1、第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质各树均与地面垂直，各树所在的直线有何位置关系？各树均与地面垂直，各树所在的直线有何位置关系？ 路灯线杆和信号灯线杆与地面垂直，两线杆路灯线杆和信号灯线杆与地面垂直，两线杆所在的直线有何位置关系？所在的直线有何位置关系？1.1.理解直线与平面垂直的性质定理理解直线与平面垂直的性质定理. .（重点）（重点）2.2.能运用性质定理解决一些简单问题能运用性质定理解决一些简单问题. .（难点）（难点）3.3.了解垂直与垂直，垂直与平行间
2、的相互联系了解垂直与垂直，垂直与平行间的相互联系 如图，长方体如图，长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱中，棱AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1，DDDD1 1所在直线与底面所在直线与底面ABCDABCD的位置关系如何？它的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？们彼此之间具有什么位置关系？B1C1D1A1ABCD垂直垂直 平行平行ab课堂探究课堂探究1 1cab 如图，已知直线如图，已知直线a,ba,b和平面和平面，如果，如果 a,b,a,b,那么，直线那么，直线a,ba,b一定平行吗？一定平行吗？ b.O反证法反证法课堂探究课堂探究2
3、2 记直线记直线b b和和的交点为的交点为O, , 则可过则可过O作作 b ba.a.证明：证明：假设假设a a与与b b不平行不平行. .所以所以acac,bc,bc,又因为又因为bba a，所以，所以bc.bc.这样在平面这样在平面内过点内过点O有两条直线有两条直线b b和和bb都垂直于直线都垂直于直线c , c , 这不可能这不可能! !因为因为a , ba , b所以所以ab.ab.直线直线b b 与与b b确定平面确定平面， 设设=c,=c,反证法的步骤1.1.否定结论否定结论2.2.正确推理正确推理3.3.导出矛盾导出矛盾肯定结论肯定结论垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的
4、两条直线平行平行.符号语言：符号语言：/ /abab，作用：作用：判断线线平行判断线线平行ab线面垂直线面垂直线线平行线线平行线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理平行于同一条直线的平行于同一条直线的 两条直线平行两条直线平行垂直于同一个平面的垂直于同一个平面的 两条直线平行两条直线平行空间中的平行空间中的平行ab交换交换“平行平行”与与“垂直垂直”a a,b ba ab ba ab bla ,a ,b b a a b b课堂探究课堂探究3 3如图， 有一个正三棱锥体的零件，如图， 有一个正三棱锥体的零件， P 是侧面是侧面 ABD 上一点 在上一点 在面面 ABD 内过点内过点 P 画一条与棱
5、画一条与棱 AC 垂直的线段，应怎样画？说垂直的线段，应怎样画？说明你的理由明你的理由 想一想想一想【解析解析】取取BDBD中点中点E E，连接连接AE,CE,AE,CE,因为因为几何体为正三棱锥，几何体为正三棱锥，所以所以AEAEBDBD，CECEBDBD，所以所以BDBD平面平面ACEACE，所以所以BDBDAC.AC.故在平面故在平面ABDABD内，欲过内，欲过P P点作与棱点作与棱ACAC垂直的线段，垂直的线段，只只需需过过P P作作MNMNBDBD分别交分别交ABAB，ADAD于于M M，N N，则线段则线段MNMNACAC，MNMN即即为为所求所求. .设直线设直线a,ba,b分别
