1、 第七节 数学归纳法(理) 主干知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法第一个值n0(n0N*)k1 基础自测自评 1用数学归纳法证明3nn3(nN，n3)，第一步应验证 ()An1 Bn2Cn3 Dn4C Ank1时等式成立 Bnk2时等式成立 Cn2k2时等式成立 Dn2(k2)时等式成立 B因为n为偶数，故假设nk成立后，再证nk2时等式成立
2、 4用数学归纳法证明12222n12n21(nN*)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为_答案1222 关键要点点拨 数学归纳法的应用 (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论” (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误 用数学归纳法证明恒等式 规律方法 用数学归纳法证明等式的规则 (1)数学归纳法证明等式要充分利
3、用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据 (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由nk到nk1时要充分利用假设，不利用nk时的假设去证明，就不是数学归纳法用数学归纳法证明不等式 规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明 典题导入 (2012天津模拟)如图，P1(
4、x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y 0)上的n个点，点Ai(ai，0)(i1，2，3，n)在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点) (1)写出a1、a2、a3； (2)求出点An(an，0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式并证明归纳猜想证明 规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式 【高手支招】 第一步，弄清题意，确定要证明的与正整数n有关的命题； 第二步，验证n取初始值n0时命题成立(注意初始值的取值)； 第三步，假设nk时命题成立，证明nk1时命题也成立(注意用上nk成立的条件)； 第四步，归纳结论，并反思解题过程课时作业课时作业
