1、 4.3 导数在研究函数中的应用 43.1 利用导数研究函数的单调性 一、基础达标 1命题甲：对任意 x(a，b)，有 f(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增 的，则甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 f(x)x3在(1,1)内是单调递增的，但 f(x)3x20(1x1)，故甲 是乙的充分不必要条件，选 A. 2函数 y1 2x 2ln x 的单调减区间是 ( ) A(0,1) B(0,1)(，1) C(，1) D(，) 答案 A 解析 y1 2x 2ln x 的定义域为(0，)，yx1 x，令 y0， 即 x
2、1 x0，解得：0x1 或 x0，0x1，故选 A. 3函数 f(x)x3ax2bxc，其中 a，b，c 为实数，当 a23b0 时，f(x)是 ( ) A增函数 B减函数 C常函数 D既不是增函数也不是减函数 答案 A 解析 求函数的导函数 f(x)3x22axb，导函数对应方程 f(x)0 的 4(a23b)0，所以 f(x)0 恒成立，故 f(x)是增函数 4下列函数中，在(0，)内为增函数的是 ( ) Aysin x Byxe2 Cyx3x Dyln xx 答案 B 解析 显然 ysin x 在(0， )上既有增又有减， 故排除 A； 对于函数 yxe2， 因 e2为大于零的常数，不用
3、求导就知 yxe2在(0，)内为增函数； 对于 C，y3x213 x 3 3 x 3 3 ， 故函数在 ， 3 3 ， 3 3 ， 上为增函数， 在 3 3 ， 3 3 上为减函数；对于 D，y1 x1 (x0) 故函数在(1，)上为减函数， 在(0,1)上为增函数故选 B. 5函数 yf(x)在其定义域 3 2，3 内可导，其图象如图所示，记 yf(x)的导函 数为 yf(x)，则不等式 f(x)0 的解集为_ 答案 1 3，1 2,3) 6函数 yln(x2x2)的递减区间为_ 答案 (，1) 解析 f(x) 2x1 x2x2，令 f(x)0 得 x1 或 1 2x2，注意到函数定义 域为
4、(，1)(2，)，故递减区间为(，1) 7已知函数 f(x)x3ax8 的单调递减区间为(5,5)，求函数 yf(x)的递增区 间 解 f(x)3x2a. (5,5)是函数 yf(x)的单调递减区间，则5,5 是方程 3x2a0 的根， a75.此时 f(x)3x275， 令 f(x)0，则 3x2750，解得 x5 或 x5，函数 yf(x)的单调递 增区间为(，5)和(5，) 二、能力提升 8如果函数 f(x)的图象如图，那么导函数 yf(x)的图象可能是 ( ) 答案 A 解析 由 f(x)与 f(x)关系可选 A. 9设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f(x)g(x)，则当 a
5、xb 时，有 ( ) Af(x)g(x) Bf(x)g(x) Cf(x)g(a)g(x)f(a) Df(x)g(b)g(x)f(b) 答案 C 解析 f(x)g(x)0， (f(x)g(x)0， f(x)g(x)在a，b上是增函数， 当 axb 时 f(x)g(x)f(a)g(a)， f(x)g(a)g(x)f(a) 10(2013 大纲版)若函数 f(x)x2ax1 x在 1 2， 是增函数，则 a 的取值范 围是_ 答案 3，) 解析 因为 f(x)x2ax1 x在 1 2， 上是增函数， 故 f(x)2xa 1 x20 在 1 2， 上恒成立， 即 a 1 x22x 在 1 2， 上恒成
6、立 令 h(x) 1 x22x，则 h(x) 2 x32， 当 x 1 2， 时，h(x)0，则 h(x)为减函数， 所以 h(x)h 1 2 3，所以 a3. 11求下列函数的单调区间： (1)yxln x； (2)yln(2x3)x2. 解 (1)函数的定义域为(0，)，y11 x， 由 y0，得 x1；由 y0，得 0x1. 函数 yxln x 的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1) (2)函数 yln(2x3)x2的定义域为 3 2， . yln(2x3)x2， y 2 2x32x 4x26x2 2x3 22x1x1 2x3 . 当 y0，即3 2x1 或 x 1 2时， 函数
7、 yln(2x3)x2单调递增； 当 y0，即1x1 2时， 函数 yln(2x3)x2单调递减 故函数 yln(2x3)x2的单调递增区间为 3 2，1 ， 1 2， ， 单调递 减区间为 1，1 2 . 12已知函数 f(x)x3bx2cxd 的图象经过点 P(0,2)，且在点 M(1，f(1) 处的切线方程为 6xy70. (1)求函数 yf(x)的解析式； (2)求函数 yf(x)的单调区间 解 (1)由 yf(x)的图象经过点 P(0,2)，知 d2， f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc. 由在点 M(1，f(1)处的切线方程为 6xy70， 知6f(1)70，即 f(
8、1)1，f(1)6. 32bc6， 1bc21， 即 2bc3， bc0， 解得 bc3. 故所求的解析式是 f(x)x33x23x2. (2)f(x)3x26x3.令 f(x)0， 得 x1 2或 x1 2； 令 f(x)0，得 1 2x1 2. 故 f(x)x33x23x2 的单调递增区间为(，1 2)和(1 2，)， 单调递减区间为(1 2，1 2) 三、探究与创新 13已知函数 f(x)mx3nx2(m、nR，m0)，函数 yf(x)的图象在点(2，f(2) 处的切线与 x 轴平行 (1)用关于 m 的代数式表示 n； (2)求函数 f(x)的单调增区间 解 (1)由已知条件得 f(x)3mx22nx， 又 f(2)0，3mn0，故 n3m. (2)n3m，f(x)mx33mx2， f(x)3mx26mx. 令 f(x)0，即 3mx26mx0， 当 m0 时，解得 x0 或 x2，则函数 f(x)的单调增区间是(，0)和(2， )； 当 m0 时，解得 0x2，则函数 f(x)的单调增区间是(0,2) 综上，当 m0 时，函数 f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)； 当 m0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2).
