1、第第 5 节节 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题 知 识 梳 理 1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，则该直 线与此平面垂直 la lb abO a b l 性质定理 两直线垂直于同一 个平面，那么这两
2、 条直线平行 a b ab 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平 面的一条垂线， 则这两个 平面互相垂直 l l 性质定理 如果两个平面互相垂直， 则在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于 另一个平面 a la l l 常用结论与微点提醒 1垂直关系的转化 2直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线 (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (3)
3、垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 解析 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交或 l 或 l，故(1)错误 (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误 (3)若两个平面
4、垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与 另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误 (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故(4)错误 答案 (1) (2) (3) (4) 2(必修 2P56A 组 7T 改编)下列命题中错误的是( ) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即
5、 与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项易知均是正确的 答案 D 3(2016 浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m， n，则( ) Aml Bmn Cnl Dmn 解析 因为 l，所以 l，又 n，所以 nl， 故选 C. 答案 C 4(2017 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解析 如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1且 BC1平面 BCC1B1，从而 A1B1BC1， 又 B1CBC1， 且 A1B1B1CB1， 所以 BC1平
6、面 A1B1CD， 又 A1E 平面 A1B1CD，所以 A1EBC1. 答案 C 5(2017 浙江名校协作体联考)已知矩形 ABCD，AB1，BC 2.将ABD 沿矩 形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( ) A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂 直 解析 若 ABCD，BCCD，则可得 CD平面 ACB，因此有 CDAC.因为 AB 1，BCAD 2，CD1，所以 A
7、C1，所以存在某个位置，使得 ABCD. 答案 B 6(必修 2P67 练习 2 改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为 点 O， (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心 (2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心 解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 图 1 图 2 (2)如图 2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面 PAB，AB平面 PAB， PCAB，又 ABPO，POPCP， AB平面 PGC
8、，又 CG平面 PGC，ABCG， 即 CG 为ABC 边 AB 的高 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心 答案 (1)外 (2)垂 考点一 线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， ABAD，ACCD， ABC60 ，PAABBC，E 是 PC 的中点证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD， 又ACCD，且 PAACA， CD平面 PAC.而 AE平面 PAC， CDAE. (2)由 PAABBC
9、，ABC60 ，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD. 而 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，AB平面 ABCD， PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面 ABE. 规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有： 判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质 (a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll) (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性 质因此，判定定理与性质定理的合理转
10、化是证明线面垂直的基本思想 【训练 1】 如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD 1 3DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC，PDDB. 求证：PACD. 证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 ACCB. 在 RtABC 中，由 3ACBC 得，ABC30 . 设 AD1，由 3ADDB 得，DB3，BC2 3. 由余弦定理得 CD2DB2BC22DB BCcos 30 3， 所以 CD2DB2BC2，即 CDAB. 因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC， 所以 PDCD，由 PDABD 得，CD平面 PAB， 又
11、PA平面 PAB，所以 PACD. 考点二 面面垂直的判定与性质 【例 2】 (2017 江苏卷)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 证明 (1)在平面 ABD 内，ABAD，EFAD， 则 ABEF. AB平面 ABC，EF平面 ABC， EF平面 ABC. (2)BCBD，平面 ABD平面 BCDBD，平面 ABD平面 BCD，BC平面 BCD，BC平面 ABD. AD平面 ABD，BCAD. 又 ABAD，BC，AB平面
12、ABC，BCABB， AD平面 ABC，又因为 AC平面 ABC，ADAC. 规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的 判定定理 (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂 线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 【训练 2】 (2017 山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后 得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B
13、1CD1. 证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以 A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形， 所以 A1OO1C， 又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1， 所以 A1O平面 B1CD1. (2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EMBD， 又 A1E平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 A1EBD， 因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1， 又 A1E，EM平面 A1EM，A1EEME， 所以 B1D1平面 A1EM， 又 B1D
