1、4.1.1 变量与函数第四章 一次函数4.1 函数和它的表示法1.如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反应了该地某一天的气温T（C）是如何随时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？T/Ct/时时510152025O246810 12 14 16 18 20 22 24该地一天中的气温随着事件的变化而变化，从图中可以看出，4时的气温是10C，14时的气温是20C.思考思考2.当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，时，正方形的面积分别是多少？试填写下表：边长x1234567面积S14916253649我们可以看出，正方形的面积随着它的边长的变化而变化.3.某城市居民
2、用的天然气，1m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y=2.88x.当x=10时，缴纳的费用为多少？使用天然气缴纳的费用y随所用天然气的体积x的变化而变化.例如，当x=10时，y=28.8（元）；当x=20时，y=57.6（元）.函数在思考的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.上述问题中，时间t，温度T；正方形的边长x，面积S；使用天然气的体积x，应缴纳的费用y等都是变量，每使用1m3天然气应缴纳2.88元，2.88是常量.一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数函数，记
3、作y=f (x).这里的f (x)是英文a function of x（x的函数）的简记.这时把x叫作自变量自变量，把y叫作因变量因变量.对于自变量x的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值函数值，记作f (a).讨论1.在问题1中， 是自变量， 是 的函数.2.在问题2中，正方形的边长是 ，正方形的面积是边长的 .3.在问题3中， 是自变量， 是 的函数.时间t气温T时间t自变量函数使用天然气的体积x使用天然气的体积x应缴纳的费用y【例1】如图，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r（cm），当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V（cm3）是r的函数.（1）用含r的代数式来表示圆柱的体积V，
4、指出自变量r的取值范围.（2）当r=5，10时，V是多少（结果保留）？4cm解：（1）圆柱的体积V=4r2，自变量r的取值范围是r0. （2）当r=5时，V=425=100（cm3）； 当r=10时，V=4100=400（cm3）.1.指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个的变量的变化而变化？（1）一辆汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）与行驶时间t（h）.（2）圆的半径r和圆的面积S满足：S=r2.（3）银行的存款利率P与存期t.行驶路程s随着行驶时间t的变化而变化.圆的面积S随着圆的半径r的变化而变化.银行的存款利率P随着存期t的变化而变化.练习练习2.如图，A港口某天受
5、潮汐的影响，24小时内港口水深h(m)随时间t(时)的变化而变化.h/mt/时时O246810 12 14 16 18 20 22 242468（1）水深h是时间t的函数吗？（2）当t分别取4，10时，h是多少？答案：（1）是；（2）当t=4时，h=5(m)，当t=10时，h=7(m).通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流. .我思 我进步4.1.2 函数的表示法第四章 一次函数4.1 函数和它的表示法讨论（1）上节问题1是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？（2）上节问题2是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系
6、的？（3）上节问题3是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x之间的函数关系的？问题1用平面直角坐标系中的一个图形来表示. 问题2列一张表来表示.问题3用一个式子y=2.88x来表示.像上节问题1那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象.这种表示函数关系的方法称为图象法.像上节问题2那样，列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值），这种表示函数关系的方程称为列表法.像上节问题3那样，用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数的表
7、达式.我们可以看到，用图象法、列表法、公式法均可以表示两个变量之间的函数关系.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化；用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值；用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值.用边长为1的等边三角形拼成如图所示的图形，用y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数.（1）填写下表：n12345678y（2）试用公式法表示这个函数关系.（3）试用图象法表示这个函数关系.思考思考（1）当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，每增加1个三角形，周长就增加1，因此填表如下：n1234
