1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 22.2 一元二次方程的解法 1 直接开平方法和因式分解法 (第 1 课时 ) 一、基本目标 1理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤，并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程 2通过利用已学知识求解一元二次方程，获得成功的体验，体会转化思想的应用 二、重难点目标 【教学重点】 用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程 【教学难点】 根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程 环节 1 自学提纲，生成问题 【 5 min 阅读】 阅读教材 P20 P25 的内容，完成下面练习 【 3 min 反馈】 1直接开平方法：利用 _平方
2、根的定义 _解一元二次方程的方法 2因式分解法：利用 _因式分解 _求出方程的解的方法 3因式分解法的依据：如果两个因式的积等于 0，那么两个因式中 _至少 _有一个等于 0.反过来，如果两个因式中有一个等于 0，那么 _它们的积 _就等于 0. 4方程 (x 1)2 1 的解为 _x1 2， x2 0_. 5用因式分解法解一元二次方程 (4x 1)(x 3) 0 时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是 4x 1 0，则另一个方程是 _x 3 0_. 环节 2 合作探究，解决问题 活动 1 小组讨论 (师生互学 ) 【例 1】 用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x
3、1)2 2； (2)(2x 1)2 2x 1； (3) x2 4x； (4)12(x 5)2 9. 【互动探索】 (引发学生思考 )观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤 【解答】 (1)直接开平方，得 x 1 2. 故 x1 2 1， x2 2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)移项，得 (2x 1)2 (2x 1) 0.方程左边分解因式，得 (2x 1)(2x 1 1) 0，所以 2x 1 0 或 2x 1 1 0，得 x1 12， x2 0. (3)方程可变形为 x2 4x 0.方程左边分解因式，得 x(x 4) 0，所以 x 0 或 x 4 0，得 x1 0， x2 4
4、. (4)方程两边同时乘 2，得 (x 5)2 18.直接开平方，得 x 5 3 2，所以 x1 3 2 5，x2 3 2 5. 【互动总结】 (学生总结，老师点评 )(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 观察方程两边是否符合 x2 b(b 0)或 (mx a)2 b(m 0， b 0)的形式； 直接开平方，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根 (2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项，将方程的右边化为 0； 将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式； 令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根 活动
5、2 巩固练习 (学生独学 ) 1一元二次 方程 x2 16 0 的根是 ( D ) A x 2 B x 4 C x1 2， x2 2 D x1 4， x2 4 2在实数范围内定义一种运算 “ ” ，其规则为 a b a2 b2，根据这个规则，方程(x 1) 3 0 的解为 _x1 2， x2 4_. 【教师点拨】 根据新定义，由 (x 1) 3 0，得 (x 1)2 32 0. 3解下列方程： (1)4x2 25； (2)x(x 2) x 2. 解： (1)方程可化为 x2 254 .直接开平方，得 x 52，所以 x1 52， x2 52. (2)移项，得 x(x 2) (x 2) 0.方程
6、左边分解因式，得 (x 2)(x 1) 0，所以 x 2 0或 x 1 0，得 x1 2 或 x2 1. 活动 3 拓展延伸 (学生对学 ) 【例 2】 由多项式乘法： (x a)(x b) x2 (a b)x ab，将该式从右到左使用，即可得到 “ 十字相乘法 ” 进行因式分解的公式： x2 (a b)x ab (x a)(x b) 示例：分解因式： x2 5x 6 x2 (2 3)x 2 3 (x 2)(x 3) (1)尝试：分解因 式： x2 6x 8 (x _2_)(x _4_)； (2)应用：请用上述方法解方程： x2 3x 4 0. 【互动探索】 理解 “ 十字相乘法 ” 的含义
7、对方程左边因式分解 (十字相乘法 ) 解方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解答】 x2 3x 4 0，即 x2 ( 4 1)x ( 4) 1 0， (x 4)(x 1) 0，则 x 1 0 或 x 4 0，解得 x1 1， x2 4. 【互动总结】 (学生总结，老师点评 )解此类题时，要把握新定义的内涵，抓住关键词语，合理套用求解 环节 3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评 ) 直接开平方法? 定义依据：平方根的定义形式：方程 x2 a?a 0?的根为x1 a， x2 a因式分解法? 定义依据：若 ab 0，则 a 0或 b 0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课
