1、第3课时空间向量与空间角问题问题引航引航1.1.异面直线所成的角异面直线所成的角, ,直线与平面所成的角直线与平面所成的角, ,平面与平面所成角的范围分别是多少平面与平面所成角的范围分别是多少? ?2.2.如何应用向量法求空间三种角如何应用向量法求空间三种角? ?空间三种角的向量求法角的分类角的分类向量求法向量求法范围范围异面直线异面直线所成的角所成的角设两异面直线所成的角为设两异面直线所成的角为,它们它们的方向向量为的方向向量为a, ,b, ,则则cos=cos=_=_._=_._直线与平直线与平面所成的面所成的角角设直线设直线l与平面与平面所成的角为所成的角为,l的的方向向量为方向向量为a
2、, ,平面平面的法向量的法向量为为n, ,则则sin=_=_.sin=_=_.|cos|aba b(02，|cos|ana n02，角的分类角的分类向量求法向量求法范围范围二面角二面角设二面角设二面角-l - -为为,平面平面,的法向量分别为的法向量分别为n1 1, ,n2 2, ,则则|cos|=|cos|=_=_=_|cos|1212.| | |n nnn0,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()(2)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的余弦值为cos= ()(3)直线与平面所成角的范围为 ()12
3、12.| | |n nnn(0).2，【解析】(1)错误.两异面直线所成的角的范围为 ,两直线的方向向量所成角的范围为0,.(2)错误.二面角的范围为0,两向量所成角的范围为0,虽然范围一致,但两向量所成的角与二面角不一定一致,因平面的法向量的指向有两个,两向量所成的角与二面角所成的角同为直角、锐角、钝角时才相等.(3)错误.当直线与平面垂直时所成角为 .答案:(1)(2)(3)(02，22.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为.(2)若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为u2=(2
4、,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为.(3)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2的方向向量为u2=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为.【解析】(1)cos= 所以=45.所以二面角为45或135.答案:45或135(2)因为u1=(1,1,1)与u2=(2,2,2)共线易得直线与平面垂直,则直线与平面所成的角的正弦值为1.答案:11222，mnm n(3)因为u1u2=(1,3,2)(2,-1,1)=1,|u1|u2|= 则两直线所成的角的余弦值为|cos|= 答案:1 9 44 1 1842 21 ，121221.42| | |u uuu2142【要点探究】知识
5、点 向量法求空间角1.两条异面直线所成的角的两个关注点(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成的角 ,故两直线的方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.(02，2.对直线与平面所成角的两点说明(1)互余关系:若直线与平面所成的角为,直线的方向向量和平面的法向量夹角为,则其关系为sin=|cos|.(2)对应关系:若直线l(方向向量为a)与平面(法向量为n)所成的角为,当 时,= -;当 时,=- .02，(2，223.二面角范围的辨别若二面角为,两平面的法向量夹角为,则|cos|=|cos|,需分辨角是锐角还是钝角,
6、可由图形观察得出,也可由法向量特征得出.4.“一作,二证,三求”计算空间角一作:即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移法求解,线面角的关键是作出斜线在平面上的射影,二面角的关键是利用三垂线定理找二面角;二证:找到对应角后利用异面直线所成角,线面所成角,面面所成角的定义证明对应角就是所求角;三求:一般来说是通过解三角形求解.要注意异面直线所成角,直线与平面所成角,二面角的范围.【微思考】(1)若二面角-l-的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二面角的平面角与两法向量夹角的关系.提示:相等或互补(2)利用向量法求空间角时,关键需找到哪些量?提示:关键要找到直线的方向向量与平面的法向量
7、.【即时练】已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为.【解析】 (1，2，0)， (1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由n 0，n 0知令x2，则y1，z所以平面ABC的一个法向量为n(2，1， )平面xOy的一个法向量为 (0，0，3)由此易求出所求二面角的余弦值为答案： AB AC AB AC x 2y 0 x 3z 0. ，2.323OC 2727【题型示范】类型一 异面直线所成的角【典例1】(1)(2014天津高二检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线
8、D1C与BE所成角的余弦值为()13 10103A. B. C. D.510105(2)在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值3【解题探究】1.题(1)中如何建立空间直角坐标系?异面直线D1C与BE所对应的方向向量分别是多少?2.题(2)中在坐标系中如何确定点A,C,V,D的坐标?【探究提示】1.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则异面直线BE与D1C的方向向量分别为 (1，0，1)， (1，0，2).2
9、.由ACBC2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)再结合 可得V(0，0， ).BE 1CD 36【自主解答】(1)选B.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，因为AA12AB，所以E(0，0，1)，D1(0，1，2)，所以 (1，0，1)， (1，0，2)，所以 (2)ACBC2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)BE 1CD 111BECD33 10cos BECD.10B
10、E|CD |25 ， | |当 时，在RtVCD中，CD故V(0，0， )所以 (2，0，0)， (1，1， )所以所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为32，6AC VD 6ACVD22cos ACVD.422 2AC|VD| ， 2.4【方法技巧】求异面直线夹角的两种方法(1)几何法.方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解.主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围.关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论.
