1、 因式分解（优生集训）因式分解（优生集训） 一、综合题一、综合题 1分解因式： （1） （2） 【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】 （1）利用平方差公式可得原式=(a2+1)(a2-1)，再次利用平方差公式分解即可； （2）首先提取公因式-x，然后利用完全平方公式分解即可. 2分解因式： （1） （2） 【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行因式分解即可； (2)先提取公因式 2，再利用平方差公式继续分解即可. 3分解因式： （1） （2） 【答案】（1）解：原式= x（x2-4 xy+4 y2） = x（x-2y）2 （2）原式=（b2- a
2、2）+（b -a） =（b +a） （b -a）+（b -a） =（b -a） （b +a+1） 【解析】【分析】 （1）先提取公因式 x，然后利用完全平方公式进行分解即可 （2）利用平方差公式分解即可求得答案 4对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4 进行因式分解时，小亮先设 a2-4a=b，代 入原式后得： 原式=(b+2)(h+6)+4 =b2+8b+16 =(b+4)2 =(a2-4a+4)2 （1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下那种数学思想：_； A整体换元思想 B数形结合思想 C分类讨论思想 （2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果； （3）请参考以上方法对多
3、项式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+1 进行因式分解。 【答案】（1）A （2）存在的问题：分解不彻底： 正确结果：(a-2)4 （3）设 4a2+4a=b， 原式=b(b+2)+1 =b2+2b+1 =(b+1)2 =(4a2+4a+1)2 =(2a+1)4 【解析】【分析】 （1）观察多项式，先设一个 b，利用了整体换元思想。 （2）还可以利用完全平方公式继续化简。 （3）利用整体换元、完全平方公式，可进行因式分解。 5若 a+b3，ab1. 求 （1）a2+b2； （2） （ab）2； （3）ab3+a3b. 【答案】（1）解：a2+b2（a+b）22ab32217； （2）解：
4、（ab）2（a+b）24ab32415； （3）解：ab3+a3bab（a2+b2）177. 【解析】【分析】 （1）根据完全平方公式可得a2+b2(a+b)2-2ab，然后将已知条件代入计算即可； （2）根据完全平方公式可得(a-b)2(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入计算即可； （3）对待求式子因式分解可得 ab3+a3bab(a2+b2)，然后代入计算即可. 6 （1）因式分解： （x-y） （3x-y）+2x（3x-y） ； （2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值若不能，请说明理由 【答案】（1）解：原式=（3x-y） （x
5、-y+2x）=（3x-y） （3x-y） =（3x-y）2 （2）解：将 y=kx 代入上式得： （3x-kx）2=（3-k）x2=（3-k）2 x2；令（3-k）2=1，3-k=1，解得：k=4 或 2 【解析】【分析】 （1）将 3x-y 看着整体，利用提公因式法可得结果。 （2）将 y=kx 代入，再根据使化简的结果为 x2，由此可建立关于 k 的方程，解方程求出 k 的值。 7已知 是方程 的解. （1）当 时，求 的值. （2）求 的值. 【答案】（1）解：当 代入方程 得： （2）解： 9a2+6ab+b2+1=(3a+b)2+1 =(32-)2+1 =(5)2+1 =75+1 =
6、76; 【解析】【分析】 （1）已知 a 的值，则 x 可求，把 x、y 值代入方程 3x+by=即可求出 b 值； （2）把原式前三项按完全平方公式分解因式，再代入 a、b 值即可求出结果。 8下面是某同学对多项式（x2-4x+2） （x2-4x+6）+4 进行因式分解的过程 解：设 x2-4x=y， 原式=（y+2） （y+6）+4 （第一步） =y2+8y+16 （第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2-4x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_ A提取公因式 B平方差公式 C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底
7、？ （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x） （x2-2x+2）+1 进行因式分解 【答案】（1）C （2）不彻底； （x-2）4 （3）解： （x2-2x） （x2-2x+2）+1 =（x2-2x）2+2（x2-2x）+1 =（x2-2x+1）2 =（x-1）4 【解析】【解答】 （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故答案为：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底， 原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4； 故答案为：不彻底， （x-2）4 【分析】 （1）根据分解因式的过程直接得出答案