8、5678y345678910（2）n是自变量，y是因变量，周长y与三角形个数n之间的函数表达式是y=n+2（n为正整数）.（3）因为函数y=n+2中，自变量n的取值范围是正整数集，因此在平面直角坐标系中可以描出无数个点，这些点组成了y=n+2的函数图象，如图.yn1122334455O678678910通过图象可以数形结合地研究变量与变量之间的联系与变化.某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.如图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多
9、长时间到达学校？（3）小明从家到学校的平均速度是多少？O100021007:00 7:057:207:30离家的距离s/m 时间解：（1）从横坐标看出，自行车发生故障的时间是7:05；从纵坐标看出，此时离家1000 m. （2）从横坐标看出，小明修车花了15 min；小明修好车后又花了10 min到达学校. （3）从纵坐标看出，小明家离学校2100 m；从横坐标看出，他在路上共花了30 min，因此，他从家到学校的平均速度是210030=70（m/min）.O100021007:00 7:057:207:30离家的距离s/m 时间l4123x1234y 1.如图，将一个正方形的顶点分别标上号码
10、1，2，3，4，直线l经过第2，4号顶点.作这个正方形关于直线l的轴对称图形，那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？填在下表中： 这个表给出了y是x的函数.画出它的图象， 它的图象由几个点组成？练习练习答案：图象如图所示，它的图象由答案：图象如图所示，它的图象由4 4个点组成个点组成. .x1234y3214xyO112323442.等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为y，写出y随x而变化的函数表达式，并指出自变量x的取值范围.答案：y随x而变化的函数表达式是：y=180-2x.自变量x的取值范围是0 x0时，直线y=kx经过第三、一象限从左向右上升，y随x的增大而增大；当k0时，向上平移
11、；当b160时，y=1600.6+（x-160）（0.6+0.1）=0.7 x-16.y与x的函数表达式也可以合起来表示为0.6 (0),0.716(16x0160).xxyx （2）该函数的图象如图. （3）当x=150时，y=0.6150=90，即3月份的电费为90元.当x=200时，y=0.7200-16=124，即4月份的电费为124元. 【例1】甲、乙两地相距40km，小明8：00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小红10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小明所用的时间为x（h），小明与甲地的距离为y1（km），小红离甲地的距离为y2（km）. （
12、1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式. （2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.解：（1）小明所用时间为xh，由“路程=速度时间”可知y1=8x，自变量x的取值范围是0 x5.由于小红比小明晚出发2h，因此小红所用时间为（x-2）h.从而y2=40（x-2），自变量x的取值范围是2x3.（2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图.过点M（0，40）作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40（x-2）相交，这表明小红先到达乙地.1.某音像店对外出租光盘的收费标准是：每张光盘在出租后头两天的租金为0.8元/天，以后每天收0.5元.求一张光盘在租出后第n
13、天的租金y（元）与时间t（天）之间的函数表达式.答案：租金与时间相关.当0t2时，y=0.8t；当t3时，y=0.82+0.5（t-2）=0.5t+0.6.练习练习 2.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式： A方案：每月收取基本月租费25元，另收通话费为0.36元/min； B方案：零月租费，通话费为0.5元/min.（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（min）之间的函数表达式；（2）分别画出这两个函数的图象；（3）若林先生每月通话300min，他选择哪种付费方式比较合算？答案：（1）A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（min）之间的函数表达式分别为：y1=25
14、+0.36x，y2=0.5x.（2）图象略.（3）当x=300时，y1=25+0.36300=133（元），y2=0.5300=150（元）.因为133150，所以林先生选择A方案比较合算.奥运会早期，男子撑杆跳高的纪录如下表所示：观察这个表中第二行的数据，你能为奥运会的撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立函数模型吗？ 年份190019041908高度（m）3.333.533.73思考思考上表中每一届比上一届的纪录提高了0.2m，可以试着建立一次函数的模型.用t表示从1900年起增加的年份，则在奥运会早期，男子撑杆跳高的纪录y(m)与t的函数关系式可以设为y=kx+b.由于t=0（即1900年）时
15、，撑杆跳高的纪录为3.33m，t=4（即1904年）时，纪录为3.53m，因此3.33,43.53.bkb解得b=3.33，k=0.05. 所以y=0.05t+3.33. 当t=8时，y=3.73，也符合.能利用上述方程预测1912年奥运会的男子撑杆跳高纪录吗？y=0.0512+3.33=3.9.实际上，1912年奥运会男子撑杆跳高纪录约为3.93m.这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测，结果与实际情况比较吻合.能利用上述方程预测20世纪80年代，譬如1988年奥运会男子撑杆跳高纪录吗？y=0.0588+3.33=7.73.然而，1988年奥运会的男子撑杆跳高纪录是5.90 m， 远
