1、A组河北中考题组1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是() 答案答案 A三角形具有稳定性.故选A.2.(2018河北,6,3分)尺规作图要求:.过直线外一点作这条直线的垂线;.作线段的垂直平分线;.过直线上一点作这条直线的垂线;.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:则正确的配对是()A.,B.,C.,D.,答案答案 D根据尺规作图的方法可知正确的配对是,.故选D.3.(2017河北,10,3分)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域.甲的航向是北偏东35,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向是()A.北偏东55 B.北偏西5
2、5C.北偏东35 D.北偏西35不能答案答案 D因为甲、乙两船分别从A、B同时出发,并以等速驶向某海域,所以相撞时航行的路程相等,也就是说以相撞点与A、B为顶点的三角形是等腰三角形.由于甲的航向是北偏东35,为避免行进中甲、乙相撞,所以乙的航向不能是北偏西35,故选D.4.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PCAB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PCAB,垂足为C答案答案 B无论作APB的平分线PC交A
3、B于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.5.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段AD B.AC平分BADC.SABC=BCAH D.AB=AD答案答案 A由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线上,即BC垂直平分线段AD.故选A.解题关键解题关
4、键 本题考查作图、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是掌握线段垂直平分线的证明方法.6.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上答案答案 D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCM PDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个. 7.(2
5、015河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直线lAB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:线段MN的长;PAB的周长;PMN的面积;直线MN,AB之间的距离; APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是()A. B. C. D.答案答案 B点M,N分别为PA,PB的中点,无论点P怎样移动,总有MN=AB,直线l与直线MN的距离及直线MN,AB之间的距离不变,所以中的值不变.随着点P的移动,点P与点A,B的距离及APB的大小发生变化,故选B.8.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分
6、别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B间的距离为 m. 答案答案 100解析解析 AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线,AB=MN,MN=200 m,AB=100 m.129.(2017河北,18,3分)如图,依据尺规作图的痕迹,计算= . 答案答案 56解析解析 如图,四边形ABCD是矩形,ADBC,DAC=ACB=68.由作法可知AF是DAC的平分线,EAF=DAC=34.由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线,AEF=90,AFE=90-34=56,=56. 12思路分析思路分析 由矩形的性质得ADBC,可得出DAC的度数,由作法可知AF为DA
7、C的平分线,从而求出EAF的度数,又可知EF为线段AC的垂直平分线,从而得出AEF的度数,根据三角形内角和定理得出AFE的度数,进而可得出的度数.解题关键解题关键 熟悉角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.10.(2015河北,20,3分)如图,BOC=9,点A在OB上,且OA=1.按下列要求画图:以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= . 答案答案
8、9解析解析 由题意可知:AO=A1A,A1A=A2A1,则AOA1=OA1A,A1AA2=A1A2A,BOC=9,A1AB=29=18,A2A1C=27,A3A2B=36,A4A3C=45,9(n+1)=90,解得n=9.思路分析思路分析 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得A1AB的度数,A2A1C的度数,A3A2B的度数,A4A3C的度数,依此得到规律,再根据三角形的内角最多有一个大于或等于90的角,即可求得n的值.考点一三角形的有关概念1.(2018广西南宁,6,3分)如图,ACD是ABC的外角,CE平分ACD,若A=60,B=40,则ECD等于()A.40 B.45 C.50
9、 D.55B组20152019年全国中考题组答案答案 C由题意知ACD=A+B=60+40=100,因为CE平分ACD,所以ACE=ECD=ACD=100=50.12122.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是ABC的中线,则该线段是()A.线段DE B.线段BEC.线段EF D.线段FG答案答案 B连接三角形一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出,线段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线段BE是ABC的中线,故选B.3.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在AB
10、C中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC=()A.118 B.119 C.120 D.121答案答案 C在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.12124.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= . 答案答案 3解析解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB=3.125