8、时对应练习！ 2 配方法 (第 2 课时 ) 一、基本目标 1理解配方法解一元二次方程的含义，并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤 2经历利用完全平方公式推导配方法的过程，掌握新的解一元二次方程的方法 配方法 二、重难点目标 【教学重点】 用配方法解一元二次方程 【教学难点】 把一元二次方程通过配方转化为 (xh)2 k(k 0)的形式 环节 1 自学提纲，生成问题 【 5 min 阅读】 阅读教材 P25 P27 的内容，完成下面练习 【 3 min 反馈】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1. (1)x2 6x _9_ (x _3_)2； (2)x2 x _14_ ? ?x ！ _12
9、_# 2； (3)4x2 4x _1_ (2x _1_)2. 2配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的 _完全平方式 _，右边是一个 _非负常数 _，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 环节 2 合作探究，解决问题 活动 1 小组讨论 (师生互学 ) 【例 1】 用配方法解下列方程： (1)x2 4x 12 0； (2)22x2 4x 6 0. 【互动探索】 (引发学生思考 )用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】 (1)原方程可化为 x2 4x 12. 配方，得 x2 4x 4 16，即 (x 2)2 16. 直接开平方，得 x 2 4 ，
10、 所以 x1 2， x2 6. (2)移项，得 22x2 4x 6. 两边同除以 22，得 x2 211x 311. 配方，得 x2 211x ? ?111 2 311 ? ?111 2，即 ? ?x 111 2 34121. 直接开平方，得 x 111 3411 ， 所以 x1 1 3411 ， x2 1 3411 . 【互动总结】 (学生总结，老师点评 )用配方法解一元二次方程的一 般步骤： (1)变形：将方程化为一般形式 ax2 bx c 0(a 0)； (2)移项：将常数项移到方程的右边； (3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数，将二次项系数化为 1； (4)配方：在方程的两边
11、各加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为 (xh)2 k的形式； (5)求解：若 k 0，则利用直接开平方法求解；若 k0_时，方程有两个不相等的实数根；当 _ 0_时，方程有两个相等的实数根；当 0， 方程有两个不相等的实数根 (4)a 1， b 7， c 18. b2 4ac ( 7)2 4 1 ( 18) 49 72 1210， 方程有两个不相等的实数根 【互动总结】 (学生总结，老师点评 )不解一元二次方程，由 确定方程根的情况的一般步骤： (1)将原方程化为一般形式； (2)确定 a、 b、 c的值； (3)计算 b2 4ac 的值； (4)判断 b2 4ac与 0 的大小；
12、 (5)得出结论 活动 2 巩固练习 (学生独学 ) 1一元二次方程 x2 3x 5 0 的根的情况是 ( C ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 =【 ;精品教育资源文库 】 = C没有实数根 D无法判断 2若关于 x的一元二次方程 x2 x m 0 有实数根，则 m的取值范围是 ( B ) A m 14 B m 14 C m 14 D m 14 【教师点拨】 若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)有实数根，则 b2 4ac 0. 3已知方程 x2 px q 0 有两个相等的实数根，则 p与 q的关系是 _p2 4q_. 4不解方程，试判断下列方程的 根的情况： (1)
13、2 5x 3x2； (2)x2 (1 2 3)x 3 4 0. 解： (1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程没有实数根 5已知关于 x的方程 kx2 6x 9 0，问 k为何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解： (1)当 k 1 且 k 0 时，方程有两个不相等的实数根 (2)当 k 1 时，方程有两个相等的实数根 (3)当 k 1 时，方程没有实数根 活动 3 拓展延伸 (学生对学 ) 【例 2】 已知关于 x的 一元二次方程 (a c)x2 2bx (a c) 0，其中 a、 b、 c分别为 ABC三边的长若方程有两个相等
14、的实数根，试判断 ABC的形状，并说明理由 【互动探索】 方程有两个相等的实数根 得出 a、 b、 c的数量关系 确定三角形的形状 【解答】 ABC是直角三角形理由如下： 关于 x的一元二次方程 (a c)x2 2bx (a c) 0 有两个相等的实数根， 0，即 (2b)2 4(a c)(a c) 0， a2 b2 c2， ABC是直角三角形 【互动总结】 (学生总结，老师点评 )解此类题时，先根据 根的情况得到判别式的符号，再推出系数之间的关系，进而解决问题 【例 3】 如果关于 x 的方程 mx2 2(m 2)x m 5 0 没有实数根，试判断关于 x 的方程 (m 5)x2 2(m 1)x m 0 的根的情况 【互动探索】 方程 mx2 2(m 2)x m 5 0 没有实数根 确定 m 的取值范围 分类讨
