1、1第一章 函数、连续与极限第一章Advanced mathematics函数、连续与极限高等数学2第一章 函数、连续与极限内容导航第一章第二节 数列的极限定义与计算第三节 函数的极限定义与计算第四节 极限的证明与性质第五节 两个重要极限第六节 无穷小的概念与比较第七节 函数的连续性及其性质第一节 集合与函数课 前 导 读集 合 习惯上，用大写英文字母 表示集合，用小写字母 表示集合的元素. , ,A B C , , ,a b c a3具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素.aAaAaAaAAaA 表示 是集 的元素（读作 属于 ）， 表示 不是集 的元
2、素（读作 不属于 ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的集合称为空集，记为 .课 前 导 读函 数4xDyfxDyfD 如果按照某个法则 ，对每个数 ，变量 总有唯一确定的值与之对应， 则称此对应法则 为定义在 上的函数， 与 对应的值 称为 在 处的函数值， 记作 ，即 . xyfx f x yf x 变量 称为自变量， 称为因变量. 数集 称为定义域， 称为函数的值域.xyD ,Wy yf xxD5第一章 函数、连续与极限一、 集合的概念ABABU设 是两个集合，,A B图1-1ABABABABBAABA6第一章 函数、连续与极限一、 集合的概念 我们把自然数的全体组
3、成的集合称为自然数集，记作 . 由整数的全体构成的集合称为整数集，记为 . QRZQR 用 表示全体有理数构成的有理数集， 表示全体实数构成的实数集. 显然有 . 注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.7第一章 函数、连续与极限1. 集合及其运算 由同时包含于 与 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 与的交集（简称交），记作 ，即 且 ；ABAB |ABx xAxBAB 由包含于 或包含于 的所有元素构成的集合（见图 1-3），称为与 的并集（简称并），记作 ，即 或 ；AB |ABx xAxBABAB集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 是两个集合. ,A BABBA图
4、1-2AB AB图1-38第一章 函数、连续与极限1. 集合及其运算 由包含于 但不包含于 的元素构成的集合（见图 1-4），称为 与 的差集（简称差），记作 ，即 且 ；ABABA B |A Bx xAxB 特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，UAUcUAC A或BA图1- 4图1-5A BAU集合 是 的子集 （见图 1-5），此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .UAUC ACAA9第一章 函数、连续与极限1. 集合及其运算关于集合的余集，我们有如下性质.性质1（对偶性质） 设 是一个基本集， 是它的两个子集，则U,A BCCCABABCCCA
5、BAB01OPTION02OPTION10第一章 函数、连续与极限1. 集合及其运算12xyO0,1A 0,2B A B 设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合,A B, x y称为 与 的直积.例如：( , )|,ABx yxA yBAB0,1,0,2AB设 即为 面上全体点的集合， 常记作 .RR( , )| ,Rx yx yxOyRR2R图1-6则 ，如图 1-6所示. ( , )|01, 02ABx yxy 除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积. 11第一章 函数、连续与极限2.区间数集 称为开区间，记作x axb, a b（见图1-7），即, a bx axb
6、 和 称为开区间 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， . 类似地，数集 称为闭区间，记作 （见图1-8），ab, a bab,aa b,ba bx axb, a b图1-7设 和 都是实数，且 ，abab图1-8 和 也称为闭区间 的端点，且 ， .ab, a b,aa b,ba babx(a,b)a,babx12第一章 函数、连续与极限2.区间数集 及 称为半开区间，分别记作 和 (见图1-9和图1-10）.x axbx axb, a b, a b 以上这些区间都称为有限区间，数 称为这些区间的长度. 从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段.ba图1-9图1-10a,b)(a,bab
