1、 32.2整数值随机数的产生整数值随机数的产生 1随机数产生的背景 随机试验花费大量的人力物力，需要一种新的便捷方法，这样就产生了用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数的随机数 2随机数的产生方法 如果我们把25个大小形状完全相同的小球分别标上1,2,3，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为 这样我们就可以得到1到25之间的随机整数由于小球大小形状完全相同，因而每个球被摸出都是等可能的因而每个随机数的产生都是等可能的随机数 例如我们从全班50名学生中抽取8名学生进行对看足球比赛的喜爱程度的调查时，我们可以先把50名学生编号为1至50，再制作50支分别
2、标有1,2，49,50的大小形状完全相同的竹签，放入一个桶中摇匀，从中抽取8支，就相应地对这8名学生进行调查，这8支签的号码就是8个随机数，这实际上就是简单随机抽样中的“ ”抽签法 3伪随机数的产生方法 计算机或计算器产生的随机数是依照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质由于计算机产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数随机数表就是用计算机产生的随机数表格随机数表中每个位置上出现哪一个数字是等可能的 4随机模拟法 我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法该方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济学等领域中
3、都得到了广泛的应用 5用计算器和计算机产生随机数的方法 用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数 例如用计算器产生a到b(a、bZ)之间的取整数值的随机数，方法如下(取a0，b100)： 反复按ENTER键，就可以不断地产生(1,100)之间的随机数 重点：整数值随机数的产生与随机模拟试验 难点：用随机模拟方法近似计算概率 1利用计算器或计算机可以产生取整数值的随机数，这样的随机数可以用来进行随机抽样，排序和随机模拟试验 (1)利用随机数可以快速产生随机抽样中需要抽取的样品的号码； (2)利用随机数产生需
4、要排序的样品的序号，然后可以按照序号由小到大排列； (3)用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个数代表哪个试验结果，(1)试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表每一个基本事件；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围 2在随机数的产生和随机模拟的学习中，要充分利用信息技术动手实践进行模拟活动，有条件的可用统计软件，统计模拟实验的结果，画出随着试验次数增加的频率分布直方图等统计图，从中体会频率在概率附近波动、稳定在概率上学习用随机模拟方法近似求事件的概率，条件不具备的可以用计算器等其它简便易行的方法，进行简
5、单的模拟试验，统计试验结果，并计算频率估计概率，从中领会概率的意义和统计思想 3用计算机或计算器产生的随机数为伪随机数，由于它的周期很长，在实际应用中产生的误差很小可忽略不计，故常用这种方法模拟试验，主要是它应用方便，这种用计算机或计算器模拟的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法，应用这种方法估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果；研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数 例1(1)从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 (2)将(1)中条件“取出后不放回
6、”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 解析(1)基本事件构成集合(a，b)，(a，c)，(b，c)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，其中(a，b)中的a表示第一次取出的产品，b表示第2次取出的产品，中有6个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件A“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件， (2)有放回的连续取两件，基本事件构成集合(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，b)，(b，a)，(b，c)，(c，c)，(c，a)，(c，b)中共9个等可能的基本事件，事件B“恰有一件次品”包含4个基本事件，P(B) 一个盒子里装有完全相同的十个小球，
