1、1.2.1 任意角的三角函数1.复习引入我们已经学习过锐角的三角函数，如图：你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?sinBCAACcosABAACtanBCAABABC设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的距离是_过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为_线段MP的长度为_2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数220rabMyxOP(a,b)abMyxOP(a,b)sin,cos,tanMPbOMaMPbOPrOPrOMaP(a,b)MA(1,0)xy1将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上sin,
2、cos,tanMPbOPOMaOPMPbOMa以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆 称 为 单 位 圆P(x,y)A(1,0)xy3.利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)(1) y叫做的正弦,记作sin,即 sin=y(2) x叫做的余弦,记作cos,即 cos=xyx(3) 叫做正切,记作tan,即tan0yxx2kkZ4.三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数51 .3例 求的正弦、余弦和正切值yxBA53O13,
3、225sin332 15cos3235tan3 5=3AOB解: 在直角坐标系中,作出5.典型例题练例2 已知角的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值解:220345OP 设角的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则0004,3,M PMPy OMOMx yxOMM0P0(-3,-4)P(x,y)000sin14;5MPyyOPM POP 003cos;15OMOMxxOPOP sin4tancos3yx知道终边上任意一点P(x,y),就可以求出角的三角函数值.yxOMP(x,y)sin,MPxOPrtanMPyOMxcos,OMyOP
4、r22rxy练6.三角函数的定义域sin cos tanyyxx三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR,2|Zkk根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+sin cos tanyyxx-+sincostanyOxOxyOxy口诀： 一全正 二正弦 三正切 四余弦例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三角限角sin0,tan0.证明:如果式都成立,那么为第三象限角.若sin0,那么角的终边可能位于第一或第三象限.因为式都成立,所以角的终边只能位于第三象限.于是为第三象限角可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2(或0至360)角的三角函数值.7.终边相同的角的
5、同一种三角函数值相等sin2sincos2costan2tan.kkkkZ其中诱导公式一角终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: 1 cos250 ; 2 sin;43 tan672; 4 tan3 .解:(1)因为250是第_象限角,所以cos250 0 (2)因为 是第_象限角,所以 (3)因为tan(-670)=tan(48-2360)=tan48而48是第一象限角,所以 tan(-672) 0(4)因为tan3=tan(+2)=tan=0三4sin 04四练例5 求下列三角函数值 9111 sin148010; 2 cos; 3 tan
6、.46 : 1 sin148010 解sin 40104 360 sin40100.6451 92 cos4cos242cos42 113 tan6tan263tan63练习1._tan600o的值是的值是D3D 3C 33B 33A. ._, 0cossin在在则则若若 第二、四象限第二、四象限 第一、四象限第一、四象限第一、三象限第一、三象限 第一、二象限第一、二象限.D .C.B .A练习2.B_0sin20cos边在边在的终的终则则若若 ，且，且第二象限第二象限 第四象限第四象限第三象限第三象限 第一象限第一象限.D .C.B .A练习3.CyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终
7、边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()1.下面从图形角度认识一下三角函数角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|思考(1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定: 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cos 当角的终边不在坐标轴上
8、时,以M为始点、P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sin(2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角的正切吗?思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTM OP的终边A(1,0)当角
9、的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的正切值不存在.例题例题求证：当为锐角时，tansin1.任意角的三角函数的定义。2.明确各种三角函数的定义域。3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况.小结单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆。三角函数线：用有向线段的数量来表示。sincostanMPOMATOxyPMAT规律：三角函数线是有向线段的数量，要分清起点、终点。1）凡含原点的线段，均以原点为起点； 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点为起点；3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的
10、非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线）与过A的圆的切线的交点作业课本第20页习题1.2A组 2,5,7练习利用三角函数的定义求 的三个三角函数值7631,22yxA(1,0)76O解:如图 与单位圆的交点为7631,2271sin62y 73cos62x 73tan63yx返练习已知角的终边过点P(-12,5),求角的三角函数值解:222212513rxy5sin13yr12cos13xr 5tan12yx 返口答: 设是三角形的一个内角,在sin,cos, tan, tan(/2)那些可能取负值?0,0,22sin0,tan022cos0,tan0确定下列三角函数值的符号 1 sin156 162 cos 53 cos450174 tan 845 sin36 tan 5560cos 2cos055cos450720cos270077tan3tan08842sin2sin033tan 360196sin1960练习返tan196o0填表:角角090180270360角角的弧度数的弧度数sincostan023220101001001010A B C D反馈训练反馈训练 03，P（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（ ）sincostancot（3）若角的终边过点，且，53sinmm524cosmm_m（2）若，都有意义，则8 ，aP53cos_a则