11、(2)向量法.方法:利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角,若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即cos=|cos|.关注点:求角时,常与一些向量的计算联系在一起,如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算.【变式训练】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1, ABC=90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成角的大小是.【解析】分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,设AB=1,则B(0，0，0)，E( ，0，0)，F(0，0， )，C1(0，1，1
12、)，所以 (0，1，1)所以直线EF和BC1所成角的大小为60.答案：60121211EF (0 )22， ，1BC 1111EFBC12cos EFBC22EF BC22 ， ，【补偿训练】如图所示,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB=60,AOB=90,且OB=OO1=2,OA= ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.3【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0，0，0)，O1(0，1， )，A( ，0，0)，A1( ，1， )，B(0，2，0)，所以所以所以异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为333311AB OB OA313 ， ，11O
13、A OA OO313 ，11cos ABOA ， 1111ABOA(313) ( 3 13)1.777AB|OA| ， ， ，1.7类型二 直线与平面所成的角【典例2】(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()1232A. B. C. D.3333(2)(2013湖南高考)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中, ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.证明:ACB1D;求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【解题探究】1.题(1)中可利用哪个条件建立空间直角坐标
14、系?2.题(2)中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系?直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值用向量如何表示?【探究提示】1.可利用侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心,建立空间直角坐标系.2.利用AB,AD,AA1两两垂直可以建立空间直角坐标系.设n是平面ACD1的一个法向量,则直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值sin=|cos|= 11BC1111BC.|BC |nn【自主解答】(1)选B.如图,设A1在平面ABC内的射影为O,以O为坐标原点,OA,OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系,如图设ABC边长为1，则所以平面ABC的法向量n(0，0，1)，
15、则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin |cos ，n|133 16A(00) B()32 2 3， ， ，15 3 16AB ()62 3 ， 1AB 623.375 16364 9 (2)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设ABt，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)从而 (t，3，3)， (t，1，0)， (t，3，0)1BD AC BD 因为ACBD，所以 t2300.解得t 或t
16、 (舍去)于是因为 3300，所以即ACBD 331BD333 AC310 ， ， ， ， ，1ACBD 1ACBD ，1ACBD.由知， (0，3，3)， ( ，1，0)， (0，1，0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则 即令x1，则n设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn， |即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为1AD AC 311BC1AC 0AD0 ，nn3x y 03y 3z 0. ，13 3， ， 11BC1111BC321.77| | BC|nn21.7【方法技巧】1.直线和平面所成的角的向量公式如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的
17、法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin=|cos|= .|nen e2.利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量(3)求平面的法向量n.(4)计算：设线面角为，则sin AB. |AB|.| | AB nn【变式训练】(2014石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()666A. B. C. D. 2234【解题指南】建立空间直角坐标系,先计算直线A1B1对应的方向向量 ,再求出平面A1EF的法向量,然后利用向量公式求出A1B1与平面A