7、分别标上1,2,3，10这10个数字，今随机地先后取出两个小球在下列条件下，求两个小球上的数字是相邻整数的概率 (1)小球是不放回的 (2)小球是放回的 解析关键抓住小球取后放回与不放回基本事件总数是不同的 (1)取出的小球是不放回的，事件A“两个小球上的数字为相邻整数”可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)共9种按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有9种可能，但(x，y)与(y，x)认为是一样的，共有结果109245种， 点评注意(1)(2)两问解法的区别，计数所有基本事件的方法和所求事件中包含的基
8、本事件的方法必须保持一致. 例2甲盒中有红、黑、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄、黑、白皮笔记本各2本，从两盒中各取一本，求取出的两本是不同颜色的概率 解析从甲盒中取一本有9种取法，对于甲的每一种取法从乙盒中取1本都有6种取法， 等可能的取法共有9654种，设事件A“取出的两本是相同颜色的笔记本”，B“取出的两本是不同颜色的笔记本”，则A与B是对立事件，显然事件A中所含基本事件数易求，两本都是黑的有326种取法，都是白的也有6种取法， 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题 (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两
9、人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 解析甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，对于先抽的每一种抽法后抽的都有9种抽法，故所有可能的抽法是10990种即基本事件总数是90. (1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， 甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6424. 点评将选择题编号为16，填空题编号为710，用平面直角坐标系中的点(x，y)来表示抽取方法，x表示甲抽到号码，y表示乙抽到号码，如(3,7)表示甲抽到选择题3号，乙抽到填空题7号(其中xy)，则共有不同抽取方法10101090种. 例3用模拟试验的方法，估计抛掷硬币
10、正面向上的概率 解析解法1：用计算器产生(0,1)之间的随机数，如果这个随机数在00.5之间，则认为硬币正面朝下；如果这个随机数在0.51之间，则认为硬币正面朝上记下正面朝上的频数及试验总次数，就可以得到正面朝上的频率了 解法2：利用随机函数产生从整数0到整数1的随机整数，记0为正面向上，1为反面向上，统计正面向上的次数，然后计算频率从而估计概率的近似值 下面给出用Excel软件统计正面向上出现的频率的方法(记1为正面向上) 1打开Excel软件，在表格中选择一格如A1，在菜单下的“”后键入“RAND”，按Enter键，则此格的数是随机产生的01的小数 2选定A1格，按CtrlC快捷键，把A1
11、格的函数复制到其他位置，如A2A100，按CtrlC快捷键，则A2至A100的数均为01的小数 3选定B1格，在菜单下的“”后键入“ROUND(A1,0)”，按Enter键，则此格的数是对A1的数进行四舍五入随机产生的0或1的数；然后把B1格的函数复制到B2B100，这些格均随机出现0或1. 4选定C1格，在菜单下的“”后键入频数函数“FREQUENCY(B1B100,0.5)”，按Enter键，在此格出现比0.5小的数的个数，即0的频数 5选定D1格，在菜单下的“”后键入“1C1/100”，按Enter键，在此格出现的数是这100次试验中出现1的频率由此可得出正面向上的频率 (注：不同的计算
12、器(机)上的不同的软件其操作规程会有所不同，实际应用时可参阅其帮助) 随机模拟掷骰子试验，估计掷得1点的概率 解析掷骰子得到的结果共有6种可能：1点，2点，6点因而我们可以用计算器或计算机产生1到6间的随机整数来表示每次所掷点数 (1)利用计算器的RANDI(1,6)或计算机的RANDBETWEEN(1,6)产生1到6之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4,5,6表示掷骰子所得点数 (2)统计试验总次数N及1的个数N1. (3)计算频率fn(A) 即为掷骰子得1点的概率的近似值 例4同时抛掷两枚骰子，计算都是1点的概率 解析抛掷两枚骰子，相当于产生两个1到6之间的随机数，因而我们可以利用计
13、算器或计算机产生1到6之间的取整数值的随机数，两个随机数作为一组，每组第一个数表示第一枚骰子的点数，第二个数表示第二枚骰子的点数 统计随机数总组数N及其中两个随机数都是1的组数N1，则频率 即为投掷两枚骰子都是1点的概率的近似值 点评如果改为投掷三枚(四枚)骰子，则可以把3个(4个)随机数作为一组，统计总组数与满足条件的组数即可如求投掷三枚时两枚6点一枚1点的概率时只要统计两个6一个1的组数即可 例5为调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作过标记后放回，一星期后，又逮到这种动物1000只，其中有作过标记的100只，按概率方法估算，保护区内共有这种动物约多少
14、只？ 例6一次数学竞赛，有三道数学题，李明能答对每道题的概率都是80%，则这三道题中，李明恰能答对两道的概率是多少？ 解析解决这类问题的关键环节是概率模型的设计，这里试验出现的可能结果是有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，不能用古典概型来求概率，我们考虑用计算器或计算机来模拟答对每道题的概率为80%，方法很多 例如，我们可以产生09之间的整数值随机数，用01表示答错，用29表示答对，这样来体现每道题答对的概率都是80%，让计算机随机产生三个这样的数作为一组表示三道题的对错情况，如093表示第一题答错，第二、三两题答对，产生一组这样的随机数就表示做了一次试验，然后用N统计试验次数，用N1统计
