1、7.1.2复数的几何意义 1.1.复平面复平面复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)可以用直角坐标平面内的一个点可以用直角坐标平面内的一个点Z(aZ(a，b)b)来表示，如图：来表示，如图：【思考思考】(1)(1)实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？虚数吗？提示：提示：虚轴上除了坐标原点以外的点都表示纯虚数虚轴上除了坐标原点以外的点都表示纯虚数. .(2)(2)复平面上的点和复数如何建立起一一对应关系？复平面上的点和复数如何建立起一一对应关系？提示：提示：建立直角坐标系，横轴为实轴，纵轴为虚轴，建立直角坐标系，横轴为实
2、轴，纵轴为虚轴，复数复数a+bi(aa+bi(a，bR)bR)与点与点(a(a，b)b)对应对应. .2.2.复数的几何意义复数的几何意义【提醒提醒】复数和平面向量一一对应，则可把复数和向复数和平面向量一一对应，则可把复数和向量建立起紧密的联系量建立起紧密的联系. .3.3.复数的模复数的模(1)(1)定义：向量定义：向量 的的模模叫做复数叫做复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)的的模模. .(2)(2)记法：复数记法：复数z=a+biz=a+bi的模记为的模记为|z|z|或或|a+bi|a+bi|. .(3)(3)公式：公式：|z|=|a+bi|= _(a|z|=|a+bi|=
3、 _(a，bR).bR).OZ 22ab【思考思考】两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大小吗？小吗？提示：提示：复数的模就是复数的长度，它是一个实数，所复数的模就是复数的长度，它是一个实数，所以两个虚数的模是能够比较大小的以两个虚数的模是能够比较大小的. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)原点是实轴和虚轴的交点原点是实轴和虚轴的交点. .( () )(2)(2)实轴和虚轴的单位都是实轴和虚轴的单位都是1.1. ( () )(3)(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点
4、表示纯虚数实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.(.() )(4)(4)复数与复平面内的无数多个向量对应复数与复平面内的无数多个向量对应. .( () )提示：提示：(1).(1).原点既在实轴上又在虚轴上，所以原点原点既在实轴上又在虚轴上，所以原点是实轴和虚轴的交点是实轴和虚轴的交点. .(2)(2). .实轴的单位是实轴的单位是1 1而虚轴的单位是虚数的单位而虚轴的单位是虚数的单位i.i.(3)(3). .实轴上的点表示实数，而虚轴上的点除原点外实轴上的点表示实数，而虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，原点表示实数都表示纯虚数，原点表示实数0.0.(4).(4).复数与复平面内的无数多个向
5、量对应，与以原复数与复平面内的无数多个向量对应，与以原点为起点的向量是一一对应的，故这种说法是正确的点为起点的向量是一一对应的，故这种说法是正确的. .2.2.已知复数已知复数z=1+iz=1+i，则下列命题中正确的个数为，则下列命题中正确的个数为( () )|z|= |z|= ；z z的虚部为的虚部为i i；z z在复平面上对应点在第一象限在复平面上对应点在第一象限. .A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.32【解析解析】选选C.|z|= C.|z|= ，故正确；，故正确；z z的虚部的虚部为为1 1，故错误；，故错误；z z在复平面上对应点是在复平面上对应点是(1(1，1)1)，
6、在第，在第一象限，故正确一象限，故正确. .221123.3.在复平面内，复数在复平面内，复数6+5i6+5i，-2+3i-2+3i对应的点分别为对应的点分别为A A，B.B.若若C C为线段为线段ABAB的中点，则点的中点，则点C C对应的复数是对应的复数是( () )A.4+8iA.4+8iB.8+2iB.8+2iC.2+4iC.2+4iD.4+iD.4+i【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知A(6A(6，5)5)，B(-2B(-2，3)3)，则，则ABAB中点中点C(2C(2，4)4)对应的复数为对应的复数为2+4i.2+4i.4.4.在复平面内，在复平面内，O O为原点，向量为原点
