1、淮安市吴承恩中学淮安市吴承恩中学 黄佳丽黄佳丽复习回顾：复习回顾：1、 的充要条件是的充要条件是 ab0a b 2、设向量、设向量 的夹角为的夹角为 ，则，则a b cosab3、共面向量定理共面向量定理 如果两个向量如果两个向量 不共线，那么不共线，那么向量向量 与向量与向量 共面的充要条件是共面的充要条件是, a b p , a b 存在有序实数组存在有序实数组, x y，使得：，使得：pxayb 4、直线、直线 的方向向量是的方向向量是l平面平面 的法向量的法向量 与与 的位置关系是的位置关系是nn, a b el思考：思考： 我们能不能用直线的方向我们能不能用直线的方向向量和平面法向量
2、来刻画空间线向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？面位置关系？ 设空间两条直线设空间两条直线 的方向向量为的方向向量为两个平面两个平面 的法向量分别为的法向量分别为12,e e 12,l l12, 12,n n 平行平行垂直垂直12ll与11l与12与1e12ee11en1e1n12nn2e1n2nOBDCA 例例1、如图，、如图， 是平面是平面 的一条斜线，的一条斜线， 为为斜足，斜足， ， 为垂足，为垂足， ，且，且 求证：求证： OBOABACDCD OACDOB 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
3、直。（线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定三垂线定理理）变式练习：变式练习： 写出三垂线定理的逆定理，并用向量的写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。方法加以证明。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。那么它也和这条斜线的射影垂直。OBDC A已知：如
4、图，已知：如图， 是平面是平面 的的 一条斜线，一条斜线， 为斜为斜足，足， ， 为垂足，为垂足， ，且，且求证：求证：OBOABACDCD OBCDOA例例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直线与平面垂直的判定定理直的判定定理）lmn已知：如图，已知：如图， 求证：求证： ,mn,mnB lm lnlBllmmnng g分析：分析：要证明直线与要证明直线与平面垂直，只要证明平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内该直线垂直于平面内任意一条直线。任意一条直线。B,
5、lm ln0,0l ml m mn与相交相交mn与不共线不共线又又, ,m n g 共面共面存在有序实数组存在有序实数组, x y使得，使得，gxmyn l glxmynxl myl mo 例例3、如图，在直三棱柱、如图，在直三棱柱 - 中，中， 是棱是棱 的中点，的中点，求证：求证： ABC111ABC190 ,30 ,1,6,ACBBACBCA A M1CC1ABAM1B1A1CABCM903016证明：在直三棱柱证明：在直三棱柱 - 中，中，因为因为 ，所以，所以 因为因为 ，而，而所以所以 ，所以，所以在在 中，因为中，因为所以所以ABC111ABC1A AAC10A A AC CMA
6、BC 平面ABABC 平面CMAB0CM AB Rt ABC1,30BCBAC3,2ACAB3cos302332AB ACABAC 所以所以因为因为 ， ，且且 是棱是棱 中点，所以中点，所以 ，所以所以CM 1A A16A AM1C C62CM 11cos1803A A CMA A CM 1B1A1CABCM903016所以所以：11AB AMA AABACCM 11A A ACA A CMAB CM 0所以：所以：即，即，1ABAM 1ABAM1B1A1CABCM903016 思考：还有其它的证明方法吗？思考：还有其它的证明方法吗？ 利用相似形与线面垂直利用相似形与线面垂直分析：连结分析：
7、连结 交交 于点于点 因为因为所以，要证所以，要证就是证就是证即证即证1AC11ABACCB AMO10AB AM 10ACCBAM 10AC AMCB CM 1、利用、利用 相似可以证明相似可以证明 ， 从而从而1ACMA AC和1ACAM10AC AM 2、利用、利用 知道知道 ，即，即1CBACC1平面ACBAM0CB AM 1B1A1CABCM903016O 你能试着建立适当的空间直角你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？它们互相垂直吗？1C1B1AABCM9030161C1B1AABCM903016xyz证明：分别以证明
8、：分别以所在直线为所在直线为 轴，轴， 轴，轴， 轴，建轴，建立空间直角坐标系立空间直角坐标系1,CA CB CCxyzCxyz图中相应点的坐标为：图中相应点的坐标为：13,1,6A3,0,0A所以：所以：163,0,6 ,3,0,2ABAM 所以：所以：0AB AM 即，即，1ABAM1C1B1AABCM903016xyz323,1, 60,1,03,0,060,0,2,0,1,0B6,0,0,2M三种方法的比较：三种方法的比较： 证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加减运算及所满足的运算律。减运算及所满足的运算律。 证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰
9、当证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。地建立空间直角坐标系，探求出各点的坐标。 证法三是几何向量法和立体几何法的综合运证法三是几何向量法和立体几何法的综合运用。用。 最终都是应用向量的数量积为最终都是应用向量的数量积为0 0来来证明线线垂直。证明线线垂直。课堂小结：课堂小结： 本节课主要研究了用向量的方法本节课主要研究了用向量的方法判定空间线线、线面垂直关系。判定空间线线、线面垂直关系。 如果要判定两条直线如果要判定两条直线 垂直垂直 ，可以通过证明它们的方向向量可以通过证明它们的方向向量 ， 的数量积为的数量积为0实现实现ab、ab同步练习同步练习（
10、用坐标运算的方法）（用坐标运算的方法） 如图，在正方体如图，在正方体 中，中， 相交于点相交于点 ，求证：，求证：1111ABCDABC D11CDDC和O1AOAB1A1B1C1DABCDOxyZ同步练习：同步练习：（两平面垂直的性质定理两平面垂直的性质定理）已知：平面已知：平面 平面平面 ， 直线直线 ，且，且求证：求证：lmmlmlmnAg 同步练习：同步练习： 如图，在正方体如图，在正方体 中，中， 相交于点相交于点 ，求证：，求证：1111ABCDABC D11CDDC和O1AOAB1A1B1C1DABCDOOBDC A证明：因为证明：因为 所以所以 因为因为 所以所以 所以所以 因为因为 所以所以 所以所以 即即 CDOA0CD OA ,ABCDCDAB0CD AB OBOAAB CD OB CD OA AB CD OACD AB 0CDOB CDOB1C1B1AABCM9030161C1B1AABCM903016