7、xabx13第一章 函数、连续与极限2.区间这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11 1-14所示.图1-11此外，对于这样的集合： ， ， ， ，我们引进记号 （读作正无穷大）及 （读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间或开区间：x xax xax xbx xb, ax xa , ax xa ,bx xb,bx xb图1-12图1-13图1-14全体实数的集合 也记作 ，它也是无限的开区间.R, abxaxbxbx14第一章 函数、连续与极限3. 邻域图1-15设 与 为两个实数，a且 ，数集 称为点 的 邻域， 记作 ，即 ，其中 称作 的中心， 称作 的半径.,U ax
8、xa0 x xaa,U aa,U a,U a,U ax axa因此， 也就是开区间 .,U a,aa见图1-15，显然，这个开区间以点 为中心，而长度为 .a2aaax+在数轴上， 表示点 与点 的距离，xaxa 因此点 的 邻域 在数轴上就表示与点 距离小于 的点 的全体. a,U ax xaax由于 等价于 ，xaxaaxa即 ，所以15第一章 函数、连续与极限3. 邻域有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点 的 邻域去掉中心 后，称为点 的去心 邻域，记作 ，即 aaa,oU a,0oU axxa这里 就表示 .0 xaxa为了方便，有时将开区间 称为 的左邻域，而将开区间
9、 称为 的右邻域.如果不强调半径，以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记作 .,aaa, a aa U aaaaaa-+x图1-1616第一章 函数、连续与极限二、常用函数 ( 是常数)yxy=xyy=x2x11oy=x3(1,1)图1-171. 基本初等函数当 时， 的定义域是 ；1212yxx0,)() 幂函数:ZyxR当 时， 的定义域是 ；ZyxR0当 时， 的定义域是 （见图1-17）；12 121yxx(0,)(0,)当 时， 的定义域是 , 幂函数的最小定义域是 .17第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数01a yx1Oyx(a1)01a (0a1)logayx(0a1
10、)logayx图1-20图1-21logayxea 01alnyx当 时， 是单调减少函数(见图1-21). 当 时的对数函数记为 ，称为自然对数函数.log(0,1)ayx aa(0,)ylogayx(1,0)1a 对数函数 的定义域是 ,其图像位于 轴的右方且通过点 . 当 时， 是单调增加函数(见图1-20)；19第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数对数具有以下运算性质：对任意的 ， ,0,1x yRaaRb（i） （ii） （iii） logloglogaaaxyxylogloglogaaaxxyyloglogbaaxbx 和 互为反函数，它们的图像关于直线 对称，且有 ，进一步
11、，我们在以后的计算中经常会用到 和 .logayxxyayxlogaxaxlnexxlnlneeaaxxax20第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数() 三角函数正弦函数 ，余弦函数 ，正切函数 ，余切函数 ，正割函数 和余割函数 统称为三角函数.sinyxcosyxtanyxcotyxsecyxcscyx图1-22图1-23 的定义域是 R， 值域是-1，1， 最小正周期是 2， 它是奇函数(见图1-22)； sinyx 的定义域是 R，值域是-1，1 ，最小正周期是 2，它是偶函数(见图1-23)；cosyxy1-1222O2343-xy1-1222O- 2343xRsinyxcos
12、yxR21第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数的定义域是 ，值域是 ，最小正周期是 ，在定义域上是奇函数（见图1-24）；tanyx|,0, 1, 2,2x xkk (,) 图1-24图1-25的定义域是 ，值域是 ，最小正周期是 ，在定义域上是奇函数（见图1-25）；cotyx |,0, 1, 2,x xkk (,) -23tanyxx23xcotyxyy22第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为11sec,csccossinyxyxxx23第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数() 反三角函数定义在区间 上的正弦函数的反函数记作 ， ,
13、2 2arcsinyx定义域为 ，值域为 ，称为反正弦函数(见图1-26). ,2 2 1,1y2211Ox图1-26arcsinyx24第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数定义2在区间 上的余弦函数的反函数记作 ，图1-270,arccosyx定义域为 ，值域为 ，称为反余弦函数(见图1-27). 1,10,yarccos x, 1,1y-11Ox25第一章 函数、连续与极限1. 基本初等函数定义3在区间 上的正切函数 的反函数记作 ，定义域是 ，值域为 ， 称为反正切函数，在整个定义域上是单调递增函数(见图1-28)；图1-28 ,2 2tanyxarctanyx(,) ,2 2定义