8、； （2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可； （3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可 9在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果如：已知 ， ，求代数式 的值可以这样思考： 因为 ， 所以 即 所以 举一反三： （1）已知 ， ，求 的值 （2）已知 ，则 的值 （3）已知 ，求 的值 【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18 所以（a+b）2-（a-b）228-12 所以 a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)16 即 4ab=16 ab=4 （2）解
9、：因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 所以 （3）解：因为 ，所以 -1+2019 2018 【解析】【分析】 （1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到 4ab=16，即 ab=4； （2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ； （3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可 10下面是某同学对多项式（x24x+2） （x24x+6）+4 进行因式分解的过程 解：设 x24xy， 原式（y+2） （y+6）+4 （第一步） y2+8y+16 （第二步） （y+4）2（第三步） （x24x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号） A提取公因式 B平
10、方差公式 C两数和的完全平方公式 D两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将 y 用所设中的 x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果这个结果是否分解到最后？ （填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x） （x22x+2）+1 进行因式分解 【答案】（1）C （2）否； （x2）4 （3） （x22x） （x22x+2）+1 （x22x）2+2（x22x）+1 （x22x+1）2 （x1）4 【解析】【解答】解： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故答案为：C； （2）这个结果没有分解到最后，原式（x24x+
11、4）2（x2）4；故答案为：否，（x2）4； 【分析】 （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； （2）这个结果没有分解到最后，还需要利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止； （3）把 x22x 看成一个整体，先将代数式整理成一般形式，然后利用完全平方公式分解因式，再将底数使用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。 11解答题 （1）根据如图所示的图形写出一个恒等代数式; （2）已知 x- =3(其中 x0),求 x+ 的值. 【答案】（1）解：(a+b)2-(a-b)2=4ab （2）解：将 x- =3 的两边平方,得 =9, 所以 x2-2+ =9
12、, 则 x2+ =11, =x2+ +2=13, 因为 x0, 所以 x+ = 【解析】【分析】 （1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积=4 个长方形的面积，列式即可。 （2）将原式两边同时平方，得出，再将左边配成完全平方式，左右两边同时加上 2，然后根据 x0，求出代数式的值即可。 12阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x2+（m+n）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x2+（m+n）x+mn（x+m）（x+n） 例如：x2+5x+6x2+（2+3）x+23（x+2） （x+3） 运用上述方法分解因
13、式： （1）x2+6x+8； （2）x2x6； （3）x25xy+6y2； （4）请你结合上述的方法，对多项式 x32x23x 进行分解因式 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【解析】【分析】(1)常数项 8=24，它的一次项系数 6=2+4；(2)常数项-6=-32，它的一次项系数-1=-3+2；(3)将 6y2看成常数项，-5y 看成一次项系数，6y2=(-2y)(-3y)，-5y=(-2y)+(-3y)；(4)先提出公因式 x，再按材料介绍的方法分解因式. 13将式子 4x+（3xx）=4x+3xx，4x（3xx）=4x3x+x 分别反过来，你得到两个怎样的等式？
14、（1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式3x54x2+3x32 的值，把它的后两项放在： 前面带有“+”号的括号里； 前面带有“”号的括号里 说出它是几次几项式，并按 x 的降幂排列 【答案】（1）解：将式子 4x+（3xx）=4x+3xx，4x（3xx）=4x3x+x 分别反过来， 得到 4x+3xx=4x+（3xx） ，4x3x+x=4x（3xx） ， 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 （2）解：3x54x2+3x32=3x34x2+（3x32） ；
15、 3x54x2+3x32=3x34x2（3x3+2） ； 它是五次四项式，按 x 的降幂排列是3x5+3x34x22 【解析】【分析】 （1）将式子 4x+（3xx）=4x+3xx，4x（3xx）=4x3x+x 分别反过来，得到4x+3xx=4x+（3xx） ，4x3x+x=4x（3xx） ，比较即可得到添括号法则； （2）利用添括号法则即可求解；利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可 14因式分解： （1） （2） 【答案】（1）解： 原式 = （2）解： 原式 =2xy(x-2xy+y)= 【解析】【分析】 （1）运用平方差公式因式分解即可. （2）先提公因式，再利用完全平方公式因式