16、低于7.73 m. 这表明用所建立的函数模型远离已知数据做预测是不可靠的.【例2】请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系：指距x（cm）192021身高y（m）151160169（1）求身高y与指距x之间的函数表达式；（2）当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？解：（1）上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系， 观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，身高就增加9cm，可以尝试建立一次函数模型.设身高y与指距x之间的函数表达式为y = kx + b.将x=19， y=151与x = 20，y=160代入上式，
17、得19151,20160.kbkb解得k = 9， b = -20.于是y = 9x -20. 将x = 21，y = 169代入式也符合.公式就是身高y与指距x之间的函数表达式.（2）当x = 22时， y = 922-20 = 178.因此，李华的身高大约是178 cm.1.在某地，人们发现某种蟋蟀1min 所叫次数与当地气温之间近似为一次函数关系. 下面是蟋蟀所叫次数与气温变化情况对照表：蟋蟀叫的次数8498119温度（C）151720（1）根据表中数据确定该一次函数的表达式；（2）如果蟋蟀1min叫了63次，那么该地当时的气温大约为多少摄氏度？ （3）能用所求出的函数模型来预测蟋蟀在0
18、 C时所鸣叫的次数吗？练习练习答案：（1）设蟋蟀1min所叫次数与气温之间的函数表达式为y = kx + b. 将x=15， y=84与x = 20，y=119代入上式，得 15k + b = 84， 20k + b = 119. 解得k = 7， b = -21.于是y = 7x -21. （2）当y = 63时， 有y = 7x -21=63，解得x=12.（3）不能，因为此函数关系是近似的，与实际 生活中的情况有所不符，蟋蟀在0 时可能 不会鸣叫.2. 某商店今年7月初销售纯净水的数量如下表所示：日期123数量（瓶）160165170（1）你能为销售纯净水的数量与时间之间的关系建立函数模
19、型吗？（2）用所求出的函数解析式预测今年7月5日该商店销售纯净水的数量.答案：（1）销售纯净水的数量y(瓶)与时间t的 函数关系式是 y= 160+（t-1）5= 5t+155. （2）当t=5时， y= 55+155= 180(瓶).一次函数y = 5 - x的图象如图所示.（1） 方程x + y = 5 的解有多少个？ 写出其中的几个.（2） 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y = 5 - x的图象上吗？（3） 在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x + y = 5吗？（4） 以方程x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数
20、y = 5 - x的图象相同吗？思考思考我们知道二元一次方程x + y = 5的解有无数组，以这些解为坐标的点在一次函数y = 5 - x的图象上. 将方程x + y = 5化成一次函数的形式：y = 5 - x ， 易知该一次函数的图象上任意一点的坐标也满足方程x + y = 5.事实上， 以二元一次方程x + y = 5的解为坐标的点所组成的图形与一次函数y = 5 - x的图象完全相同.一般地， 一次函数y = kx + b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y + b = 0 的一个解，以二元一次方程kx- y + b = 0的解为坐标的点都在一次函数y = kx + b的图象
21、上.你能找到下面两个问题之间的联系吗？（1） 解方程： 3x - 6 = 0.（2） 已知一次函数y = 3x - 6，问x取何值时，y = 0？思考思考（1） 方程3x - 6 = 0的解为x = 2.（2） 画出函数y = 3x - 6的图象（如图），从图中可以看出，一次函数y = 3x - 6的图象与x 轴交于点（2，0）， 这就是当y = 0 时，得x = 2，而x = 2正是方程3x - 6 = 0的解.一般地，一次函数y = kx + b （k0） 的图象与x 轴的交点的横坐标是一元一次方程kx + b = 0的解.任何一个一元一次方程kx + b = 0 的解， 就是一次函数y
22、= kx + b 的图象与x 轴交点的横坐标.【例3】已知一次函数y = 2x + 6， 求这个函数的图象与x轴交点的横坐标.解法一：（1） 令y = 0， 解方程2x + 6 = 0， 得x = -3.所以一次函数y = 2x + 6的图象与x轴交点的横坐标为-3.解法二：画出函数y = 2x + 6的图象（如图）， 直线y = 2x + 6与x 轴交于点（-3，0），所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.1. 把下列二元一次方程改写成y = kx + b的形式.（1） 3x + y = 7； （2） 3x + 4y = 13. 答案：（1）y=-3x+7；（2） .31344yx 练习练习2. 已知函数y = 3x + 9，自变量满足什么条件时，y = 0？答案：x=-3.3. 利用函数图象， 解方程3x - 9 = 0.-3O396-3369xy解 画出函数y = 3x + 9的图象，如下图所示，直线 y = 3x + 9与 x轴交于点（3，0），所以该方程的解为x=3.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流. .我思 我进步