6、在正方体中两个不同的平面内，欲分别在正方体中两个不同的平面内，欲使使a/ba/b，a,ba,b应满足什么条件？应满足什么条件？a a，b b满足下面条件中的任何满足下面条件中的任何一个，都能使一个，都能使ab.ab.（1 1）a a，b b同垂直于正方体一个面；同垂直于正方体一个面；（2 2）a a，b b分别在正方体两个相对的分别在正方体两个相对的 面内且共面；面内且共面；（3 3）a a，b b平行于同一条棱平行于同一条棱. .D D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA A课堂探究课堂探究4 4例例 如图，已知如图，已知=l，CACA于点于点A A，CBCB于于点
7、点B B， 求证：求证：aal. .,.aaABA AB BC Cla分析：分析：l平平面面ABC,aABC,a平平面面ABC.ABC.ll.l.llll.因为所以因为所以平因为所以因为，所以平因为平所以CACA,.CA.CA同同理理可可得得CBCBCACACB = C.CB = C.面面ABC.ABC.CACA,a,a.CA.CAa.a.又又aaAB,ABAB,ABAC = AAC = Aaa面面ABC.ABC.又又面面ABC,ABC,aa, ,a a证明：证明：A AB BC Cla1.1.给出以下命题，其中错误的是给出以下命题，其中错误的是 ( )( )A.A.如果一条直线垂直于一个平面
8、内的无数条直线，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面则这条直线垂直于这个平面B.B.垂直于同一平面的两条直线互相平行垂直于同一平面的两条直线互相平行C.C.垂直于同一直线的两个平面互相平行垂直于同一直线的两个平面互相平行D.D.两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面条也垂直于这个平面A A2 2直线直线l垂直于梯形垂直于梯形ABCDABCD的两腰的两腰ABAB和和CDCD，直线，直线m m垂直于垂直于ADAD和和BCBC，则，则l与与m m的位置关系是的位置关系是( () ) A A相交相交 B B平
9、行平行 C C异面异面 D D不确定不确定【解析解析】因为因为 ADADBCBC，所以所以梯形梯形 ABCDABCD 确定一个平面确定一个平面. . 因为因为 lABAB，lCDCD，ABAB 和和 CDCD 相交相交 所以所以 l. .由于由于 ADADBCBC，m mADAD，m mBCBC， 则则 m m或或 m m或或 m m或或 m m 与相交，与相交， 则则 lm m 或或 l 与与 m m 异面或异面或 l 与与 m m 相交相交 3 3下面给出下面给出三三个命题：个命题：直线直线l与平面与平面内两直线都垂直，则内两直线都垂直，则l；经过直线经过直线a a有且仅有一个平面垂直于直
10、线有且仅有一个平面垂直于直线b b；直线直线l同时垂直于平面同时垂直于平面，则，则.其中正确的命题个数为其中正确的命题个数为( () )A A3 3B B2 2C C1 1D D0 0【解析】【解析】中，平面中，平面内两直线不一定相交，所以内两直线不一定相交，所以不正确；中，当不正确；中，当a ab b时，不存在平面，所以时，不存在平面，所以不正确；是直线与平面垂直的性质，所以正确不正确；是直线与平面垂直的性质，所以正确【解析】【解析】 （1 1）因为因为AB平面平面 PADPAD， 所以所以PHAB. . 因为因为 PHPH 为为PAD中中 ADAD 边上的高，边上的高， 所以所以PHAD，
11、因为，因为ABADA， 所以所以PH平面平面 ABCDABCD. . （2 2） 取取 PAPA 的的中点中点 M M，连，连接接 MDMD，MEME. . 因为因为 E E 是是 PBPB 的中点，所以的中点，所以1/2MEAB. . 因为因为1/2DFAB，所以，所以/MEDF， 所以四边形所以四边形 MEMEF FD D 是平行四边形，所以是平行四边形，所以/EFMD. . 因为因为 PD=ADPD=AD，所以，所以MDPA. . 因为因为AB平面平面 PADPAD，所以，所以MDAB. . 因为因为PAABA，所以，所以MD平面平面 PABPAB， 所以所以EF平面平面 PABPAB.