18、1EF夹角的正弦值.11AB【解析】选B.建系如图，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，E(1， ，0)，F(0， ，1)，B1(1，1，1) (0，1，0).设平面A1EF的法向量n(x，y，z)，则 即令y2，则 所以n(1，2，1)，cosn， 即所求角的正弦值为 .121211AB11AE 0AF 0 ，nn1y z 02yx0.2 ，x 1z 1，11AB2636，63【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B与平面A1B1CD所成角的大小为.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0
19、,1), C(0,1,0).所以 =(1,0,1), =(0,1,0).1DA DC 设平面A1B1CD的法向量为n(x，y，z)，则令z1得x1.所以n(1，0，1)，又B(1，1，0)，所以 (0，1，1)，1DA0 x z 0y 0.DC 0 ，nn1AB cosn， 所以n， 60，所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30.答案：301AB 11AB11.222AB| | nn1AB 类型三 二面角【典例3】(1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为()(2)PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC 求二面
20、角A-PB-C的余弦值151515A. B C. D663以上都不对2.【解题探究】1.题(1)中的都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),所成的角与二面角是否相等?2.题(2)中建立空间直角坐标系的条件有哪些?求二面角的向量法公式是什么?【探究提示】1.不一定相等,依据向量的方向性可能相等也可能互补.2.PA平面ABC,ACBC是建立空间直角坐标系的条件.利用cos= 1212.n nn n【自主解答】(1)选D.设二面角为，则cos = 所以这个二面角的余弦值为 或(2)方法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B( ，1，0)，C(0，1，0)，P
21、(0，0，1)，所以 (0，0，1)， ( ，1，0)(013) 2241561 94 4 16 ， ， ，15615.62AP AB 2设平面PAB的法向量为n1(x1，y1，z1)，由 得令x11，则n1(1， ，0) (0，1，1)， ( ，0，0)11AP 0AB 0 ，nn111z02xy0.，2CP CB 2设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由 得令z21，则n2(0，1，1)所以cosn1，n2因为所求二面角为锐角，所以二面角A-PB-C的余弦值为22CP 0CB 0 ，nn222yz02x0.，121223.332n nn n3.3方法二：如图所示，取PB的中点D
22、，连结CD.因为PA平面ABC，所以PAAC.所以PC因为PCBC所以CDPB.作AEPB于E，那么二面角A-PB-C平面角的大小就等于 与 的夹角.22PAAC2.2，DC EA 因为PA平面ABC，BCAC，所以PCBC.所以PB 2.所以PD1，PE所以DEPDPE又因为AE CD1，AC1，且22PCBC2PA1.PB21.2APAB3PB2，AC AE ED DC ，AEEDEDDC ，所以即1 12 1cos ，解得cos 故二面角A-PB-C的余弦值为2222ACAEEDDC2|AE|DC| cos ，31443233，3.3【方法技巧】利用向量法求二面角的两种方法(1)若AB,
23、CD分别是两个平面,内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量 与 的夹角,如图.AB CD (2)设n1,n2分别是平面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图.此方法的解题步骤如下:【变式训练】(2014北京高二检测)正方体ABEF-DCEF中, M,N分别为AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成角的余弦值.【解析】方法一：设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则 A(1，0，0)，B(0，0，0)取MN的中点G，连接BG，AG，则111 1M(0 ) N(0
24、)222 2， ，1 1 1G()2 4 4，因为AMN，BMN为等腰三角形，所以AGMN，BGMN.所以AGB为二面角的平面角或其补角因为所以故所求两平面所成角的余弦值为111GA ()244 ， ， ，111GB ()244 ， ， ，1GAGB18cos GAGB.333GA GB88 ， 1.3方法二：设平面AMN的法向量n1(x，y，z) 即令x1，解得y1，z1，111 1AM (0 )AN (0)222 2 ， ， ，11AM0AN0 ，nn11xz 02211xy 0.22，所以n1(1，1，1)同理可求得平面BMN的一个法向量n2(1，1，1)所以 cosn1，n2故所求两平
25、面所成角的余弦值为121211.333n nn n1.3【补偿训练】(2014汕头高二检测)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点(1)求证：PAEF.(2)求二面角D-FG-E的余弦值【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)证明：由于 (0，2，2)， (1，0，0)，则 1002(2)00，所以PAEF.PA EFPAEF (2)易知 (0，0，
