1、 四川省德阳市中江县龙台中学 2016-2017 学年高一（下） 期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 题每题题每题 5 分）分） 1 （5 分）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A1， B1，2，3，4， C1， D1， 2 （5 分）sin163 sin223 +sin253 sin313 等于（ ） A B C D 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 ， 都是单位向量，则 = B方向相同或相反的非零向量叫做共线向量 C若，则不一定成立 D若，则 A，B，C，D 四点构成一个平行四边形 4 （5 分）在ABC 中，a2=b2+c2+bc，则 A 等于（ ）
2、 A60 B120 C30 D150 5 （5 分）已知则 cos（）的值为（ ） A B C D 6 （5 分）函数 f（x）=sinxcosx+cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ） A，1 B，2 C2，1 D2，2 7 （5 分）已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a，灯塔 A 在 C 的北偏东 20 ，灯塔 B 在 C 的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（ ） Aa Ba Ca D2a 8 （5 分）已知在ABC 中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（ ） A30 B45 C60 D120 9 （5 分）在ABC 中，若 l
3、gsinAlgcosBlgsinC=lg2，则ABC 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 10 （5 分）已知平行四边形 ABCD 的对角线分别为 AC，BD，且=2，点 F 是 BD 上靠 近 D 的四等分点，则（ ） A= B= C= D= 11 （5 分）在锐角ABC 中，a=1，B=2A，则 b 的取值范围是（ ） A B C D 12 （5 分）如图：D，C，B 三点在地面同一直线上，DC=a，从 C，D 两点测得 A 点仰角分 别是 ，（） ，则 A 点离地面的高度 AB 等于（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 5 题每题题每题
4、5 分）分） 13 （5 分） （文科）已知平面向量 ， 满足| |=2，| |=2，| +2 |=5，则向量 ， 夹角的 余弦值为 14 （5 分）数列，的一个通项 an= 15 （5 分）化简的结果是 16 （5 分）观察下列一组等式： sin230 +cos260 +sin30 cos60 =， sin215 +cos245 +sin15 cos45 =， sin245 +cos275 +sin45 cos75 =， 那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： 17 （5 分）ABC 中，AC=2，B=45 ，若ABC 有 2 解，则边长 BC 长的范围是 三、解答题三、解答题 18
5、 （12 分）设向量 ， 满足| |=| |=1，|3 |= （1）求| +3 |的值； （2）求 3 与 +3 夹角的正弦值 19 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，且 c2=a2+b2ab （1）求角 C 的值； （2）若 b=2，ABC 的面积，求 a 的值 20 （12 分）已知 （）求的值； （）若，求 sin 的值 21 （12 分）已知函数 f（x）=2sin2x+2sinxcosx+1 （）求 f（x）的最小正周期及对称中心 （）若 x，求 f（x）的最大值和最小值 22 （13 分）已知向量 =（sin，1） ， =（cos，cos
6、2） ，记 f（x）= （1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（C）=1，c=2，sinA=2sinB， 求 a，b 的值 23 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足 4S=（a2+b2c2） （1）求角 C 的大小； （2）若 1+=，且=8，求 c 的值 【参考答案】 一、选择题（共一、选择题（共 12 题每题题每题 5 分）分） 1C 【解析】A、此数列 1，是递减数列，则 A 不符合题意； B、此数列1，2，3，4，是递减数列，则 B 不符合题意；
7、 C、此数列1，是递增数列又是无穷数列，则 C 符合题意； D、此数列 1，是有穷数列，则 D 不符合题意； 2B 【解析】原式=sin163sin223+cos163cos223 =cos（163 223 ） =cos（60 ） = 3C 【解析】对于 A，若 ， 都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故错； 对于 B，零向量与任意向量共线，故错； 对于 C，若，当 = 时，则 ， 不一定相等，故正确； 对于 D，若，则 A，B，C，D 四点可能共线，故错； 4B 【解析】根据余弦定理可知 cosA= a2=b2+bc+c2， bc=（b2+c2a2） ， cosA= A=120 5A
