1、2.2.1 条件概率 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的两种计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 1.本课重点是条件概率的定义及计算方法.2.本课难点是条件概率的定义及用条件概率公式解决简单的实际问题.1.条件概率请结合条件概率的定义填空：(1)P(B|A)的前提条件：A，B为两个事件,且_.(2)P(BA)的含义是：在事件A_，事件B_.(3)P(B|A)的两种计算方法：P(BA)= ;P(BA)= .P(A)0发生的条件下n ABn(A)P ABP(A)发生的条件概率2.条件概率的性质请结合条件概率的性质填空：(1)有界性：_；(2)互斥可加性：如果B和C是两个互
2、斥事件，则P(BCA)=_.0P(BA)1P(BA)+P(CA)1.事件A发生的条件下,事件B发生,相当于AB同时发生吗?提示：如图，事件A发生的条件下,事件B发生,相当于AB同时发生.2.P(B|A)=P(AB)吗？提示：P(B|A)不一定等于P(AB),如图所示，事件(B|A)中的基本事件空间为A,相对于原来的总空间而言,已经缩小了,而事件AB所包含的基本事件空间不变，故P(B|A)P(AB).3.已知 则P(AB)=_.【解析】答案： 31P B|AP A105， 133P ABP A P B|A.510503504.抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为=1，2，3，4，5，6，令事件
3、A=2，3，5，B=1，2，4，5，6，则P(A)=_，P(B)=_，P(AB)=_，P(A|B)=_.【解析】答案： 315P A P B626，n AB21P AB,n63 1P AB23P AB.5P B5615122635对条件概率的理解(1)“条件”的理解：每一个随机试验,都是在一定条件下进行的,条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道,即在原随机试验的条件上又加上一定的条件.(2)P(AB)，P(B)，P(B|A)三者之间的关系：如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率,那么P(B)P(B|A).由于样本空间的改变P(B|A)P(AB). 条件概率的求法 【技法点拨】计算条件概率
4、的方法(1)在缩小后的样本空间A中计算事件B发生的概率，即P(B|A).(2)在原样本空间中，先计算P(AB),P(A)，再利用公式 计算求得P(B|A).P ABP B|AP(A)(3)条件概率的算法：已知事件A发生,在此条件下事件B发生,即事件AB发生,要求P(B|A),相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率,即 n ABn ABnP ABP BA.n An AP An【典例训练】1.(2011辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(BA)=( ) 1121ABCD84522.任意向(0，1
5、)区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则令事件A=x|0 x ，B=x| x1，则P(B|A)=_.3.设100 件产品中有70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1件.(1)求取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率 1214【解析】1.选B.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，共有10个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)事件A发生共有4个基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)事件B发生共有1个基本事件：(2，4)事件A，B同时发生
6、也只有1个基本事件：(2，4)故P(BA)= n AB1.n A42.由题意可得：所以 又因为所以答案：11ABx |x42 ，11124P AB,14 1P A2， P AB1P BA.P A2123.设A表示取得合格品，B表示取得一等品，(1)100 件产品中有70件一等品， (2)方法一：95 件合格品中有70 件一等品，且BA,AB=B.方法二： 70P B0.7.10070P BA0.736 8.95 70P AB100P BA0.736 8.95P A100【想一想】题1属于哪一类问题，如何求解的？题2属于哪一类问题，又是如何求解的？提示：(1)本题1属于古典概型的条件概率问题，在
7、求解时借助缩小样本空间法求解，即用公式 来解决，因此当基本事件空间容易列出时，可考虑此法(2)本题2属于几何概型的条件概率问题，求解的关键是先借助几何概型求其相应概率，再直接借助条件概率公式求解.n ABP B|An(A)【变式训练】一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)【解题指南】先计算基本事件空间，再计算n(A)和n(AB)，最后利用 求解.n ABP B|An(A)【解析】将产品编号，设1,2,3号产品为一等品，4号产品为二等品，以(i，j)
8、表示第一次，第二次分别取到第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，事件A有9个基本事件，AB有6个基本事件，所以 n AB62P B|A.n A93 条件概率的应用【技法点拨】1.求解条件概率的一般步骤(1)表示：用字母表示有关事件;(2)求值：求P(AB)，P(A)或n(AB),n(A);(3)计算：利用条件概率公式求相应事件的概率.2.求解条件概率的两个注意事项(1)在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件下,求哪个
9、事件的概率.(2)选择求解条件概率的计算法，以达到迅速计算的目的.【典例训练】1.一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：甲厂甲厂乙厂乙厂合计合计 合格品合格品4754756446441 119 1 119 次品次品252556568181合计合计5005007007001 2001 200厂别数量等级(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_；(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是_.2.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且