7、，向量 对应的复数为对应的复数为-1+2i-1+2i，若点，若点A A关于直线关于直线y=-xy=-x的对称点为的对称点为B B，则向量，则向量 对应的复数为对应的复数为_._.OA OB 【解析解析】因为因为A(-1A(-1，2)2)关于直线关于直线y=-xy=-x的对称点为的对称点为B(-2B(-2，1)1)，所以向量，所以向量 对应的复数为对应的复数为-2+i.-2+i.答案：答案：-2+i-2+iOB 类型一复数与复平面内点的位置关系类型一复数与复平面内点的位置关系【典例典例】1.1.复数复数z=cos +isin z=cos +isin 在复平面内对在复平面内对应的点在应的点在( (
8、) ) A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限2332.(20192.(2019武汉高二检测武汉高二检测) )若复数若复数z=az=a2 2-3+2ai-3+2ai对应的点对应的点在直线在直线y=-xy=-x上，则实数上，则实数a a的值为的值为_._.3.(20193.(2019四平高二检测四平高二检测) )若复数若复数z=(mz=(m2 2-m-2)+(m-m-2)+(m2 2-3m+2)i-3m+2)i在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m m的取值集合的取值集合为为_._.【思维思维引引】1.
9、1.复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)在复平面内对应在复平面内对应的点的坐标是的点的坐标是(a(a，b).b).2.2.复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)对应的点为对应的点为(a(a，b)b)，即，即(a(a，b)b)在直线在直线y=-xy=-x上，即上，即b=-a.b=-a.3.3.虚轴上除原点对应虚轴上除原点对应0 0之外，其他的点对应的复数都是之外，其他的点对应的复数都是纯虚数，其实部为纯虚数，其实部为0 0，虚部不等于，虚部不等于0.0.【解析解析】1.1.选选B.B.因因cos 0cos 0sin 0，故复数故复数z=cos +isin z=c
10、os +isin 对应的点在第二象限对应的点在第二象限. .2332332.2.复数复数z=az=a2 2-3+2ai-3+2ai在复平面内对应的点的坐标为在复平面内对应的点的坐标为(a(a2 2-3-3，2a)2a)，因为它在直线，因为它在直线y=-xy=-x上，所以上，所以2a=-(a2a=-(a2 2-3)-3)，即即a a2 2+2a-3=0+2a-3=0，解得，解得a=-3a=-3或或a=1.a=1.答案：答案：-3-3或或1 13.3.因为复数因为复数z=(mz=(m2 2-m-2)+(m-m-2)+(m2 2-3m+2)i-3m+2)i在复平面内对应的在复平面内对应的点位于虚轴上
11、，所以点位于虚轴上，所以m m2 2-m-2=0-m-2=0，解得解得m=2m=2或或m=-1.m=-1.答案：答案：-1-1，22【内化内化悟悟】1.1.复平面内的点与复数是怎样对应的？复平面内的点与复数是怎样对应的？提示：提示：复平面内点的坐标与复数的实部虚部是分别对复平面内点的坐标与复数的实部虚部是分别对应的，点应的，点Z Z的横坐标是的横坐标是a a，纵坐标是，纵坐标是b b，则复数，则复数z=a+bi(az=a+bi(a，b b为实数为实数) )可用点可用点Z(aZ(a，b)b)表示表示. .2.2.实轴、虚轴与复数是怎样对应的？实轴、虚轴与复数是怎样对应的？提示：提示：实轴上的点都
12、表示实数，虚轴上的点除了原点实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除了原点外都表示实数外都表示实数. .【类题类题通通】利用复数与点的对应解题的步骤利用复数与点的对应解题的步骤(1)(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)可以用复平面内的点可以用复平面内的点Z(aZ(a，b)b)来表示，是解决此来表示，是解决此类问题的根据类问题的根据. .(2)(2)列出方程列出方程( (组组) )或不等式或不等式( (组组) )：此类问题可寻求复数：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程的实部与虚部应满足的条件，通过解