14、1平面 B1CD1， 所以平面 A1EM平面 B1CD1. 考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 31】 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， 点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证： (1)直线 DE平面 A1C1F； (2)平面 B1DE平面 A1C1F. 证明 (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1C1AC. 在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DEAC，于是 DEA1C1. 又因为 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，
15、 所以直线 DE平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 A1B1C1. 因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1. 又因为 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1， 所以 A1C1平面 ABB1A1. 因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D. 又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F. 因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F. 规律方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助
16、线进行线线、线面、面面 垂直间的转化 (2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 命题角度 2 平行垂直中探索性问题 【例 32】 如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形，BC CE，点 F 为 CE 的中点 (1)证明：AE平面 BDF. (2)点 M 为 CD 上任意一点， 在线段 AE 上是否存在点 P， 使得 PMBE？若存在， 确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 (1)证明 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如图. 四边形 ABCD 是矩形，O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点， OF 为ACE
17、 的中位线， OFAE，又 OF平面 BDF，AE平面 BDF， AE平面 BDF. (2)解 当 P 为 AE 中点时，有 PMBE， 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH，CH，P 为 AE 的中点，H 为 BE 的 中点， PHAB，又 ABCD，PHCD，P，H，C，D 四点共面 平面 ABCD平面 BCE，平面 ABCD平面 BCEBC，CD平面 ABCD， CDBC. CD平面 BCE，又 BE平面 BCE， CDBE，BCCE，H 为 BE 的中点，CHBE， 又 CDCHC，BE平面 DPHC，又 PM平面 DPHC， BEPM，即 PMBE. 规律方法 (1)求条件
18、探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明； 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充 分性 (2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索 点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点 【训练 3】 (2018 嘉兴七校联考)在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形， 面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AC 3，AB2BC2，ACFB. (1)求证：AC平面 FBC. (2)求四面体 FBCD 的体积 (3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加 以证明；若不存在，请
19、说明理由 (1)证明 在ABC 中， 因为 AC 3，AB2，BC1，所以 AC2BC2AB2， 所以 ACBC. 又因为 ACFB，BCFBB， 所以 AC平面 FBC. (2)解 因为 AC平面 FBC，FC平面 FBC，所以 ACFC. 因为 CDFC，ACCDC，所以 FC平面 ABCD. 在等腰梯形 ABCD 中可得 CBDC1，所以 FC1. 所以BCD 的面积为 S 3 4 . 所以四面体 FBCD 的体积为 VFBCD1 3S FC 3 12. (3)解 线段 AC 上存在点 M，且点 M 为 AC 中点时，有 EA平面 FDM.证明如 下： 连接 CE，与 DF 交于点 N，
20、取 AC 的中点 M，连接 MN. 因为四边形 CDEF 是正方形， 所以点 N 为 CE 的中点 所以 EAMN.因为 MN平面 FDM，EA平面 FDM， 所以 EA平面 FDM. 所以线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 的中点，使得 EA平面 FDM 成立 基础巩固题组 一、选择题 1(2018 绍兴检测)已知平面 平面 ，且 b，a，则“ab”是 “a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 平面 平面 ，且 b，a，若 ab，则 a，充分性成立；平 面 平面 ，因为 b，所以 b，若 a，则 ab，必要性成立，所 以“ab”是“
21、a”的充要条件，故选 C. 答案 C 2(2015 浙江卷)设 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l， m( ) A若 l，则 B若 ，则 lm C若 l，则 D若 ，则 lm 解析 由面面垂直的判定定理，可知 A 选项正确；B 选项中，l 与 m 可能平行； C 选项中， 与 可能相交；D 选项中，l 与 m 可能异面 答案 A 3 若平面 ， 满足 ， l， P， Pl， 则下列命题中是假命题的为( ) A过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内 C过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内 D过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直
22、线必垂直于平面 解析 由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线， 因此也平行于平面 ，因此 A 正确过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平 面 ，不一定在平面 内，因此 B 不正确根据面面垂直的性质定理知，选项 C， D 正确 答案 B 4如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面 四个结论不成立的是( ) ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 PAE D平面 PDE平面 ABC 解析 因为 BCDF，DF平面 PDF， BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确 在正四面体中，AE
23、BC，PEBC，AEPEE， BC平面 PAE，DFBC，则 DF平面 PAE，又 DF平面 PDF，从而平面 PDF平面 PAE.因此选项 B，C 均正确 答案 D 5(2017 丽水调研)设 l 是直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( ) A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 l D若 ，l，则 l 解析 A 中， 或 与 相交，不正确B 中，过直线 l 作平面 ，设 l，则 ll，由 l，知 l，从而 ，B 正确C 中，l 或 l，C 不 正确D 中，l 与 的位置关系不确定 答案 B 6 如图， 以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕， 把ABD和A
24、CD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC 是等边三角形； 三棱锥 DABC 是正三棱锥； 平面 ADC平面 ABC. 其中正确的是( ) A B C D 解析 由题意知，BD平面 ADC，且 AC平面 ADC，故 BDAC，正确；AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以 ABACBC， BAC 是等边三角形，正确；易知 DADBDC，又由知正确；由知 错 答案 B 二、填空题 7如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_ 解析 PA平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC， PAAB，PAAC，PAB