11、.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分ABC的周长,则DE的长是 . 答案答案 32解析解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH=AC,所以AF=AC=,DE=AF=. 32331232解题技巧解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位
12、线性质来解答.6.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证:BAE+CBF+ACD=360.证法1: ,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). ,BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.解析解析 BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180.证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD.APBD,CBF=PAB,ACD=EAP.BAE+PAB+EAP=360,BAE+CBF+
13、ACD=360.考点二等腰三角形1.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()A.17.5 B.12.5 C.12 D.10答案答案 DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.2.(2018湖南常德,6,3分)如图,已知BD是ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,BAC=90,AD=3,则CE的长为()A.6 B.5 C.4 D.3 3答案答案 D
14、ED是BC的垂直平分线,DB=DC,C=DBC,BD是ABC的角平分线,ABD=DBC,BAC=90,C=DBC=ABD=30,BD=2AD=6,CD=6,CE=CDcos C=3.故选D.33.(2017山东滨州,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为()A.40 B.36 C.80 D.25答案答案 B设C=x,由DA=DC可得DAC=C=x,所以ADB=C+DAC=2x,因为BD=BA,所以BAD=ADB=2x,由AB=AC可得B=C=x,根据三角形内角和定理,得x+x+3x=180,解得x=36.所以B=36.4.(2019甘肃兰
15、州,14,4分)在ABC中,AB=AC,A=40,则B= .答案答案 70解析解析 B=70.1804025.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为 . 答案答案 9解析解析 AB=AC,B=C.又BAD=CAE,BAD CAE(ASA),CE=BD=9.6.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k.若k=,则该等腰三角形的顶角为 度.12答案答案 36解析解析 设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角的度数为2x度,由x+22x=180 x=3
16、6.故顶角为36度.思路分析思路分析 设出顶角度数,根据“特征值”可知底角度数,再由三角形内角和定理即可求得.7.(2019重庆A卷,20,10分)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.BE平分ABC交AC于点E,过点E作EFBC交AB于点F.(1)若C=36,求BAD的度数;(2)求证:FB=FE. 解析解析 (1)AB=AC,ABC=C.又D是BC的中点,AD平分BAC,即BAD=BAC.(3分)C=36,BAC=180-2C=180-236=108.BAD=54.(5分)(2)证明:BE平分ABC,FBE=EBD.EFBC,FEB=EBD,FBE=FEB.(9分)F
17、B=FE.(10分)128.(2017浙江绍兴,23,12分)已知ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设BAD=,CDE=.(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.如果ABC=60,ADE=70,那么= ,= ;求,之间的关系式;(2)是否存在不同于以上中的,之间的关系式?若存在,请求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,说明理由.解析解析 (1)因为AD=AE,所以AED=ADE=70,DAE=40,又因为AB=AC,ABC=60,所以BAC=C=ABC=60,所以=BAC-DAE=60-40=20,=AED-C=70-60=10.设ABC=x
18、,ADE=y,则ACB=x,AED=y,由AED=CDE+ACB得,y=+x,由BAD+ABC=ADE+CDE得,+x=y+,所以=2.(2)当点E在CA延长线上,点D在线段BC上时,设ABC=x,ADE=y,则ACB=x,AED=y,由ABD+BAD=CDE-ADE得,x+=-y,由ACB+AED+CDE=180得,x+y+=180,所以=2-180.注:求出其他关系式,相应给分,如点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,可得=180-2.考点三尺规作图1.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在RtABC中,B=90,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点D、E,再分别以
19、点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则ACG的面积是()A.1 B.C.2 D. 123252答案答案 C由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是14=2.故选C.12思路分析 先判断AF是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距离,最后根据三角形面积公式求解即可.2.(2017广东深圳,8,3分)如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至M,则BCM的度数为
20、()A.40 B.50 C.60 D.7012答案答案 Bl垂直平分AB,C在l上,AC=BC,B=CAB=25,BCM=50,故选B.思路分析思路分析 先根据直线l与线段AB的关系,得出线段AC与线段BC的关系,再根据三角形的外角与内角的关系,求出BCM.3.(2018山西,14,3分)如图,直线MNPQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;分别以C,D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧在NAB内交于点E;作射线AE交PQ于点F.若AB=2,ABP=60,则线段AF的长为 . 12答案答案 2 3
21、解析解析 过点B作BGAF交AF于点G,由尺规作图可知,AF平分NAB,NAF=BAF.MNPQ,NAF=BFA,BAF=BFA,BA=BF=2.BGAF,AG=FG,ABP=60,BAF=BFA=30.在RtBFG中,FG=BFcosBFG=2=,AF=2FG=2.32334.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线;(2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高. 解析解析 画法如图.(1)AF即为所求.(2)BF即为所求. 解题关键
