1、5/23/202213-3 二阶系统的时域分析5/23/20222希腊字母中英对照一览表希腊字母中英对照一览表大写大写小写小写中文名中文名大写大写小写小写中文名中文名A阿尔法阿尔法纽纽B贝塔贝塔克西克西伽玛伽玛欧米克隆欧米克隆德尔塔德尔塔派派伊普西隆伊普西隆柔柔泽塔泽塔西格玛西格玛伊塔伊塔陶陶西塔西塔玉普西隆玉普西隆约塔约塔弗爱弗爱卡帕卡帕凯凯兰姆达兰姆达普赛普赛米欧米欧奥米伽奥米伽5/23/20223一、二阶系统的数学模型 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为开环传递函数为: :sssGnn2)(22闭环传递函数为:2222)(1)()(
2、nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sC- 这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。 称为典型二阶系统的传递函数，称为称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数阻尼系数， 称为称为无阻无阻尼振荡频率或自然频率。尼振荡频率或自然频率。)(sn5/23/20224122, 1nns特征根为：特征根为： ，注意：当注意：当 不同时，特征不同时，特征根（闭环根（闭环极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同，极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同，有有振荡和非振荡两大类情况。振荡和非振荡两大类情况。特征方程为：特征方程为
3、：0222nnss 当时当时 ，特征方程有一对共轭的虚根，两极点位于，特征方程有一对共轭的虚根，两极点位于S平平面的虚轴上，称为面的虚轴上，称为零零(无无)阻尼系统阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。图幅振荡。图3-9(d)0 当时当时 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，两，特征方程有一对实部为负的共轭复根，两个极点位于个极点位于S平面左半平面平面左半平面,称为称为欠阻尼欠阻尼系统，系统的阶跃响应为系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。衰减的振荡过程。图图3-9(c)01以上以上 属于振荡情况属于振荡情况10二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应
4、5/23/20225 当当 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平平面负实轴上面负实轴上,系统时间响应无振荡系统时间响应无振荡,称为称为临界阻尼临界阻尼系统，系统的阶系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。跃响应为非振荡过程。图图3-9(e)1 当当 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S平平面负实轴上面负实轴上,系统时间响应无振荡系统时间响应无振荡,称为称为过阻尼过阻尼系统，系统的阶跃系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。响应为非振荡过程。图图3-9(f)1122, 1nns以上以上 属于非振荡情况属于非
5、振荡情况15/23/20226当当 ，二阶系统具有两个正实部的特征根，又分为两种情况：，二阶系统具有两个正实部的特征根，又分为两种情况：5）如果特征根中有虚部，则输出是发散的振荡曲线，如图）如果特征根中有虚部，则输出是发散的振荡曲线，如图(a)；6）如果特征根中无虚部，则输出是发散的单调曲线，如图）如果特征根中无虚部，则输出是发散的单调曲线，如图(b) 的情况一般不会出现，故这种情况不讨论。的情况一般不会出现，故这种情况不讨论。122, 1nns005/23/2022722222222222122121)(nnnnnnnnnnnnssssssssssssssC阶跃响应为：阶跃响应为：2222(
6、 )1cos( 1)sin( 1)11sin(),01nntnntdc tettett 当当 的欠阻尼时，的欠阻尼时，1022, 11nnjs极点为：极点为：根据表根据表2-3闭环传递函数为闭环传递函数为: :2222)(1)()(nnnsssGsGs称为阻尼振荡频率称为阻尼振荡频率d5/23/20228 上述四种情况分别称为二阶上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：如下表所示：单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置极点位置特征根特征根阻尼系数
7、阻尼系数单调上升单调上升两个互异负实根两个互异负实根单调上升单调上升一对负实重根一对负实重根 衰减振荡衰减振荡一对共轭复根一对共轭复根(左左半平面）半平面） 等幅周期振荡等幅周期振荡一对共轭虚根一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns5/23/20229v二阶系统在各种不同二阶系统在各种不同 情况下的闭环极点分布见情况下的闭环极点分布见P95 图图3-9ssImRe0sImRe0s2s2s1s1s1s21nn0100(a)(b)(d)ImRe1ImRe01s2s1(c)5/23/202210可以看出：