8、【解析】已知，平方可得 cos2+2coscos+cos2=，sin2+2sinsin+sin2= 把和相加可得 2+2coscos+2sinsin=，即 2+2cos（）=， 解得 cos（）=， 6A 【解析】f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+） ， 1sin（2x+）1，振幅为 1， =2，T= 7B 【解析】画出相应的图形，如图所示，ACB=120 ，|CA|=|CB|=a， A=B=30 ， 在ABC 中，根据正弦定理=得：|AB|=a， 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为a 8D 【解析】设三角形的三边长分别为 a，b 及 c， 根据正弦定理=化简已知的等式得： a：b
9、：c=3：5：7，设 a=3k，b=5k，c=7k， 根据余弦定理得 cosC=， C（0，180 ） ，C=120 则这个三角形的最大角为 120 9A 【解析】由 lgsinAlgcosBlgsinC=lg2 可得 lg =lg2 sinA=2cosBsinC 即 sin（B+C）=2sinCcosB 展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB sinBcosCsinCcosB=0 sin（BC）=0 B=C ABC 为等腰三角形 10C 【解析】=2，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点， =，=， =+， ， =+ = 11B 【解析】在锐角ABC 中，a=1
10、，B=2A， 3 A，且 02A，故 A， 故 cosA 由正弦定理可得 =， b=2cosA， b， 12A 【解析】设 AB=x，则在 RtABC 中，CB= BD=a+ 在 RtABD 中，BD= a+=，求得 x= 二、填空题（共二、填空题（共 5 题每题题每题 5 分）分） 13 【解析】平面向量 ， 满足| |=2，| |=2，| +2 |=5， 5=， 化为= 故答案为： 14 【解析】观察数列，可知：分子是由奇数组成的数列，分母是由偶数组成 的数列 因此可得一个通项 an= 故答案为： 15 1 【解析】= =1， 故答案为：1 16 sin2（30 +x）+sin（30 +x
11、）cos（30 x）+cos2（30 x）= 【解析】观察下列一组等式： sin230 +cos260 +sin30 cos60 =， sin215 +cos245 +sin15 cos45 =， sin245 +cos275 +sin45 cos75 =， 照此规律，可以得到的一般结果应该是 sin2x+sinx）cos（30 +x）+cos2（30 +x） ，右边的式子：， sin2x+sinxcos（30 +x）+cos2（30 +x）= 证明：sin2x+sinx（）+（）2 =sin2x+ = 故答案为：sin2x+sinxcos（30 +x）+cos2（30 +x）= 17 【解析
12、】在ABC 中，BC=x，AC=2，B=45 ，且三角形有两解， 如图：xsin45 2x， 解得 2x2， x 的取值范围是 故答案为： 三、解答题三、解答题 18解： （1）向量 ， 满足| |=| |=1，|3 |= =9+1， 因此=15， = （2）设 3 与 +3 夹角为 ， = = 0，= 3 与 +3 夹角的正弦值为 19解： （1）c2=a2+b2ab，cosC=， 0 C180 ，C=60 ； （2）b=2，ABC 的面积， =， 解得 a=3 20解： （）=， 3tan=tan1， tan=； =5； （）由（）知 tan=，又 （0，） ， （，）且 sin=，cos
13、=； （0，） ， 2+（，2） ， cos（2+）=， sin（2+）=， cos2=cos（2+） =cos（2+）cos+sin（2+）sin = （）+（）=， cos2=12sin2=，（0，） ， sin= 21解： （1）函数 f（x）=2sin2x+2sinxcosx+1， 化简可得：f（x）=cos2x1+sin2x+1 =sin2x+cos2x=2sin（2x+） f（x）的最小正周期 T=， 由 2x+=k（kZ）可得对称中心的横坐标为 x=k 对称中心（k，0） ， （kZ） （2）当 x，时，2x+， 当 2x+=时，函数 f（x）取得最小值为 当 2x+=时，函数
14、f（x）取得最大值为 2 1=2 22解： （1）f（x）=sincos+cos2=sinx+cosx+=sin（x+）+ f（x）的最小正周期 T=2 令+2kx+2k，解得+2kx+2k， f（x）的单调增区间为+2k，+2k，kZ （2）f（C）=sin（C+）+=1，sin（C+）= C+，C+=，即 C= sinA=2sinB，a=2b cosC=， b=2，a=4 23解： （）根据余弦定理得 a2+b2c2=2abcosC，ABC 的面积， 由得， 化简得 sinC=cosC，可得， 0C，； （），=， 可得，即 由正弦定理得，解得，结合 0A，得 A= ABC 中，B=（A+C）=， 因此，=|cosB=c2 ， c2=8，解之得 c=4（舍负）
