49-42 2099 K =56.632 7817 2148 9874 91 ） 这个值能告诉我们什么呢？这个值能告诉我们什么呢？ 在在H0成立的情况下成立的情况下,统计学家估算出如下的概率统计学家估算出如下的概率: 2 P K6.6350.01 即在即在H0成立的情况下成立的情况下,K2的值大于的值大于6.635的概的概 率非常小率非常小,近似于近似于0.01. 也就是说也就是说,在在H0成立的情况下对随机变量成立的情况下对随机变量K2 进行多次观测进行多次观测,观测值超过观测值超过6.635的频率约为的频率约为0.01. 知 识 要 点
10、 2. 独立性检验独立性检验 上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来确定在多来确定在多 大程度上可以认为“两个分类变量有关系”大程度上可以认为“两个分类变量有关系” 的方法称为两个分类变量的独立性检验的方法称为两个分类变量的独立性检验. 独立性检验的独立性检验的 基本思想类似于数基本思想类似于数 学上的反证法学上的反证法. 注意注意 3. 反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理与独立性检验原理的比较 反证法原理反证法原理 在假设在假设H0下，如果推出一个矛盾，下，如果推出一个矛盾， 就证明了就证明了H0不成立不成立. 独立性检验原理独立性检验原理 在假设在假设H0下，如果出现一个与
11、下，如果出现一个与H0 相矛盾的小概率事件，就推断相矛盾的小概率事件，就推断H0不成不成 立，且该推断犯错误的概率不超过这立，且该推断犯错误的概率不超过这 个小概率个小概率. 知 识 要 点 探究探究 你能从上述探究过程中总结出一种直观判断你能从上述探究过程中总结出一种直观判断 两个分类变量有关系的思路吗？两个分类变量有关系的思路吗？ 一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X和和Y，它们，它们 的取值分别为的取值分别为x1，x2和和y1，y2，其样本频数，其样本频数 列联表列联表(称为称为22列联表列联表)为为 y1 y2 总计总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总
12、计总计 a+c b+d a+b+c+d 若要推断的论述为若要推断的论述为H1:“X与与Y有关系”可以通有关系”可以通 过频率直观的判断两个条件概率过频率直观的判断两个条件概率P(Y=y1|X=x1)和和 P(Y=y1|X=x2)是否相等是否相等. 如果判断它们相等就意味着如果判断它们相等就意味着X和和Y没有关系；没有关系； 否则就认为它们有关系否则就认为它们有关系. 由上表可知，当由上表可知，当X=x1的情况下，的情况下，Y=y1的频率的频率 为为a/(a+b)；在；在X=x1的情况下，的情况下，Y=y1的频率为的频率为 c/(c+d). 因此，如果通过直接计算或等高条形图发现，因此，如果通过
13、直接计算或等高条形图发现， a/(a+b)和和c/(c+d)相差很大，就判断两个分类变量相差很大，就判断两个分类变量 之间有关系之间有关系. 思考思考 直观判断的不足之处是什么？直观判断的不足之处是什么？ 不能给出推断“两个分量变量有关系”犯不能给出推断“两个分量变量有关系”犯 错误概率错误概率.而独立性检验则可以弥补这个不足而独立性检验则可以弥补这个不足. 那么独立性检验的具体做法是什么？那么独立性检验的具体做法是什么？ （1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个）根据实际问题的需要确定容许推断“两个 分类变量有关系”犯错误概率的上界分类变量有关系”犯错误概率的上界a，然后查表，然后查表 确
14、定临界值确定临界值k0. P(k2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 （2）利用）利用K2公式，计算随机变量公式，计算随机变量K2的观测值的观测值k. （3）如果）如果kk0，就推断“，就推断“X与与Y有关系”，这有关系”，这 种推断犯错误的概率不超过种推断犯错误的概率不超过a；否则，就认为在犯；否则，就认为在犯 错误的概率不超过错误的概率不超过a的前提下不能推断“的前提下不能推断“X与与Y有关有
15、关 系”系”. 例题例题 在一次恶劣气候的飞行航行中调查男女乘在一次恶劣气候的飞行航行中调查男女乘 客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料你客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料你 是否能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容是否能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容 易晕机？易晕机？ 分类分类 晕机晕机 不晕机不晕机 合计合计 男性男性 23 32 55 女性女性 9 25 34 合计合计 32 57 89 由公式由公式 ， 解答评注：解答评注：尽管这次航班中男性晕机的比尽管这次航班中男性晕机的比 例（例（ ）比女性晕机的比例（）比女性晕机的比例（ ）高，但是我们）高，但是我们 不能认为在恶劣气候
16、飞行中男性比女性更容易晕不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕 机机. 解答解答 2 2 89 (23 25-32 9) K =2.149 55 34 32 57 因为因为2149w0时，就判断“时，就判断“X和和Y有关有关 系”系”;否则，判断“否则，判断“X和和Y没有关系”没有关系”. 这里这里w0为正实数，满足如下条件：在“为正实数，满足如下条件：在“X和和 Y没有关系”的前提下，没有关系”的前提下， P(Ww0)=0.01 思考思考 若在“若在“X和和Y没有关系”的情况下有没有关系”的情况下有 P(K2k0)=0.01， 可以通过可以通过k0来确定来确定w0吗？吗？ 事实上，事实上