25、C，则PAB，PAC 为直角三角形由 BCAC， 且 ACPAA，BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC 也是直 角三角形 答案 4 8(2018 杭州质检)设 ， 是两个不同的平面，m 是一条直线，给出下列命题： 若 m，m，则 ； 若 m，则 m. 其中真命题是_(填序号) 解析 由面面垂直的判定定理可知是真命题；若 m，则 m， 的位 置关系不确定，可能平行、相交或 m，则是假命题 答案 9.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写 一个你认为正确的条件即可)
26、解析 由题意可知，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，有 PC平面 MBD. 又 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 答案 DMPC(或 BMPC 等) 10(2016 全国卷改编)， 是两个平面，m，n 是两条直线 (1)如果 m，n，那么 m，n 的位置关系是_； (2)如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角的大小关系是 _ 解析 (1)由线面平行的性质定理知存在直线 l，nl，m，所以 ml， 所以 mn. (2)因为 mn，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等因为 ，所以 n 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，所以 m 与 所成的角和 n
27、 与 所成的角 相等 答案 (1)垂直 (2)相等 三、解答题 11如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，M，N 分别 为 AB，PA 的中点 (1)求证：PB平面 MNC； (2)若 ACBC，求证：PA平面 MNC. 证明 (1)因为 M，N 分别为 AB，PA 的中点，所以 MNPB. 又因为 MN平面 MNC，PB平面 MNC，所以 PB平面 MNC. (2)因为 PAPB，MNPB，所以 PAMN. 因为 ACBC，AMBM，所以 CMAB. 因为平面 PAB平面 ABC， CM平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB. 所以 CM平面 PAB. 因为
28、PA平面 PAB，所以 CMPA. 又 MNCMM，所以 PA平面 MNC. 12(2016 北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC， DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点， 在棱 PB 上是否存在点 F， 使得 PA平面 CEF？说明理 由 (1)证明 因为 PC平面 ABCD， 所以 PCDC.又因为 ACDC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC. (2)证明 因为 ABDC，DCAC，所以 ABAC. 因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB. 又因为 PCACC，所以 AB
29、平面 PAC. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF， 所以 PA平面 CEF. 能力提升题组 13(2018 舟山调研)在三棱锥 PABC 中，已知 PA底面 ABC，ABBC，E， F 分别是线段 PB，PC 上的动点，则下列说法错误的是( ) A当 AEPB 时，AEF 一定为直角三角形 B当 AFPC 时，AEF 一定为直角三角形 C当 EF平面 ABC 时，AE
30、F 一定为直角三角形 D当 PC平面 AEF 时，AEF 一定为直角三角形 解析 因为 AP平面 ABC，BC平面 ABC，所以 APBC，又 ABBC，且 PA 和 AB 是平面 PAB 内两条相交直线，则 BC平面 PAB，又 AE平面 PAB，所以 BCAE， 当 AEPB 时， AE平面 PBC， 又 EF平面 PBC， 则 AEEF， AEF 一定是直角三角形， A 正确； 当 EF平面 ABC 时， EF 在平面 PBC 内， 平面 PBC 与平面 ABC 相交于 BC，则 EFBC，则 EFAE，AEF 一定是直角三角形， C 正确； 当 PC平面 AEF 时， AEPC， 又
31、AEBC， 则 AE平面 PBC， 又 EF 平面 PBC，所以 AEEF，AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证 明 答案 B 14(2017 诸暨调研)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点， 沿 AE，AF，EF 把正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点 记为 P，P 点在AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( ) AO 是AEF 的垂心 BO 是AEF 的内心 CO 是AEF 的外心 DO 是AEF 的重心 解析 由题意可知 PA，PE，PF 两两垂直， 所以 PA平面 PEF，从而 PAEF， 而 PO平面 AEF，则
32、 POEF，因为 POPAP， 所以 EF平面 PAO， EFAO，同理可知 AEFO，AFEO， O 为AEF 的垂心 答案 A 15.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB， 则下列结论中： PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE；PDA45 . 其中正确的有_(把所有正确的序号都填上) 解析 由 PA平面 ABC，AE平面 ABC，得 PAAE， 又由正六边形的性质得 AEAB，PAABA，得 AE平面 PAB，又 PB平面 PAB，AEPB，正确；又平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面 PBC 不 成立，错；由正六边形
33、的性质得 BCAD，又 AD平面 PAD，BC平面 PAD， BC平面 PAD，直线 BC平面 PAE 也不成立，错；在 RtPAD 中，PA AD2AB，PDA45 ，正确 答案 16.如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADCPAB90 ， BCCD1 2AD. (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由 (2)证明：平面 PAB平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下： 因为 ADBC，BC1 2AD.所以 BCAM，且 BCAM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM
34、AB. 又 AB平面 PAB.CM平面 PAB. 所以 CM平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PAAB，PACD. 因为 ADBC，BC1 2AD， 所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA平面 ABCD. 又 BD平面 ABCD， 从而 PABD. 因为 ADBC，BC1 2AD， M 为 AD 的中点，连接 BM， 所以 BCMD，且 BCMD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BMCD1 2AD，所以 BDAB. 又 ABAPA，所以 BD平面 PAB. 又 BD平面 PBD， 所以平面 PAB平
35、面 PBD. 17如图，三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 (1)求证：BD平面 FGH； (2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面 EGH. 证明 (1)连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH. 在三棱台 DEFABC 中， AB2DE，G 为 AC 中点， 可得 DFGC，且 DFGC， 则四边形 DFCG 为平行四边形 从而 M 为 CD 的中点， 又 H 为 BC 的中点， 所以 HMBD，又 HM平面 FGH，BD平面 FGH， 故 BD平面 FGH. (2)连接 HE，因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点， 所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC. 又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC， 因此四边形 EFCH 是平行四边形， 所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC. 又 HE，GH平面 EGH，HEGHH， 所以 BC平面 EGH. 又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.