8、随着可以看出：随着 的增加，的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当衰减的正弦运动，当 时时c(t)呈现单调上升运动呈现单调上升运动(无振荡无振荡)。可见可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)5/23/202211三、典型二阶系统的动态过程分析三、典型二阶系统的动态过程分析21tgrdt（一）衰减振荡瞬态过程一）衰减振荡瞬态过程 ：欠阻尼：欠阻尼)10(0, )sin1(cos1)(2tttetcddtn 上升时间上
9、升时间 ：根据定义，当：根据定义，当 时，时， 。rtt rt1)(rtc1)sin1(cos1)(2rdrdtrttetcrn0sin1cos2rdrdtt解得：解得：)1(121tgtdr22, 11nnjs5/23/202212 称为阻尼角，这是由于称为阻尼角，这是由于 。cos2211)(nntgdrt)1(121tgtdr)1(21tg可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比；而当阻尼频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。比；而当阻尼频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。22, 11nnjsndnjj2121njnn延迟时
10、间见延迟时间见P975/23/202213 峰值时间峰值时间 ：当：当 时时，ptptt 0)(ptc 0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpntgttgndpd21)(整理得整理得：,.)2 , 1 , 0( ,nntpd0, )sin(11)(2ttetcdtn211tg其中其中0)cos()sin(pddpdntt5/23/202214 可见峰值时间与闭环极点的虚部数值成正比，阻尼比可见峰值时间与闭环极点的虚部数值成正比，阻尼比一定时，闭环极点离负实轴距离越远，系统的峰值时间越一定时，闭环极点离负实轴距离越远，系统的峰值时间越短。这也是因为当闭环极点离负实轴
11、距离越远时，特征根短。这也是因为当闭环极点离负实轴距离越远时，特征根S S中虚部的成分就越多，越容易产生振荡，响应上升越快，中虚部的成分就越多，越容易产生振荡，响应上升越快，系统的峰值时间越短。系统的峰值时间越短。,.)2 , 1 , 0( ,nntpd由于由于 出现在第一次峰值时间，取出现在第一次峰值时间，取n=1，有：，有：dnpt21pt5/23/202215 最大超调量最大超调量 (书上用书上用 表示）表示）%100) 1)(%100)()()(%pptccctc故：故：%100%21emax)()(ctctcp得将峰值时间将峰值时间 代入21npt)sin1(cos1)(2maxpn
12、pdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee超调量仅与阻尼比有关。超调量仅与阻尼比有关。1(）c%5/23/20221600.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100阻尼比越大，超调量越小。5/23/202217 调节时间调节时间 ：st可见，写出调节时间的表达式可见，写出调节时间的表达式是困难的。但响应是以负指数是困难的。但响应是以负指数系数衰减的振荡，由右图可知系数衰减的振荡，由右图可知响应曲线总在一对包络线之内响应曲线总在一对包络线之内。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tn
13、e 根据调节时间的定义，当根据调节时间的定义，当tts时时 |c(t)-c()| c() %。%)1tgsin(1212tedtn211tne包络线为：包络线为：5/23/202218nst%)1ln(2当当t=ts时，有：时，有：%12snte 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。的包络线进入误差带时，调整过程结束。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne5/2
14、3/202219当当 较小时，近似取：较小时，近似取： ，且，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(时当时当52,3,4nnst所以所以调节时间与闭环极点的调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环实部数值成反比。闭环极点离虚轴越远，系统极点离虚轴越远，系统的调节时间越短。的调节时间越短。调节时间主要由自然频调节时间主要由自然频率决定率决定。5/23/202220由分析知，在由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。作为设计依据，称为最佳阻尼常数。 8 . 04 . 0707.