13、方程( (组组) )或不等或不等式式( (组组) )求解求解. .提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示数可以用点来表示. .【习练习练破破】1.1.复数复数z=iz=i2 2sin +icos sin +icos 对应的点在复平面内的对应的点在复平面内的( () )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限343343【解析解析】选选C.z=iC.z=i2 2sin +icos =- - isin +icos =- - i，在复平，在复平面内对应的点为面内对应的点为 ，
14、在第三象限，在第三象限. .343321231(,)222.2.若复数若复数(m(m2 2-3m-4)+(m-3m-4)+(m2 2-5m-6)i-5m-6)i对应的点在虚轴上，对应的点在虚轴上，则实数则实数m m的值是的值是( () )A.-1A.-1B.4B.4C.-1C.-1或或4 4D.-1D.-1或或6 6【解析解析】选选C.C.因为复数因为复数(m(m2 2-3m-4)+(m-3m-4)+(m2 2-5m-6)i-5m-6)i对应的对应的点在虚轴上，所以点在虚轴上，所以m m2 2-3m-4=0-3m-4=0，解得，解得m=-1m=-1或或4.4.3.3.已知复数已知复数x x2
15、2-6x+5+(x-2)i-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第在复平面内对应的点在第三象限，则实数三象限，则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由已知得由已知得 所以所以 所以所以1x2.1x0+m-20且且4m4m2 2-15m+90-15m+90，解得解得m-1m-1或或 m m3.m3.23342.2.复数复数z=(2xz=(2x2 2-2x)+(x-2x)+(x2 2+3)i+3)i在复平面内对应的点在直在复平面内对应的点在直线线y=xy=x的左上方，则实数的左上方，则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】复数复数z=(2xz=(2x2 2-
16、2x)+(x-2x)+(x2 2+3)i+3)i在复平面内对应的点在复平面内对应的点的坐标为的坐标为(2x(2x2 2-2x-2x，x x2 2+3)+3)，据题意有，据题意有2x2x2 2-2xx-2xx2 2+3+3，解得，解得-1x3.-1x3.答案：答案：-1x3-1x|z|z2 2| |成立，试求实成立，试求实数数a a的取值范围的取值范围. .3.3.复数复数z z1 1=3+4i=3+4i，z z2 2=0=0，z z3 3=c+(2c-6)i=c+(2c-6)i在复平面内对应在复平面内对应的点分别为的点分别为A A，B B，C C，若，若BACBAC是钝角，求实数是钝角，求实数
17、c c的取值的取值范围范围. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号2x1i【思维思维引引】1.1.复数的模的平方等于复数实部与虚部复数的模的平方等于复数实部与虚部的平方和的平方和. .2.2.解决有关复数模的问题的一般思路是利用所给复数解决有关复数模的问题的一般思路是利用所给复数的实部和虚部，求出复数的模或复数模的平方，再利的实部和虚部，求出复数的模或复数模的平方，再利用相关的条件解题用相关的条件解题. .3.BAC3.BAC为钝角为钝角cosBAC0cosBAC0，cosBAC-1cosBAC-1 0 |z|z2 2| |，所以，所以x x4 4+x+x2 2+1(x+1(x2 2+a)+a)2
18、2，所以所以(1-2a)x(1-2a)x2 2+(1-a+(1-a2 2)0)0对对xRxR恒成立恒成立. .当当1-2a=01-2a=0，即，即a= a= 时，不等式成立；时，不等式成立；当当1-2a01-2a0，即，即a a 时，需时，需 所以所以-1a -1a ，综上，综上，a(-1a(-1， .121221 2a 0,4 1 2a1 a0, （） （）12123.3.在复平面内三点坐标为在复平面内三点坐标为A(3A(3，4)4)，B(0B(0，0)0)，C(cC(c，2c-6)2c-6)，由，由BACBAC为钝角，得为钝角，得cos BAC0cos BAC0，且，且A A，B B，C