14、在区间 上的余切函数 的反函数为 ，定义域是 ， 值域为 ，称为反余切函数， 在整个定义域上是单调递减函数(见图1-29).0,cotyxarccotyx(,) 0,三角函数的反函数统称为反三角函数.图1-29xOy22-arctanyx,yxOarccotyx,26第一章 函数、连续与极限2.几类特殊的函数例1函数 ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 ，值域为 ，它的图形是一条平行于 x 轴的直线(见图1-30)，这个函数称为常数函数.yC,D WCOxyyC图1-30例2函数 的定义域为 ，值域 ，它的图形如图1-31所示， 这个函数称为绝对值函数.,0,0 xxyxxx,D 0,
15、W Oxyxy=图1-3127第一章 函数、连续与极限2.几类特殊的函数例3函数 的定义域为 ，值域 ，它的图形如图1-32所示,这个函数称为符号函数.1,0sgn0,01,0 xyxxx,D 1,0,1W xy1Oysgnx-1图1-3228第一章 函数、连续与极限2.几类特殊的函数例4设 为任一实数，x比如， ， ， , 0.50310.51 -2-10123-1-212y=xxy图1-33 函数 的定义域为 ，值域为整数集 ，它的图形如图1-33所示. yx,D Zxx x 不超过 的最大整数称为 的整数部分， 记作 . 可以看出， 它的图形在 的整数值处出现跳跃， 而跃度为，x这个函数
16、称为取整函数. 一般地， 有 ，当 xn,1xn n0, 1, 2,n 29第一章 函数、连续与极限2.几类特殊的函数在例、例 等例子中看到， 有时一个函数要用几个式子表示， 这种自变量在不同变化范围中， 对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数. 分段函数在实际问题中经常出现， 我们应重视对它的研究.30第一章 函数、连续与极限2.几类特殊的函数例5函数 是一个分段函数, 它的定义域 . 当 时， 对应的函数值 ； 3,1,1,1xxf xxx,D ,1x 1f xx当 时， 对应的函数值 .它的图形如图1-34所示.1,x 3f xx例如 ，则 ； ，则 .1,1 11 12f 11,
17、 3111fyy=f (x)y=x-11O1y=x3x1图1-3431第一章 函数、连续与极限3. 初等函数我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的， 并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数. 例如 都是初等函数， 本书中讨论的函数基本上都是初等函数.21sin,1yyxx32第一章 函数、连续与极限3. 初等函数例6设 ，求 和 .解1( )2 , ( )0,11xf xg xxxx， ( ), ( )f g xg f x ( )f f x01OPTION02OPTION03OPTION1 ( )1( )g f xf x( ) ( )2f xf f x( )
18、( )2g xf g x112(1)xx1(0)12xx22(R)xx33第一章 函数、连续与极限3. 初等函数例 求函数 的定义域.2ln(3)yx解 所给函数由 复合而成.2,ln ,3yu uv vx从而 ，231vx 的定义域是 ，yu0u 2ln(3)yx(, 22,) 因此， 函数 的定义域为 .ln0v 即 ，x| 2x 解这个关于 的不等式， 得 ， 34第一章 函数、连续与极限3. 初等函数例8设 的定义域是 ，求 的定义域.( )f x(0,1)(sin )fx解 函数 由 复合而成.(sin )fx( ),sinf u ux因为 的定义域为 ，( )f u(0,1)(2
19、,(21),xnnnZ(sin )fx 因此， 开区间 的并即为 的定义域. 即 . sin(0,1)x 故必有 的值域是 ，sinux(0,1)35第一章 函数、连续与极限内容导航第一章第一节 集合与函数第三节 函数的极限定义与计算第四节 极限的证明与性质第五节 两个重要极限第六节 无穷小的概念与比较第七节 函数的连续性及其性质第二节 数列的极限定义与计算36课 前 导 读36数列 : 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或称为数列的一般项(通项). nx123,nx x xx1xnx等差数列 : 公差 ，通项公式为 ，前 n 项求和公式为
20、 . nx1nndxxR1(1)nxxnd1()2nnn xxS等比数列 : 公比 ， 通项公式为 ，前 n 项求和公式为 . nx11nnxx q1(1)1nnxqSq1nnxqRx37第一章 函数、连续与极限一、数列极限的概念一尺之棰， 日取其半， 万世不竭.庄子 天下篇一尺长的木棍， 每天截掉一半， 每天截取的长度按照天数可排成一个数列:. 数列极限的引入数列的通项为 ，12n 当 无限增大(记作 ， 读作 趋于无穷大)时，nn n 12n在数学上称这个确定的数 0 是数列 当 时的极限. 12nn 无限接近一个确定的数0. 38第一章 函数、连续与极限. 数列极限的引入解决实际问题时，