15、 0215/23/202221（二）非振荡瞬态过程：过阻尼（二）非振荡瞬态过程：过阻尼 通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的阻尼系数在阻尼系数在01之间。而过阻尼系统响应缓慢（阻尼系数之间。而过阻尼系统响应缓慢（阻尼系数1，调节时间过长，在拖动系统中一般不采用，但对于一些特殊调节时间过长，在拖动系统中一般不采用，但对于一些特殊的不允许时间响应出现超调的系统（如液位控制）和大惯性的不允许时间响应出现超调的系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），以及指示仪表系统，就需要用过阻尼系系统（如加热装置），以及指示仪表系统，就需要用过阻
16、尼系统，有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼二阶系统的时间统，有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼二阶系统的时间响应来近似。响应来近似。5/23/202222过阻尼二阶系统动态性能指标过阻尼二阶系统动态性能指标ndt22 . 06 . 01nrt25 . 11175. 41Tts21212)(1TTTT211TTn1211nnT2211nnT延迟时间：延迟时间：调节时间：调节时间：上升时间：上升时间：5/23/202223阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系 =cos-1 % =cos-1 %0.184.2672.90.6950.278.4652.70.745.
17、 574.60.372.5437.23 0.707454.30.466.4225.380.7820.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.155/23/202224 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。 例例2解：由图中给出的阶跃响应性能指标，解：由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。先确定二阶系统参数，再求传递函数。 %1003 . 0%30%21/e36. 0秒1 . 012ndpt16 .33秒n)(1)(11302
18、.2411302)(2222sGsGsssssnnn)2 .24(1129)2()(1)()(2sssssssGnn0t(s)11.30.1h(t)5/23/202225)1( sTsKmR(s)(- -)C(s)KsTsKsGsGsm) 1()(1)()(22222/)(nnnmmmssTKTssTKs%3 .16%100%21e秒73. 012ndpt秒486. 0drt秒2 . 13nst 化为标准形式化为标准形式 即有即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为解：系统闭环传递函数为 解得解得 n=5, =0.5 例例3已知图中已知图中Tm=0.2，K=5，求
19、系统单位阶跃响应指标。，求系统单位阶跃响应指标。5/23/202226 5. 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应 （免）（免）5/23/202227t1t2t3t4)(te )(tc )(tc)(te6 6、改善二阶系统响应特性的措施、改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生过程二阶系统超调产生过程0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。正向速度大，造成响应出现正向超调。t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，误差信号为负，产生反向修正作用，但开始
20、反向修正作用不够大，经过一段但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。最大值。t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。出现反向超调。1.t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。反向最大值。5/23/202228t1t2t3t4)(te )
21、(tc )(tc)(te二阶系统超调产生原因二阶系统超调产生原因0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。点时。t1,t2 反向修正作用不足。反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路减小二阶系统超调的思路0,t1 减小正向修正作用。附加与原误减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。 t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。信号相反的信号。t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误加大正向修
22、正作用。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。 即在即在0,t2 内附加一个负信号，在内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。内附加一个正信号。减去输出的微分减去输出的微分或或加上误差的微分加上误差的微分都具有这种效果。都具有这种效果。5/23/202229a. a. 比例比例- -微分控制（加上误差的微分）微分控制（加上误差的微分） P100P100)2(2nnsss+-)(sR)(sC以误差信号以误差信号e(t)e(t)与误差信号的微分信号与误差信号的微分信号e(t)e(t)的和产生控制的和产生控制作用。简称作用。简称PDPD控制。又称微分顺馈控制。又称微分顺馈5/23/2
23、02230)2(2nnsss+-)(sR)(sC)2(2nnsss1-)(sR)(sC2222)2 ()1 ()(nnnnssss5/23/2022312222)2()1 ()(nnnnssss与典型二阶系统的标准形式比较与典型二阶系统的标准形式比较2222)(nnnsssnd2 等效阻尼系数为等效阻尼系数为 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率n 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%变小变小, ,可以可以代入公式证明，调节时间代入公式证明，调节时间t ts s变小，改善了动态性能。变小，改善了动态性能。（见（见P102 3-3)P102 3-3)d