12、 . 6.6.（20122012陕西高考）直三棱柱陕西高考）直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1，CAB= CAB= （1 1）证明：）证明：CBCB1 1BABA1 1. .（2 2）已知）已知AB=2AB=2，BC= BC= ，求三棱锥，求三棱锥C C1 1ABAABA1 1的体积的体积. .5.2, ,2.2.转化思想：转化思想：平行关系平行关系垂直关系垂直关系1.1.直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理.证明直线和直线平行的方法证明直线和直线平行的方法. 不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博闻，不自满者受益。墙角线与地
13、面有何位置关系？墙角线与地面有何位置关系？ 迷宫的所有面都是与地面垂直的，每个拐角迷宫的所有面都是与地面垂直的，每个拐角所在直线与地面什么关系？所在直线与地面什么关系？1.1.理解平面与平面垂直的性质定理理解平面与平面垂直的性质定理. .（重点）（重点）2.2.能运用性质定理解决一些简单问题能运用性质定理解决一些简单问题. .（难点）（难点）3.3.了解垂直关系间的相互转化关系了解垂直关系间的相互转化关系. .思考思考1 1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直? ?A1D1B1C1CB
14、ADEF思考思考2 2 如图，在长方体中，如图，在长方体中，,(1)(1)里的直线都和里的直线都和垂直吗？垂直吗？(2)(2)什么情况下什么情况下里的直线和里的直线和垂直？垂直？ 与与ADAD垂直垂直不一定不一定思考思考3 3 垂足为垂足为B B，那么直线，那么直线ABAB与平面与平面的位置关系如何？的位置关系如何？ 为什么？为什么？,CD ，,ABA AB BD DC CE E,ABCD垂直垂直证明证明: :在平面在平面 内作内作BECD,BECD,因为因为 , , 所以所以ABBE.ABBE.又由题意知又由题意知ABCD,ABCD,且且BE CD=BBE CD=B，垂足为垂足为B.B.所以
15、所以ABAB.则则ABEABE就是二面角就是二面角 的平面角的平面角. .-CD-CD-A AB BD DC CE E平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理符号表示符号表示: : = CD= CDABAB ABABABABCDCDABABCD = BCD = BD DC CA AB B 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直线与另一个平面垂直（线线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直作用：作用： 它能判定线面垂直它能判定线面垂直. . 它能在一个平面
16、内作与这个平面垂它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线直的垂线. .关键点：关键点：线在平面内线在平面内. .线垂直于交线线垂直于交线. .D DC CA AB B【提升总结提升总结】如图所示，在正方体如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱的棱 AB 上任取一上任取一点点E， 作， 作EFA1B1于于F， 则， 则EF与平面与平面A1B1C1D1的关系是的关系是( ) A平行平行 BEF平面平面 A1B1C1D1 C相交但不垂直相交但不垂直 D垂直垂直 思考交流思考交流D【解析解析】选选D.D.因为因为平面平面ABBABB1 1A A1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1
17、1D D1 1，EFEF平面平面ABBABB1 1A A1 1，平面，平面ABBABB1 1A A1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A A1 1B B1 1，EFEFA A1 1B B1 1，所以所以EFEF平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1. .思考思考4 4 设平面设平面 平面平面 ，点，点P P在平面在平面 内，过内，过点点P P作平面作平面 的垂线的垂线a，直线，直线a与平面与平面 具有什么具有什么位置关系位置关系? ?aa直线直线a a在平面在平面 内内PP两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个两个平面垂直，则过某个平面内一点垂
18、直于另一个平面的直线在该平面内平面的直线在该平面内. .结论结论已已知知平平面面， = AB= AB，直直线线a a，a aABAB，试试判判断断直直线线a a与与的的位位思思考考5 5置置关关系系. .AbalB垂直垂直aa,aa. 例 如图，已知平面 ， ，直线 满足，试判断直线 与平面 的位置关系Abal分析：分析：寻找平面寻找平面内与内与a a平行的直线平行的直线. .解：解：在在内作垂直于内作垂直于 交线的直线交线的直线b b，因为因为 所以所以因为因为 所以所以ab.ab.又因为又因为 所以所以a.a.即直线即直线a a与平面与平面平行平行. .，b ，a，a ，结论：结论：垂直于
