1、第五章第五课时：第五章第五课时：三角形及梯形三角形及梯形 中位线定理中位线定理 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦一、平行线等分线段定理及其推论一、平行线等分线段定理及其推论1.1.定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相，那么在其他直线上截得的线段也相. .2.2.推论推论1 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰分另一腰. .3.3.推论推论2 2：经过三角形一边的中点与
2、另一边平行的直线：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边必平分第三边. .二、三角形、梯形中位线二、三角形、梯形中位线1.1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段. .2.2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半并且等于它的一半. .3.3.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段. .4.4.梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半两底和的一半. .5.5.梯形面
3、积公式：梯形面积公式：S=1/2(a+b)h=S=1/2(a+b)h=m mh(ah(a、b b为上、下底，为上、下底，m m为中位线为中位线, ,h h为高为高) )1.如图如图5-5-1所示，所示，AD是是ABC的高，的高，DC=BD,MN在在AB上，且上，且AM=MN=NB、MEBC于于E，NFBC于于F，则则FC=( ) A.2/3BC B.2/3BD C.3/4BC D.3/4BD 课前热身课前热身A2.(2003江苏南通市江苏南通市)梯形的上底长为梯形的上底长为a，下底长下底长2.(2003江苏南通市江苏南通市)梯形的上底长为梯形的上底长为a，下底长是上底长下底长是上底长的的3倍，
4、则梯形的中位线为倍，则梯形的中位线为( ) A.4a B.2a C.1.5a D.aB3.(2003长沙长沙)如图如图5-5-2所示，所示，A、B两点分别位于一个池两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到接达到A、B的点的点C，找到找到AC、BC的中点的中点D、E，并且测并且测出出DE的长为的长为15米，则米，则A、B两点间的距离为两点间的距离为30米米. C4.(2003广西桂林市广西桂林市)如图如图5-5-3所示，
5、已知矩形所示，已知矩形4.(2003广西桂林市广西桂林市)如图如图5-5-3所示，已知矩形所示，已知矩形ABCD，R、P分别是分别是DC、BC上的点，上的点，E、F分别是分别是AP、RP的中点，的中点，当当P在在BC上从上从B向向C移动而移动而R不动时，那么下列结论成立不动时，那么下列结论成立的是的是( )A.线段线段EF的长逐渐增大的长逐渐增大B.线段线段EF的长逐渐减少的长逐渐减少C.线段线段EF的长不变的长不变D.线段线段EF的长不能确定的长不能确定5.直角梯形的中位线为直角梯形的中位线为a，一腰长为一腰长为b，这个腰与底边所这个腰与底边所成的角是成的角是30，则它的面积是，则它的面积是
6、( ) A.ab B.1/2ab C.1/4ab D.1/3abB 典型例题解析典型例题解析【例【例1】 如图如图5-5-4所示的梯形所示的梯形ABCD中，中，ADBC，对对角线角线AC与与BD垂直相交于垂直相交于O，MN是中位线，是中位线，DBC=30，求证：求证：AC=MN.【例【例2】 (1)如图如图2-5-5(1)所示，在梯形所示，在梯形ABCD中，已知中，已知ABCD，点点E为为BC的中点，设的中点，设DEA面积为面积为S1，梯形梯形ABCD的面积为的面积为S2，则则S1与与S2的关系是的关系是.(2)如图如图2-5-5(2)所示，在梯形所示，在梯形ABCD中，中，ADBC，且且AD
7、 BC=3 5，梯形梯形ABCD的面积为的面积为8cm2，点点M、N分分别是别是AD和和BC上的一点，上的一点，E、F分别是分别是BM、CN的中点，的中点，则四边形则四边形MENF的面积是的面积是 . 5/2【例【例3】 如图如图5-5-6所示，在四边形所示，在四边形ABCD中，中，ADC=90，AC=BC，E、F分别是分别是AC、AB的中点，的中点，且且DEA=ACB=45，BGAC于于G.(1)求证：四边形求证：四边形AFGD是菱形是菱形.(2)若若AC=CB=10cm，求菱形的面积求菱形的面积. (2) (25 -25)cm2. 2【例【例4】 AB、CD是两条线段，是两条线段，M是是A