21、 经常用到极限方法. 极限方法作为高等数学中的一种基本方法， 很有必要做进一步详细的讨论. 先看下面的 个数列.112131n，;1，;32313n1，;111n1，;2124311nnn （2）（1）（4）（3）它们的一般项依次为1n，13n，11n，11nnn .39第一章 函数、连续与极限. 数列极限的引入在几何上，数列 可看作数轴上的一个动点， 如图1-35所示 ， nx1x2x3xnx它依次取数轴上的点 ， ， ， ， x3x2x1x4x5x6xnx图1-35按函数的定义， 数列 可看作自变量为正整数 的函数， 即 ，它的定义域是全体正整数，当自变量 依次取 时，对应的函数值就排列成
22、数列 . nxn nxf nn1,2,3, nx40第一章 函数、连续与极限. 数列极限的引入现在我们所关心的问题是:() 给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？ 随着 的无限增大， 能否无限接近某个常数?() 如果能无限接近某个确定的数， 则该常数是多少?nnx 数列()的一般项 将无限接近于常数1. 11111nnnnxnn 可以看出，在前面所列的4 个数列中， 当 时，n 数列()的一般项 将无限接近于常数0.1nxn 而数列()的一般项 却在无限增大， 它不接近于任何确定的数值. 13nnx 数列()的一般项 始终交替地取值为1 和-1， 不接近于任何确定的数值. 11nnx 据此，
23、我们可以认为， 数列()和()是“有极限”的，而数列()和()是“无极限”的.41第一章 函数、连续与极限. 数列极限的引入 从上述各例观察可以看到， 数列的一般项变化趋势有两种情况: 无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数. 这样就可以得到数列的描述性定义.如果当数列 的项数 无限增大时， nx 它的一般项 无限接近于一个确定的常数 ，nxa记作 或limnnxa()nxa n 则称 为数列 的极限. a nx此时也称数列 收敛于 ， nxa例如， .11lim1nnnn 42第一章 函数、连续与极限. 数列极限的引入 如果当数列 的项数 无限增大时， nxn 它的一般项 不接近于
24、任何确定的常数， 则称数列 没有极限，或称数列 发散，nx nx nx 习惯上记作 不存在. 例如， 不存在. limnnx1lim1nn 例如 .1lim3nn 当数列 的项数 无限增大时， 如果 也无限增大， nxnnx 则数列 没有极限. nx此时，习惯上也称数列 的极限是无穷大， nx记作 . ，limnnx 43第一章 函数、连续与极限2. 数列极限的定义在上述极限的描述性定义中， 我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的. 为了给极限一个精确的定义， 关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画.一般来说， 两个数 a、b 的接近程度可用 b - a 来度量. 1
25、1111nnnnxnn 我们以数列 为例.44第一章 函数、连续与极限2. 数列极限的定义考虑 ，显然， 越大， 就越“接近” 1 . 1111nnxnnnnx这个数1 就是 的极限.nx 只要 足够大，就可以小于任何给定的正数. n10001x10002x1110000nx 这时 ， ， 均能使不等式 成立.11100nx 11100n100n 如果要求 ， 即 ，只要 ，101x102x11100nx 这时 ， ，均能使不等式 成立. 1110000nx 同样，如果要求 ，1110000n10000n 即 ，只要 ，一般地， 不论给定的正数 多么小，N总存在一个正整数 ，nNn 使得对于
26、时的一切 ，1nx不等式 均成立，11nnnxn n 这就是数列 当 时无限“接近”于1 的精确刻画，45第一章 函数、连续与极限2. 数列极限的定义设 为一数列，定 义如果这样的常数 不存在， 就称数列没有极限，或称数列发散. nxN ，或 .limnnxa()nxa n a nxa或者称数列 收敛于 ， 记作aR 如果存在一个常数 ，对于任意给定的正数 ， 总存在一个正整数 ，nNnnxa使得对于 时的一切 ， 不等式 均成立，anx 则称常数 是数列 的极限，46第一章 函数、连续与极限2. 数列极限的定义 我们用“ ”表示“任意的”， 用“ ”表示“存在”， 就可以用更简洁的语言来描述
27、数列的极限. 如果 ， ， 当 时， 恒有 ，则 .0 ZNnNnxalimnnxa 注() 定义中， 刻画了 和 的接近程度， 的“任意”性极其重要. 只有这样， 才能体现 和 的“无限接近”；nxanxanxa () 正整数 与任意给定的正数 有关. 对于给定的 ， 相应的 不是唯一的， 即只要其存在， 并没有要求其达到最小；NN () 由定义也可看出， 的极限是否存在仅与它的发展趋势有关. 只要从某项 开始， 即可， 与前有限项的变化无关. nxNnxa47第一章 函数、连续与极限若在数轴上标出 ， ， ， ，及 ，1x2xnxa2. 数列极限的定义下面给出“数列 的极限为 ”的几何解释