15、数组中恰有两个在39之间的次数，则 为频率，由此可估计概率 例7将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子掷出的点数，若把点P(a，b)的坐标满足a0，b0，ab4的事件记为A，求事件A的概率 解析如图，用直角坐标系中的点集表示基本事件空间，坐标满足a0，b0，ab4的点共有6个， 点评把基本事件用平面直角坐标系中的点表示是解决某些概率问题常用的方法 任意抛掷两颗骰子，则点数之和为7的概率为_ 解析如图，容易看出 基本事件总数n36. 记“点数之和出现7”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：(6,1)、(5,2)、(4,3)、(3,4)、(2,5)、(1,
16、6)，所以P(A) 一、解答题 1如图所示，a，b，c，d是4个处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，求电路被接通的概率 解析4个开关任意闭合两个，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种方式；电路被接通时，开关d必须被接通，即有ad，bd，cd共3种方式，所以，电路被接通的概率为 . 2要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，写出利用随机数抽取的过程 解析S1把10架钢琴编号，号码为0,1,2，9； S2用编号为09的十支号签放在密闭容器中，随机抽取4支记下号码； S3以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的钢琴 点评步骤S2可用计算器的随机函数R A N D I ( 0 , 9 ) 或 计 算
17、 机 的 随 机 函 数RANDBETWEEN(0,9)产生4个09的整数随机数，如果重复，则重新产生一个，直到4个都不重复为止 3一体育代表队共有21名水平相当的运动员现从中抽取11人参加某场比赛，其中运动员甲必须参加写出利用随机数抽取的过程 解析甲必须参加，实际上就是从20名运动员中抽取10名 S1把其余20名运动员编号，号码为1,2,3，19,20； S2 用 计 算 机 的 随 机 函 数RANDBETWEEN(1,20)或计算器的随机函数RANDI(1,20)产生10个120之间的不同的整数随机数； S3上面10个号码对应的10名运动员和甲就是要抽取的对象 4用随机数把a，b，c，d
18、，e五位同学排成一列 解 析 S1 用 计 算 器 的 随 机 函 数R A N D I ( 1 , 5 ) 或 计 算 机 的 随 机 函 数RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的15的整数随机数，依次作为a，b，c，d，e五位同学的序号； S2将五个同学按序号从小到大的顺序依次排成一列 5(1)随机模拟掷骰子试验，估计得6点的概率 (2)随机模拟抛掷两枚骰子，估计都是6点的概率 (3)随机模拟同时抛掷两枚骰子，估计一个是1点，另一个是2点的概率 (4)随机模拟先后抛掷两枚骰子，估计第一个是1点，第二个是2点的概率 解析(1)用计算器(或计算机)上的随机函数产生16之间的整数随机数，
19、统计试验总次数N和出现6点的次数N1，计算频率f(A) 作为事件A的概率的近似值 (2)设事件A为“抛掷两枚骰子都得到6点” 用计算器的随机函数RANDI(1,6)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,6)产生1到6之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6表示掷骰子所得点数：1点，2点，3点，4点，5点，6点两个一组来分别表示两枚骰子的点数； 统计试验产生随机数总组数N及其中两个数都出现6的次数N1； 计算频率fn(A)N1/N即为事件A的概率的近似值 (3)设事件A为“抛掷两枚骰子得到一枚1点一枚2点” 用计算器的随机函数RANDI(1,6)或计算机的随机函数RANDBETWE
20、EN(1,6)产生1到6之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6表示掷骰子所得点数：1点，2点，3点，4点，5点，6点，两个一组来分别表示两枚骰子的点数； 统计试验产生随机数总组数N及其中两个数中一个1一个2的次数N1； 计算频率fn(A)N1/N即为事件A的概率的近似值 (4)设事件A“抛掷两枚骰子得到第一枚是1点第二枚是2点” 用计算器的随机函数RANDI(1,6)或计算机随机函数RANDBETWEEN(1,6)产生1到6之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6表示掷骰子所得点数：1点，2点，3点，4点，5点，6点两个一组来分别表示两枚骰子的点数； 统计试验产生随机数总组数N及其中两个数中第一个是1第二个是2的次数N1； 计算频率fn(A)N1/N即为事件A的概率的近似值