10、已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.【解析】1.(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是答案：8127.1 200400251.50020 27112400202.设“该考生6道题全答对”记为事件A，“该考生恰好答对了5道题”记为事件B，“该考生恰好答对了4道题”记为事件C，“该考生在这次考试中通过”记为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”记为事件E，则D=ABC，E=AB，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)= P(ABC)= P(A)+P(B)+P(C)6514210101
11、01010666620202020CC CC C12 180,CCCC又AD=A，BD=B，P(E|D)=P(AB|D)=P(A|D)+P(B|D)= P ADP BDP AP BP DP DP DP(D)651101010662020662020CC CCC13.12 18012 18058CC【互动探究】在题1题设条件不变的条件下，求“已知取出的产品是次品，则这件产品恰好是乙厂生产的概率”.【解析】已知取出的产品是次品，则这件产品恰好是乙厂生产的概率为 56.81【总结】求解本题2时的注意事项及应用公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)的注意点.提示：(1)求解本题2的注意事项：由
12、于本题在求解过程中涉及的事件较多，求解时务必注意事件间的内在联系.(2)应用公式P(BCA)=P(BA)+P(CA)时务必注意事件B与C是互斥事件.【变式训练】一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作5 000小时以上的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作5 000小时以上的概率.【解题指南】借助条件概率及其变形公式求解.【解析】设Bi=取到元件为i等品(i=1，2，3)，A=取到元件能工作5 000小时以上，则P(A)=P(B1)P(AB1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(AB3)= 95%90%4%80%1%70%=0894.【
13、规范解答】条件概率在实际中的应用 【典例】(12分)(2012株洲高二检测)已知男人中有5患色盲，女人中有0.25患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率.【解题指导】【规范解答】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.2分(1)此人患色盲的概率P=P(AC)+P(BC) =P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)= 6分(2) 12分10051000.2521.200100200100800 5P AC20200P A|C.21P C21800【阅卷人点拨】通过阅卷后分析
14、，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程) 失失分分警警示示本题在求解过程中，若处考虑不全，会直接影响第本题在求解过程中，若处考虑不全，会直接影响第(2)(2)问求解结果，这在实际考试中得分不会超过问求解结果，这在实际考试中得分不会超过6 6分，分，故求解时应在审题上多留心，养成细心审题的好习惯故求解时应在审题上多留心，养成细心审题的好习惯. . 解解题题启启示示 (1)(1)求解此类问题的关键是细心审题，首先应明确是否是求解此类问题的关键是细心审题，首先应明确是否是条件概率问题，在此基础上，选择恰当的概率公式求解条件概率问题，在此基础上，选择恰当的概率公式求解.
15、.(2)(2)倘若是条件概率问题倘若是条件概率问题, ,求解时应在明确求解时应在明确“条件条件”的前提的前提下求解，切勿不明限制条件盲目解答下求解，切勿不明限制条件盲目解答. .【规范训练】(12分)(2012榆林高二检测)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率【解题设问】(1)该问题(3)是条件概率问题吗？是；(2)如何计算(3)？_直接利用条件概率公式及(1)(2)问的计算结果求解.【规范答题】设“第一次抽到次品”为事
16、件A，“第二次抽到次品”为事件B.依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为 4分(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为 8分(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率 12分 51P A.2045 41P AB.20 1919 1P AB419P BA.1P A1941.设A，B为两个事件，且P(A)0，若 则P(B|A)( )【解析】选. 12P ABP A33， 1214ABCD2999 1P AB1213P AB,P A,P B|A.233P A232.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，则在下雨天里，刮风的概率为( )【解析】选C.令
17、A表示“该地区下雨”，B表示“该地区刮风”,则AB表示“该地区刮风下雨”,故415215110 8133ABCD225284 1P AB310P B|A.4P A8153.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )【解析】选A.因为最后一个数字是09中的任意一个整数，利用缩小样本空间法求得“他第一次失败、第二次成功”的概率是 1289ABCD101010101.104.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为 ，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 ，则事件A发生的概率为_【解析】由题意知，答案：3101231P ABP B|A102， ， 3P AB310P A.1P B|A52355.掷两颗均匀骰子,在第一颗掷出6点的条件下，求“掷出点数之和不小于10”的概率.【解析】设事件A为“掷出点数之和不小于10”， 事件B为“第一颗掷出6点”，则 n AB31P A|B.n B62