24、1z 闭环传递函数有零点闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。，将会给系统带来影响。5/23/202232a. a. 测速反馈控制（减去输出的微分）测速反馈控制（减去输出的微分） P103P103)2(2nnsss-)(sR)(sC将输出量的速度信号将输出量的速度信号c(t)c(t)微分后的微分后的 c(t)c(t)采用负反馈形式采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号反馈到输入端并与误差信号e(t)e(t)比较，构成一个内反馈比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。回路。简称速度反馈。5/23/202233)2(2nnsss-)(sR)(sC222222)2 ()2()1 (1)2()(n
25、nnnnnnnssssssss)2(2nnsss1-)(sR)(sC5/23/202234 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率nnt2 等效阻尼系数为等效阻尼系数为由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%变小，可以变小，可以带入公式证明，调节时间带入公式证明，调节时间t ts s变小，改善了动态性能。变小，改善了动态性能。（见（见P103 3-4P103 3-4）t222222)2()2()1 (1)2()(nnnnnnnnssssssss与典型二阶系统的标准形式与典型二阶系统的标准形式 比较比较2222)(nnnsss5/23/202235例例 设控
26、制系统如图所示。其中（设控制系统如图所示。其中（a a）为无速度反馈系统，（）为无速度反馈系统，（b b）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并的值，并比较系统（比较系统（a a）和）和(b)(b)阶跃响应的瞬态性能指标。阶跃响应的瞬态性能指标。tK)1(10ss) 1(10sssKt1010)(2sss将上式与标准形式相比较得将上式与标准形式相比较得12n102n158. 016. 3n解得解得5/23/202236计算上升时间计算上升时间55.01)1(tan221nrt峰值时间峰值时间01. 112npt超调量超调量调节时间
27、调节时间%4 .60%10021ep75 .3nst)05. 0(5/23/202237系统（系统（b b）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为 10)101 (10)(2sKsst将上式与标准形式相比较得将上式与标准形式相比较得tnK1012102n5 . 01012ntK216. 010116. 35 . 021016. 3102)(sss由5/23/202238计算上升时间计算上升时间峰值时间峰值时间超调量超调量调节时间调节时间%3 .16p7 . 0rt15. 1pt22. 2st通过上述计算可知，通过上述计算可知，采用速度反馈后，可以明显地改善系采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态
28、性能。统的动态性能。str55.0stp01. 1sts7%4 .60p5/23/202239c. 比例比例-微分控制与测速反馈控制的比较微分控制与测速反馈控制的比较 P104需要考虑的因素：需要考虑的因素： 一般来说两种方法可任选一种来改善系统性能，但实际系统一般来说两种方法可任选一种来改善系统性能，但实际系统有许多必须考虑的因素，如：系统的具体组成、作用在系统上有许多必须考虑的因素，如：系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等，这里仅考噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等，这里仅考虑几种：虑几种：1 1）附加阻尼来源）附加阻尼来源： PDPD控制的阻
29、尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而速度反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端的影响，因此对于速度反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端的影响，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。5/23/2022403 3）对动态性能的影响：）对动态性能的影响： PDPD控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，在相同阻尼比的条件下，PDPD控制系统的超调量会大于测速控制系统的超调量会大于测速反馈控制系
30、统的超调量。反馈控制系统的超调量。2）使用环境：）使用环境： PD控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用重时，一般不宜选用PD控制。同时，微分器的输入信号为控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，系统误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器； 而速度反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测而速度反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件速
31、发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。5/23/202241小小 结结q 二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。 q 典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。q 典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调整时间以及他们与系统参数之间的关系；速度反馈校正。q 具有零点的二阶系统单位阶跃响应性能指标；速度顺馈校正；p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