16、分解即可. 15分解因式： （1） （2） 【答案】（1）解：原式=2(x-2xy+y). = （2）解：原式= 【解析】【分析】 （1）先提取公因式（常数 2） ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 （2）先变形提公因式后，在利用平方差公式分解即可. 16把下列各式分解因式： （1）； （2） 【答案】（1）解：原式=(xy)2(x-2)=(xy)2(x-2). （2）解：原式=(x2+4+4x)(x2+44x)=(x+2)2(x2)2. 【解析】【分析】 （1）直接找出公因式，进而提取公因式得出即可； （2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可 17分解因式： （1）3
17、a36a2+3a （2）a2(xy)+b2(yx) 【答案】（1）解：原式=3 a（a22a+3）=3 a（a1）2 （2）解：原式= (xy)（a2b2)= (xy)（ab)（a+b） 【解析】【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式） 、二套（平方差公式 ，完全平方公式 ） 、三检查（彻底分解）.（1）根据提公因式和公式法即可分解.（2）根据提公因式和公式法即可分解. 18分解因式： （1）； （2） 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式 【解析】【分析】 （1）直接提取公因式即可； （2）先由完全平方公式分解，再用平方差公式二次分解即可
18、. 19综合题 （1）因式分解：4x216 （2）解方程组 【答案】（1）解：原式=4（x24）=4（x+2） （x2） （2）解： ， 由得：y=4x13， 把代入得：3x+2（4x13）=7， 解得：x=3， 解得：y=4313=1， 原方程组的解为 【解析】【分析】 （1）第 1 题先提公因式再运用平方差公式； （2）采用代入消元法简单些. 20分解因式： （1）3a36a2+3a （2）a2（xy）+b2（yx） 【答案】（1）解：原式=3a（a22a+1）=3a（a1）2 故答案为：3a（a1）2 （2）解：原式=（xy） （a2b2）=（xy） （ab） （a+b） 故答案为： （
19、xy） （ab） （a+b） 【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方差以及平方差公式进行计算。 21教材中，在计算如图 1 所示的正方形 ABCD 的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： （i）把它看成是一个大正方形，则它的面积为（a+b）2； （ii）把它看成是 2 个小长方形和 2 个小正方形组成的，则它的面积为 a2+2ab+b2；因此，可得到等式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （1）类比教材中的方法，由图 2 中的大正方形可得等式： （2）试在图 2 右边空白处画出面积为 2a2+3ab+b2的长方形的示意图（标注好 a，b） ，由图形可知，多项式 2a2+3ab+b2
20、可分解因式为： （3）若将代数式（a1+a2+a3+a20）2展开后合并同类项，得到多项式 N，则多项式 N 的项数一共有 项 【答案】（1） （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （2）；2a2+3ab+b2=（2a+b） （a+b） （3）210 【解析】【解答】解： （1.） （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为： （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2.）如图， 2a2+3ab+b2=（2a+b） （a+b） ， 故答案为：2a2+3ab+b2=（2a+b） （a+b） ； （3.）（a1+a2）2=a
21、12+2a1a2+a22，共有 2+1=3 项； （a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有 1+2+3=6 项， （a1+a2+a3+a20）2展开后合并同类项共有 1+2+3+20= =210 项， 故答案为：210 【分析】 （1）根据图 2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可； （3）由（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3 项； （a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有 1+2+3=6
22、项，知（a1+a2+a3+a20）2展开后合并同类项共有 1+2+3+20= =210 项 22分解因式 （1）a32a2+a （2）a2（xy）+16（yx） 【答案】（1）解：原式=a（a22a+1） =a（a1）2； （2）解：原式=a2（xy）16（xy） =（xy） （a216） =（xy） （a+4） （a4） 【解析】【分析】 （1）直接提取公因式 a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）直接提取公因式（xy） ，进而利用平方差公式分解因式得出答案 23分解因式 （1）21a3b35a2b3 （2）x2+ y2 （3） （2ab）2+8ab 【答案】（1）解：原式=7a2b（3a5b） （2）解：原式=（ y+x） （ yx） （3）解：原式=4a2+4ab+b2=（2a+b）2 【解析】【分析】 （1）根据提公因式，可得答案； （2）根据平方差公式，可得答案； （3）根据完全平方公式，可得答案