19、同一平面垂直于同一平面( () )的直线的直线( (l) )和平面和平面( () )平行平行（ ）. .aAbal与与分析：分析：作出图形作出图形. .ablmnablnmA（证法二）（证法二）ll，已已知知平平面面，满满足足， = ,= ,求求证证： . .（证法一）（证法一）变式训练变式训练在在内作直线内作直线a a n n证法证法1 1：设设在在内作直线内作直线bmbm = n, = n, = m,= m,b/ab/aaabblabmna a同同 理理 b blb/b/ b b = =lllb/b/ b b. . = =在在内过内过A A点作直线点作直线 a na n，证法证法2 2：设
20、设在在内过内过A A点作直线点作直线 bmbm， = n= naan nalalbl同理同理abA.l 在在内任取一点内任取一点A A（不在（不在m,n上），上），ablnmA = n, = n, = m,= m,如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面么这两个平面的交线垂直于这个平面. .结论结论l判断线面垂直的两种方法判断线面垂直的两种方法：线线垂直线线垂直线面垂直；线面垂直；面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直.如图：如图：1 1设两个平面互相垂直，则设两个平面互相垂直，则( () )A A一个平面内的任何一条直线垂直于另一
21、个平面一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上平面上C C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面另一个平面D D分别在两个平面内的两条直线互相垂直分别在两个平面内的两条直线互相垂直2.2.下列命题中，正确的是（下列命题中，正确的是（ ）A.A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B.B.若若a,ba,b异面，过异面，过a a一定可作一个平面与一定可作一个平面与b b垂直垂直C.C.过一点有且仅有一个平面和一条
22、定直线垂直过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直D.a,bD.a,b异面，过不在异面，过不在a,ba,b上的点上的点M M，一定可以作一个平面，一定可以作一个平面和和a,ba,b都垂直都垂直.C C （20122012浙江浙江高考高考） 设设l是直线，是直线，是两个不同的平面，是两个不同的平面，则，则下列说法正确的是下列说法正确的是 （ ） A. A. 若若l，l，则，则 B. B. 若若l，l，则，则 C. C. 若若，l，则，则l D. D. 若若, , l，则，则l B 【解析】【解析】利用排除法可得选项利用排除法可得选项 B B 是正确的，是正确的，因为因为l，l，则，则如选项如选项
23、A A：l，l时，时，或或与与相交相交；选项；选项 C C：若：若，l，则则l或或l；选项；选项 D D：若若, , l，则则l或或l与与相交或相交或l在在内内 4.4.如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC，平面，平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：求证：BCBC平面平面PAB.PAB.EPABCEPABCE因为因为PAPA平面平面ABCABC，BC BC 平面平面ABC,ABC,所以所以PABCPABC，又因为，又因为PAAE=A,PAAE=A,故故BCBC平面平面PAB.PAB.证明：证明：过点过点A A作作AEPBAEPB，垂足为，垂足为E E，因为平面因为平面PAB
24、PAB平面平面PBCPBC，平面平面PABPAB平面平面PBC=PBPBC=PB，所以所以AEAE平面平面PBC.PBC.因为因为BC BC 平面平面PBC,PBC,所以所以AEBC.AEBC. 如图所示， 在四棱锥如图所示， 在四棱锥 SABCD 中， 底面中， 底面 ABCD是矩形，侧面是矩形，侧面 SDC底面底面 ABCD， 求证：平面求证：平面 SCD平面平面 SBC. 【分析分析】转化为证明转化为证明BCBC平面平面SCD.SCD.【证明证明】因为因为底面底面ABCDABCD是矩形，是矩形，所以所以BCBCCD.CD.又平面又平面SDCSDC平面平面ABCDABCD，平面平面SDCS
25、DC平面平面ABCDABCDCDCD，BCBC平面平面ABCDABCD，所以所以BCBC平面平面SCD.SCD.又又因为因为BCBC平面平面SBCSBC，所以所以平面平面SCDSCD平面平面SBC.SBC.aAB线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线线平行线线平行面面平行面面平行面面垂直面面垂直不是境况造就人，而是人造就境况。填一填填一填知识要点、记下疑难点知识要点、记下疑难点平行平行 交线交线 垂直垂直 填一填填一填知识要点、记下疑难点知识要点、记下疑难点在第一个平面内在第一个平面内 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研
26、一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处B练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处D 练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处6练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处