17、， 其中其中n=a+b+c+d. 因此，因此，K2k0等价于等价于 即可取即可取 , d)c)(b(a d)b)(cn(a WK 22 , d)b)(cn(a d)c)(b(a kW 0 . d)b)(cn(a d)c)(b(a kw 00 课堂小结课堂小结 1.独立性检验的方法独立性检验的方法 2.独立性检验的原理独立性检验的原理 3.独立性检验的步骤独立性检验的步骤 4.独立性检验与反证法独立性检验与反证法 独立性检验类似于反证法但又与反证法有独立性检验类似于反证法但又与反证法有 所区别所区别. 针对性练习针对性练习 1.一个总体含有一个总体含有100个个体，以简单随机抽个个体，以简单随机
18、抽 样的方式从该总体中抽取一个总量为样的方式从该总体中抽取一个总量为5的样本，的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为则指定的某个个体被抽到的概率为_. 解析：解析： p=5/100=1/20 2.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进 行了统计，统计结果如下表所示：行了统计，统计结果如下表所示： 分组分组 500, 900) 900, 1100) 1100, 1300) 1300, 1500) 1500 ,1700) 1700, 1900) 1900, +)
19、 频数频数 48 121 208 223 193 165 42 频率频率 （I）将各组的频率填入表中；）将各组的频率填入表中； （II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500小时的频率小时的频率. 分组分组 500,9 00) 900, 1100) 1100, 1300) 1300, 1500) 1500, 1700) 1700, 1900) 1900, +) 频数频数 48 121 208 223 193 165 42 频率频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 解答解答 （II）解：由（）解
20、：由（I）可得）可得 0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不，所以灯管使用寿命不 足足1500小时的频率为小时的频率为0.6. 1.选择选择 课堂练习课堂练习 为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查 了该校了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数名高中男生的体重情况，根据所得数 据画出样本的频率分布直方图如下图所示根据据画出样本的频率分布直方图如下图所示根据 此图，估计该校此图，估计该校2000名高中男生中体重大于名高中男生中体重大于70.5 公斤的人数为（公斤的人数为（ ） A300 B360 C420 D450
21、解析：由图可知，大于解析：由图可知，大于70.5公斤的人数为公斤的人数为 2000(0.04+0.035+0.015) 2360.故选故选B. 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 体重体重(kg) 频率频率/组距组距 2.解答题解答题 （1）在研究某种新药对小白兔的防治效果时）在研究某种新药对小白兔的防治效果时, 得到下表数据得到下表数据: 试分析新药对防治小白兔是否有效试分析新药对防治小白兔是否有效? 存活数存活数 死亡数死亡数
22、总计总计 未用新药未用新药 101 38 139 用新药用新药 129 20 149 总计总计 230 58 288 解答解答 2 28810120-38 129 k =8.658 7.879 139 14923058 99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的的把握判定新药对防治小白兔是有效的. 根据上表计算出随机变量的观测值根据上表计算出随机变量的观测值 （2）在某医院）在某医院,因为患心脏病而住院的因为患心脏病而住院的 665名男性病人中名男性病人中,有有214人秃顶人秃顶;而另外而另外772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中名不是因为患心脏病而住院的男性病人中 有有174人秃顶人
23、秃顶.分别利用图形和独立性检验分别利用图形和独立性检验 方法判断秃顶与患心脏病是否有关系方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所你所 得的结论在什么范围内有效得的结论在什么范围内有效? 解答解答 根据题目所得数据得到列联表根据题目所得数据得到列联表: 患心脏病患心脏病 患其他病患其他病 总计总计 秃顶秃顶 214 175 389 不秃顶不秃顶 451 597 1048 总计总计 665 772 1437 2 2 n ad-bc K = a+bc+da+cb+d 2 1437214597-175451 k =16.373 6.635 389 1048665772 所以有所以有99%的把握认为”秃顶与患心脏病有关”的把握认为”秃顶与患心脏病有关”. 其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量 根据列联表中的数据，的根据列联表中的数据，的K2的观测值为的观测值为