22、解题关键 本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三线合一等性质.5.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 解析解析 如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点.证明如下:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90.BAC=90,AQP+ABQ=90.ABQ=PBD,BPD=AQP.BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.考点一三角形的有关概念1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,
23、能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5C组教师专用题组答案答案 C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合,故选C.2.(2018黑龙江齐齐哈尔,4,3分)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,ABCF,F=ACB=90,则DBC的度数为()A.10 B.15 C.18 D.30答案答案 BABCD,ABD=EDF=45,CBD=ABD-ABC=45-30=15,故选B.3.(2017吉林长春,5,3分)如图,在ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DEBC.若A=62,AE
24、D=54,则B的大小为()A.54 B.62 C.64 D.74答案答案 CA=62,AED=54,ADE=180-62-54=64,DEBC,B=ADE=64.故选C.4.(2015湖南长沙,10,3分)过ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是() 答案答案 A根据三角形高线的定义知ABC中BC边上的高是以点A为端点,且垂直于BC的垂线段.故选A.5.(2016黑龙江大庆,14,3分)如图,在ABC中,A=40,D点是ABC和ACB角平分线的交点,则BDC= . 答案答案 110解析解析 D点是ABC和ACB角平分线的交点,CBD=ABD=ABC,BCD=ACD=ACB,A=40,
25、ABC+ACB=180-40=140,CBD+BCD=70,BDC=180-70=110.1212考点二等腰三角形1.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()A.50 B.70 C.75 D.80答案答案 B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.2.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点
26、C,使ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A.5 B.6 C.7 D.8答案答案 A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A. 3.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为()A.35 B.40 C.45 D.50答案答案 AAB=AD,AD
27、B=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故选A.124.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为 . 答案答案 2 3解析解析 ABC是等边三角形,AB=2,BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60.CA=CD=2,CAD=D,BD=CB+CD=4,ACB=CAD+D,2D=ACB=60,D=60=30,BAD=180-B-D=180-60-30=90.在RtABD中,AD=2,故答案为2.1222BDAB2242335.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰AB
28、C中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度数为 .12答案答案 15或45或75解析解析 如图,当BA=BC时,BDAC,AD=CD=AC,BD=AC,AD=BD=CD,A=C=(180-90)=45.121212如图,当AB=AC且A为锐角时,BD=AC=AB,A=30,ABC=ACB=75.如图,当AB=AC且BAC为钝角时,BD=AC=AB,BAD=30,ABC=ACB=30=15.同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15.故答案为15或45或75.1212121212方法点拨方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.
29、6.(2018广西桂林,16,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,则图中等腰三角形的个数是 . 答案答案 3解析解析 AB=AC,A=36,ABC=ACB=72,又BD平分ABC,ABD=CBD=36,BDC=72,AD=BD=BC,ABD,BCD,ABC均为等腰三角形,故有3个.1803627.(2019吉林,24,8分)性质探究如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 .理解运用(1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4,则它的面积为 ;(2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH.求证:EFG+EHG=FGH;3在边FG
30、,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示).解析解析 性质探究.(2分)理解运用(1)4.(3分)(2)证明:EF=EG=EH,EFG=EGF,EGH=EHG.(5分)EFG+EHG=EGF+EGH=FGH.(6分)5.(7分)提示:由可知EFG+EHG=FGH.FGH=120,EFG+EHG=120.FEH+EFG+EHG+FGH=360,FEH=120.333连接FH.EF=EH,EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH=EF.又EF=10,FH=10.M,N为