19、C不共线不共线. =(-3. =(-3，-4)-4)， =(c-3=(c-3，2c-10)2c-10)， 0 00，解得解得c c ，故，故c .c .2.2.在本例在本例3 3中，求中，求 的最小值的最小值. .222|AB| |AC| |BC|0,4911491113|zz |【解析解析】z z1 1+z+z3 3=c+3+(2c-2)i=c+3+(2c-2)i， =(c+3)=(c+3)2 2+(2c-2)+(2c-2)2 2=5c=5c2 2-2c+13-2c+13=5 + =5 + ，当，当c= c= 时，时， 取得最小值取得最小值 ，即即 的最小值为的最小值为 . .213|zz
20、|21(c)564515213|zz |64513|zz |8 55【类题类题通通】求解关于复数模最值问题的两种方法求解关于复数模最值问题的两种方法(1)(1)将将z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)直接代入所要求的式子中去，直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用把所要求的模用x x，y y的函数表示出来，转化为函数最的函数表示出来，转化为函数最值问题值问题. .(2)(2)因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值. .【习练习练破破】1.(2
21、0191.(2019全国卷全国卷)设复数设复数z z满足满足|z-i|=1|z-i|=1，z z在复平面在复平面内对应的点为内对应的点为(x(x，y)y)，则，则( () )A.(x+1)A.(x+1)2 2+y+y2 2=1=1B.(x-1)B.(x-1)2 2+y+y2 2=1=1C.xC.x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1D.xD.x2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1=1【解析解析】选选C.z=x+yiC.z=x+yi，z-i=x+(y-1)iz-i=x+(y-1)i，|z-i|= =1|z-i|= =1，则，则x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.故选
22、故选C.C.22xy 1（）2.2.已知复数已知复数z=3+ai(aR)z=3+ai(aR)，且，且|z|4|z|4，求实数，求实数a a的取值的取值范围范围. .【解析解析】方法一方法一：因为：因为z=3+ai(aR)z=3+ai(aR)，所以所以|z|= |z|= ，由已知得，由已知得3 32 2+a+a2 2442 2，所以所以a a2 277，所以，所以a(- a(- ， ).).223a77方法二：由方法二：由|z|4|z|4知知z z在复平面内对应的点在以原点为在复平面内对应的点在以原点为圆心，以圆心，以4 4为半径的圆内为半径的圆内( (不包括边界不包括边界) )，由由z=3+a
23、iz=3+ai知知z z对应的点在直线对应的点在直线x=3x=3上，上，所以线段所以线段AB(AB(除去端点除去端点) )为动点为动点Z(3Z(3，a)a)的集合，由图可知的集合，由图可知- a .- a .77【加练加练固固】1.1.设设(1+i)x=1+yi(1+i)x=1+yi，其中，其中x x，y y是实数，则是实数，则|x+yi|=(|x+yi|=() )A.1A.1B. B. C. C. D.2D.223【解析解析】选选B.B.因为因为x+xi=1+yix+xi=1+yi，所以，所以x=y=1x=y=1，所以所以|x+yi|=|1+i|= = .|x+yi|=|1+i|= = .2
24、21 122.2.已知复数已知复数z z满足满足z+|z|=2+8iz+|z|=2+8i，求复数，求复数z.z.【解析解析】方法一：设方法一：设z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，则则|z|= |z|= ，代入原方程得代入原方程得a+bi+ =2+8ia+bi+ =2+8i，22ab22ab根据复数相等的充要条件，根据复数相等的充要条件，得得 解得解得 所以所以z=-15+8i.z=-15+8i.22aab2,b 8 ，a15,b 8.方法二：由原方程得方法二：由原方程得z=2-|z|+8i(z=2-|z|+8i(* *).).因为因为|z|R|z|R，所以，所以2-|z|2-|z|为为z z的实部，的实部，故故|z|= |z|= ，即即|z|z|2 2=4-4|z|+|z|=4-4|z|+|z|2 2+64+64，得，得|z|=17.|z|=17.将将|z|=17|z|=17代入代入( (* *) )式得式得z=-15+8i.z=-15+8i.222 z8（ |）
