1、3.1.1方程的根与函数的零点 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y = ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=
2、f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫叫做函数做函数y=f(x)的零点。的零点。零点是零点是点点吗吗? ?注意：注意：零点指的是零点指的是一个一个实数实数； 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫叫做函数做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象: 在区间在区间 2,4上，上，f(2)_0 ,f(4)_0，f(2)f(4)_0在区间（在区间（2,4）上，）上，x3 是是 x2
3、2x30的另一个根的另一个根 . . .xy0132112123424零点存在性的探索 在区间在区间-2,1上，上，f(-2) _0, f(1)_0,则则 f(-2) f(1) _0 ，在区间（在区间（-2，1）上，）上，x=-1是是 x2 2x30的一个根的一个根 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象上的图象是连续不断是连续不断的一条曲线的一条曲线，并且有，并且有 f(a)f(b)0 那么函数那么函数y=f(x)在在区间区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在 c(a,b) ， 使得使得 f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。结论：结
4、论：abxy0ab0yxab0yxab0yxabb bbb bbbbbbbbbbbbxy0思考：若函数思考：若函数y=f(x) 在区间在区间(a, b)内有零内有零点，一定能得出点，一定能得出f(a)f(b)0的结论吗？的结论吗？ 由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点，这个增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（零点所在的大致区间是（2，3）解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、
5、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数及零点所在的的零点个数及零点所在的大致区间。大致区间。123456789x0246105y241086121487643219 确定函数零点所在大致区间及零点个数的方确定函数零点所在大致区间及零点个数的方法、步骤：法、步骤： （1）作出）作出x、f(x)的对应值表格；的对应值表格； （2）作出）作出y=f(x)的图象；的图象； （3）确定）确定y=f(x
6、)的单调性情况的单调性情况 （4）作出判断。）作出判断。归纳、小结归纳、小结v如果函数如果函数 y=f(x) 在在a,b上上,图象是图象是连续连续的，并且在闭区间的两个端点的，并且在闭区间的两个端点上的函数值上的函数值互异互异即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数那么，这个函数在函数那么，这个函数在(a,b)内内必有惟一的一个零点。必有惟一的一个零点。思考：函数思考：函数y=f(x) 满足什么条件时在满足什么条件时在区间区间(a, b)内有唯一的零点？内有唯一的零点？ 1、对于定义在、对于定义在R上的函数上的函数y=f(x),若若f(a).f(b)0 (且且a 2 B m2 D m23、
7、函数函数f(x)=x3-16x的零点为的零点为( )A (0,0),(4,0) B 0,4 C ( 4 ,0), (0,0),(4,0) D 4 ,0,44、函数、函数f(x)= x3 3x+5的零点所在的大致区间为（的零点所在的大致区间为（ ）A （1，2） B （ 2 ，0） C （0，1） D （0， ）21DBDA5、已知函数已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如的图象是连续不断的，有如下的下的x,f(x)对应值表：对应值表：x1234567f(x) 239 7 11512 26那么函数在区间那么函数在区间1，6上的零点至少有（上的零点至少有（ ）个）个 A 5 B 4 C 3 D 2C6、方程、方程lnx= 必有一个根的区间是（必有一个根的区间是（ ） A （1，2） B （2，3) C ( , 1 ) D (3, )2x1eB小结与思考函数零点的定义函数零点的定义函数的零点或相应方程的根的存在性以及个函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断数的判断布置作业：布置作业：P108 习题习题3.1 第第2题题练习：BB