26、1)， (1，0，0)， (2，1，1)，设平面DFG的法向量m(x1，y1，z1)，则 解得令x11，得m(1，2，0)是平面DFG的一个法向量DF EFFG DF 0FG 0 ，mm1111z02xyz0.，设平面EFG的法向量n(x2，y2，z2)，同理可得n(0，1，1)是平面EFG的一个法向量因为cosm，n设二面角D-FG-E的平面角为，由图可知m，n，所以cos 所以二面角D-FG-E的余弦值为 .2210| |55210，mnm n105，105【拓展类型】空间角中的探索题 【备选典例】(1)如图，在五面体ABCDEF中 ，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，AF=AB=
27、BC=FE= AD.求异面直线BF与DE所成角的余弦值.在线段CE上是否存在点M，使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为 若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.1363？(2)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCFCEF90，AD EF2.求证：AE平面DCF；当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60？3 ，【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=1，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，F(0，0，1)，E(0，1，1) =(-1，0，1)， =(0，-2，1)，所以异面直线BF与DE所成角的余弦值为BFDE
28、 cos BFDE ， BFDE110102 5BF DE ，10.10设平面CDE的法向量为n=(x，y，z)， =(-1，2，0)， =(0，-2，1)，因为所以令y=1，得x=z=2，所以n=(2，1，2)，CD DE CD0DE0 ，nnx 2y 02y z 0. ，设存在点M(p，q，r)满足条件，由 得p=1-，q=1，r=，即M(1-，1，)，所以 =(1-，1，).因为直线AM与平面CDE所成角的正弦值为所以 得=故当点M为CE中点时，直线AM与平面CDE所成角的正弦值为CMCE AM 6AM6|cos AM|33AM |， ，|nnn12，63，6.3(2)建系如图，设ABa
29、，BEb，CFc，则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A( ，0，a)，E( ，b，0)，B( ，0，0)， ( ，b，0)( ，0，a)(0，b，a)， (0，0，a)， (0，c，0)，设 则(0，b，a)(0，c，a)，所以 1，所以又AE 平面DCF，所以AE平面DCF.333AE 33CD CFAECDCF ，bc，bAECDCFc ，因为且所以 解得b3，c4，所以E( ，3，0)，F(0，4，0)EF3 c b 0 CE ( 3 b 0) ， ， ， ，EFCE 0 EF 2. ， 23 b c b03c b2 ，3设n(1，y，z)与平面AEF垂直，则n 0
30、，n 0，解得n又因为BA平面BEFC， (0，0，a)，所以得到a 所以当AB为 时，二面角A-EF-C的大小为60.AE EF3 3(1 3)a，BA 2|BA |3 31|cosBA |2|BA|4a27 ， ，nnn92，92【方法技巧】关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理.【规范解答】利用向量法求空间角【典例】(12分)(2013新课标全国卷)如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中
31、点,AA1=AC=CB= AB.(1)证明:BC1平面A1CD.(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.22【审题】抓信息,找思路【解题】明步骤,得高分【点题】警误区,促提升失分点1:解题时若在处不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能正确恰当地建立空间直角坐标系,则本例最多得4分.失分点2:解题时若在处不能利用中点坐标公式求解点的坐标或坐标求错,则本例最多得6分.失分点3:解题时若在处不能利用三角函数的知识把向量的余弦值转化为二面角的正弦值,则本例最多得10分.【悟题】提措施,导方向1.利用条件建立空间直角坐标系充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系,特别关注隐含条件的发现,如本
32、例因三棱柱为直棱柱,且AC=CB= AB故可以以点C为坐标原点,分别以直线CA,CB,CC1为x轴,y轴,z轴建立坐标系.222.充分利用向量关系求点的坐标利用向量法求空间角问题,确定直线方向向量与平面法向量是关键,而确定向量的方法是确定点的坐标,充分利用向量关系如中点坐标公式等条件可快速求出点的坐标.3.合理转化向量夹角与空间角转化要合理,范围要明确,三角函数名称要注意,如本例中先求出法向量夹角的余弦值,再求出正弦值.【类题试解】(2014陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EF
33、GH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,所以BCFG,BCEH,所以FGEH.同理EFAD,HGAD,所以EFHG,所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD平面BDC,所以ADBC,所以EFFG,所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,0,1).DA BC BA 设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因为EFAD,FGBC,所以n =0，n =0.得 取n=(1,1,0),所以sin =DA BC z 0,2x 2y 0,BA210|cos BA,| |.552BA nnn