31、FG和GH的中点,MN为FHG的中位线,MN=FH=5.类比拓展331232sin .(8分)提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin ,BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin .评分说明:结果写成 1,2sin 1不扣分.3考点三尺规作图1.(2019新疆,8,5分)如图,在ABC中,C=90,A=30,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.则下列说法中不正确的是()A.BP是ABC的平分线 B.AD=BDC.SCBD SABD=1 3 D.CD=B
32、D1212答案答案 C由题意得BP平分ABC,故A选项说法正确;C=90,A=30,ABC=60,ABD=30=A,AD=BD,故B选项说法正确;CBD=ABC=30,BD=2CD,故D选项说法正确;BD=AD=2CD,SABD=2SCBD,故C选项说法错误.故选C.122.(2019吉林长春,7,3分)如图,在ABC中,ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使ADC=2B,则符合要求的作图痕迹是() 答案答案 B选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,B=DCB,ADC=B+DCB=2B.思路分析思路分析 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,找出与B相等的角
33、,利用三角形外角与内角的关系分析.3.(2017广西南宁,7,3分)如图,ABC中,ABAC,CAD为ABC的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是 ()A.DAE=B B.EAC=CC.AEBC D.DAE=EAC答案答案 D根据作图痕迹可知,题图是用尺规作一个角等于已知角,即DAE=B,进而得到AEBC,从而有EAC=C,故选项A、B、C均正确;因为ABAC,所以ABCACB,即DAEEAC,故选项D错误,故选D.思路分析思路分析 由作图痕迹可知,在三角形ABC的外角CAD内画了一个新角DAE,且DAE=B,由此得到其他相关的结论.4.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形
34、ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 . 12答案答案 30解析解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=. 22AEDE2232522ADDC22( 5)530思路分析思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计算出AC,得解.解题关键解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练
35、应用勾股定理计算是解题的关键.5.(2018北京,17,5分)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线l及直线l外一点P.求作:直线PQ,使得PQl.作法:如图,在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B;在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q;作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:AB= ,CB= ,PQl( )(填推理的依据).解析解析 (1)补
36、全图形,如图所示:(2)AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边.6.(2015浙江杭州,21,10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.(1) 用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形;(2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).解析解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(
37、3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的ABC即为满足条件的三角形. 一、选择题一、选择题(每小题3分,共24分)30分钟50分1.(2019石家庄新华一模,5)将一副三角尺按如图所示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上,且两锐角顶点重合),连接另外两个锐角顶点,并测得1=47,则2的度数为()A.60 B.58 C.45 D.43答案答案 B如图,AEB=60,CED=45,AED=75,根据三角形内角和定理可得2=180-47-75=58,故选B. 2.(2019廊坊广阳一模,5)在联欢会上,甲、乙、丙3人分别站在不
38、在同一直线上的三点A、B、C上,他们在玩抢凳子的游戏,要在他们中间放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放的最恰当的位置是ABC的()A.三条高的交点 B.重心C.内心 D.外心答案答案 D为使游戏公平,要使凳子到三个人的距离相等,根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知,凳子要放在三边中垂线的交点上.故选D.3.(2019唐山滦南一模,14)已知:ABC中,AB=AC,求证:B180,这与三角形内角和为180矛盾;因此假设不成立,B180,这与三角形内角和为180矛盾,因此假设不成立,B90.故正确顺序为.故选A.方法总结方法总结 反证法的证明步骤:假设;合情推理;导出
39、矛盾;结论.4.(2019石家庄桥西一模,12)如图,在ABC中,ACB=90,分别以点A和点C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若B=34,则BDC的度数是()A.68 B.112 C.124 D.14612答案答案 BACB=90,B=34,A=56,DE是AC的垂直平分线,DA=DC,DCA=A=56,BCD=90-56=34,BDC=180-34-34=112,故选B.5.(2019张家口桥东一模,10)在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,点P是线段AD上的一个动点,当PCE的周长最小时,P点的位置在
40、()A.ABC的重心处 B.AD的中点处C.A点处 D.D点处答案答案 A连接BP,ABC是等边三角形,D是BC的中点,AD是BC的垂直平分线,PB=PC,PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP,当B、P、E在同一直线上时,PCE的周长最小,BE为AC边上的中线,点P为ABC的重心,故选A. 6.(2018秦皇岛海港一模,2)如图,在ABC中,D是BC延长线上一点,B=40,ACD=120,则A等于( )A.80 B.70C.60 D.90答案答案 AACD是ABC的外角,ACD=A+B,ACD=120,B=40,A=120-40=80,故选A.7.(2018邢台宁晋质检,13)如图