8、B中点，中点，S1，S2，S3分别表示分别表示DMC、DAC、DBC的面积的面积.(1)当当ABCD时，如图时，如图5-5-7(1)所示所示.求证求证S1=1/2 (S2+S3).(2)如图如图5-5-7(2)所示，若所示，若AB与与CD不平行，是否有不平行，是否有S1=1/2(S2+S3)?请说明理由请说明理由.(3)如图如图5-5-7(3)所示，若所示，若AB与与CD相交于相交于O点，问点，问S1与与S2、S3有何相等关系有何相等关系?试证明你的结论试证明你的结论.(2)S1=1/2(S2+S3). (3) S1=1/2(S3-S2). 图图5-5-7(2)图图5-5-7(1)图图5-5-
9、7(3) 方法小结方法小结1.1.不能认为在图形中有第三边的一半，不能认为在图形中有第三边的一半，DE=12BCDE=12BC，如图如图5-5-85-5-8所示，就认为所示，就认为DEBC.DEBC.2.2.如图如图5-5-95-5-9所示，所示，ADBCADBC，E E、F F分别是分别是DBDB，ACAC的中点，的中点，有的同学延长有的同学延长EFEF交交DCDC于于G G，就下结论就下结论G G是是DCDC的中点，这里错的中点，这里错误的，应过误的，应过E E作作EGBCEGBC交交DCDC于于G G，则则G G是是DCDC中点，再证中点，再证E E、F F、G G共线共线. .5-5-
10、85-5-9 课时训练课时训练1.梯形的高是梯形的高是6cm，面积是面积是24cm2，那么这个梯形的中那么这个梯形的中位线长是位线长是( )A.8cm B.30cm C.4cm D.18cm2.梯形的两条对角线与中位线的交点把中位线分成三等梯形的两条对角线与中位线的交点把中位线分成三等分，则较短底边与较长底边的比为分，则较短底边与较长底边的比为( )A.1 2 B.2 3 C.1 3 D.2 53.如图如图5-5-10，EF是梯形是梯形ABCD的中位线，则的中位线，则DEF的的面积等于梯形面积等于梯形ABCD面积的面积的( ) A.1/3 B.1/4 C. 1/5 D.1/6CAB4.连接四边
11、形各边的中点得到的四边形是正方形，则原连接四边形各边的中点得到的四边形是正方形，则原四边形的对角线需满足的条件是四边形的对角线需满足的条件是( )A.对角线相等对角线相等 B.对角线垂直对角线垂直C.对角线相等且垂直对角线相等且垂直 D.一条对角线平分另一条对角线一条对角线平分另一条对角线5.已知：四边形已知：四边形ABCD和对角线和对角线AC、BD，顺次连接各顺次连接各边中点得四边形边中点得四边形MNPQ，给出以下六个命题：若所得四给出以下六个命题：若所得四边形边形MNPQ为矩形，则原四边形为矩形，则原四边形ABCD是菱形；若所得是菱形；若所得四边形四边形MNPQ为菱形，则原四边形为菱形，则
12、原四边形ABCD是矩形；若所是矩形；若所得四边形得四边形PQMN为矩形，则为矩形，则ACBD；若所得四边形若所得四边形MNPQ为菱形，则为菱形，则AC=BD；若所得四边形若所得四边形MNPQ为矩为矩形，则形，则BAD=90；若所得四边形若所得四边形MNPQ为菱形，则为菱形，则AB=AD，以上命题中正确的是以上命题中正确的是( ) A. B. C. D.CD6.已知已知D、E、F分别分别ABC各边的中点，则各边的中点，则SDEF= ABC1/4小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在
13、母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人
14、对她的冷眼，天寒地冷的无奈我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照
15、顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家，可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一
16、位德高望重的牧师戴尔泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不到！”猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！”再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？”兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！”泰勒牧师讲完
17、故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出圣经马太福音中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。圣经马太福音中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？”这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。”16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔盖茨。泰勒牧师讲的故事和比尔盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了28左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