41、,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得CAD=60,BCA=30,AC=15 m,则河宽AB为()A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m333答案答案 ACAD是ABC的外角,CAD=BCA+B,CAD=60,BCA=30,B=30,B=BCA.AC=AB,AC=15 m,AB=15 m,故选A.8.(2018石家庄十八县一模,13)如图,在ABC中,A=80,将ABC沿过点C的一条直线进行裁剪,得到两个新的三角形,若这两个新的三角形都是等腰三角形,则B的度数不可能是()A.10 B.22.5 C.25 D.40答案答案 B设过点C的直线交AB于D.若
42、B=BCD=10,则ADC=20,CD=BD,ACD=80,CD=AD,选项A符合题意;若B=BCD=22.5,则ADC=45,CD=BD,ACD=55,选项B不符合题意;若B=BCD=25,则ADC=50,CD=BD,ACD=50,AC=AD,选项C符合题意;若B=BCD=40,则ADC=80,CD=BD,ADC=A,AC=CD,选项D符合题意.故选B.二、填空题二、填空题(每小题3分,共6分)9.(2019唐山古冶一模,8)如图,在ABC中,AB=AC,AD、CE分别是ABC的中线和角平分线.若CAD=20,则ACE的度数是 . 答案答案 35解析解析 AB=AC,AD是ABC的中线,AB
43、C=ACB,BAD=CAD=20,ACB=70,CE是ACB的角平分线,ACE=ACB=35.1804021210.(2018石家庄十八县一模,18)如图,在RtABC中,C=90,BC=8,AC=4,依据尺规作图的痕迹,计算CD的长为 . 答案答案 3解析解析 由尺规作图可知,BAD=B,AD=BD,在RtACD中,AD2=CD2+AC2,BC=8,AC=4,AD2=(8-AD)2+42,解得AD=5,CD=BC-BD=8-5=3.三、解答题三、解答题(共20分)11.(2019廊坊广阳一模改编)数学课上,张老师写了如下两个例题:例1:等腰三角形ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35
44、)例2:等腰三角形ABC中,A=40,求B的度数.(答案答案:40或70或100)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式:等腰三角形ABC中,A=70,求B的度数.(1)请你解答上述的变式题;(2)在等腰三角形ABC中,设A=x,请用x表示出B的度数;(3)结合(1)(2),小敏发现,A的度数不同,得到B的度数的个数也可能不同,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.解析解析 (1)若A为顶角,则B=(180-A)2=55;若A为底角,B为顶角,则B=180-270=40;若A为底角,B为底角,则B=70.B=55或40或70.(2)若A为顶角,则B=;若A为底角,B为顶角,则
45、B=(180-2x);若A为底角,B为底角,则B=x.(3)分两种情况:当90 x180时,A只能为顶角,B的度数只有一个(不符合题意,舍去).当0 x90时,依题意得1802x即x60时,B有三个不同的度数.综上所述,可知当0 x90且x60时,B有三个不同的度数.1801802 ,21802,180,2xxxxxx12.(2018唐山丰南一模,20)如图,已知ABC中,AB=2,BC=4,画出ABC的高AD和CE,并求出的值. ADCE解析解析 AD和CE如图.SABC=BCAD=ABCE,BCAD=ABCE.AB=2,BC=4,4AD=2CE,=.1212ADCE2412一、选择题一、选
46、择题(每小题3分,共21分)1.(2019唐山丰润一模,16)如图,ABC的周长为19,点D,E在边BC上,ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为()A.2 B.3 C. D. 325225分钟43分答案答案 DBN平分ABC,BNAE,NBA=NBE,BNA=BNE,在BNA和BNE中,BNA BNE,BA=BE,BAE是等腰三角形,同理可得CAD是等腰三角形,点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),MN是ADE的中位线,BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,DE=BE+CD-BC=5,MN=DE=.故选D.,AB
47、NEBNBNBNANBENB 1252思路分析思路分析 首先证明BNA BNE,得到BA=BE,即BAE是等腰三角形,同理可得CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,然后根据三角形中位线定理求得MN的长.解题关键解题关键 本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.2.(2019廊坊安次一模,9)如图,已知ABC(AC0).按如图方式作边长均为3的等边DEF,PQR,LMN,点F,R,N分别在射线DA,PB,LC上.当边DE,PQ,LM与ABC的三边围成的图形是正六边形时,x= ;当点D与点B重合时,EF,QR,MN所围成的三
48、角形的周长为 .答案答案 353二、填空题(每小题3分,共12分)解析解析 如图,由题意可知ADG,BPH,CLI都是等边三角形,若边DE,PQ,LM与ABC三边围成的图形是正六边形,则AD=DG=DH=HP=BH,即点D,H为AB的三等分点,所以x=.当点D与点B重合时,如图所示,53由题意可知AMN,BEF,CQR的边长均为3,所以FM=QN=1,易得FMA,BER,CQN,ABC都是等边三角形,所以MA=AC=CN=1,所以ABC的周长为3.9.(2018石家庄裕华一模,18)如图,ABC的顶点落在两条平行线上,点D,E,F分别是ABC三边的中点,平行线间的距离是8,BC=6,移动点A,
49、当CD=BD时,EF的长度是 . 答案答案 5解析解析 如图,连接DF,D为AB的中点,F为BC的中点,CD=DB,DFAC,DFBC,ACBC,由题意得AC=8,又BC=6,AB=10,E为AC的中点,F为BC的中点,EF=AB=5.22681210.(2018承德双滦一模,18)如图,在ABC中,AB=AC,BAC=54,BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则OEC的度数为 . 答案答案 108解析解析 连接OB,OC,AB=AC,BAC=54,ABC=ACB=63,AO平分BAC,BAO=BAC=27,OD垂直平分AB,
50、OA=OB,BAO=OBA=27,OBC=63-27=36,AB=AC,BAO=CAO,AO=AO,BAO CAO,OB=OC,OBC=OCB=36,由折叠可知OE=CE,EOC=OCB=36,12OEC=180-362=108.11.(2018邯郸一模,19)如图,在ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD为AB边上的高,点A在x轴上,点B在y轴上,点C在第一象限,若A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,则点B随之沿y轴下滑,并带动ABC在平面内滑动,设运动时间为t秒,当B到达原点时停止运动.(1)连接OC,线段OC的长随t的变化而变化,当OC最大时,t= ;(2)当ABC的