28、. nxa数列极限几何解释再作 的 邻域 (见图1-36) ，a,aa就会发现， 当 时，点 均落在 内， 至多有有限个( 个)落在 外.nN nx,aaN,aaa-2a+2x1xa图1-3648第一章 函数、连续与极限2. 数列极限的定义例已知 ，证明 .必须指出， 数列的定义可用于验证 是数列 的极限， 但却无法用于求极限.a nx1nxnlim0nnx要使证明 ，0 0nx 即 ，1n10n1n1n 故数列 的极限为0，11N 取 ，nN0nx则当 时， 恒有 ，1lim0nn即49第一章 函数、连续与极限2. 数列极限的定义例2已知 ，证明 .12nnx lim0nnx证明 ,0 即
29、，12nnN由例2的证明可以发现：对于任意的 ，都有 . 请感兴趣的读者自行证明.01qlim0nnq(不妨设 ，想想为什么可以这样假设. ) 要使10nx恒有 ，1ln2lnn等式两端同时取对数， ，1lnln2n从而 ，1ln1ln2N取 ， 则当 时，12n故数列 的极限为0， 1lim02nn即110022nnnx50第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算 极限的定义只能用来验证极限， 而不能计算数列的极限， 所以下面给出数列极限的运算法则.定理(数列极限的运算法则)若 ， ，则limnnxalimnnyb ；(加减法则)limlimlimnnnnnnnxyxyab（1） ；(乘法
30、法则)（2）limlimlimnnnnnnnxyxya b ；(交换法则)（3）limlim(0,0)nnnnnxxa xa ；(除法法则)（4）limlimlim0limnnnnnnnnnxxaybyyb定理的证明见第一章第四节.51第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算例3求下列函数的极限：（1）（3）（5）（2）（4）（6）2247lim3nnn2123.limnnn 1limnnn1111lim.1 22 33 4(1)nnnlim1nnn 21111lim 1.333nn52第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算解2247=lim31nnn() 将分子、分母同时除以 ， 则有
31、2n2247lim3nnn07=1 07 （1）2247lim3nnn题53第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算（2）利用等差数列求和公式， 可得2123.limnnn 2(1)2limnn nn2(1)1lim22nn nn解（2）2123.limnnn 题54第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算解（3）1= lim 1nn1limnnn（3）1limnnn题利用数列的交换法则， 可得1 0155第一章 函数、连续与极限（4）二、数列极限的计算题1111111lim1.223341nnn11 11 111lim 1.22 33 41nnn 1111lim.1 22 33 4(1)
32、nnn（4）1111lim.1 22 33 4(1)nnn解1lim 11nn56第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算解（5）lim1nnn 11lim1nnnnnnn （5）lim1nnn 题先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则， 可得1lim01nnn 57第一章 函数、连续与极限二、数列极限的计算题11 13lim113nn21111lim 1.333nn（6）21111lim 1.333nn（6）解利用等比数列求和公式， 可得313lim 1232nn58第一章 函数、连续与极限内容导航第一章第一节 集合与函数第二节 数列的极限定义与计算第四节 极限的证明与性质第五节 两个重
33、要极限第六节 无穷小的概念与比较第七节 函数的连续性及其性质第三节 函数的极限定义与计算59课 前 导 读59 这一节介绍函数极限的定义. 在前一节， 我们探讨了数列的极限. 数列的通项可以看成一类特殊的函数 ，( )nxf n 本节将介绍自变量趋于无穷大（ ）和自变量趋于固定值 （ ）时的两种函数的极限.x 0 xx 那么数列极限就变成了 ，这里 .limlim ( )nnnxf naZnxRlim( )xf xa 如果我们把函数的定义域扩充到 ， 那么就变成了函数的极限 .60第一章 函数、连续与极限一、自变量趋于无穷大时的极限自变量趋于无穷大，包括三种情况: 且 无限增大， 则记作 ；
34、且 无限增大，则记作 ；如果 既可以取正值， 又可以取负值且 无限增大， 则记作 . 我们先观察函数 ，和 的图像.0 x xx 0 x xx xxx 1yxarctanyx对于函数 的图像(见图1-37)，1yxy1O1x(1,1)y1xyxO1arctanyx 无限增大时， 曲线无限接近于 x 轴，即 . xarctanyx对于 函数的图像(见图1-38)，arctanyx当 且 无限增大时， 曲线无限接近于a rc ta nyxx直线 ， 而当 且 无限增大时， 曲线无限接近于直线 .arctanyx0 x xarctanyx图1-37图1-3861第一章 函数、连续与极限一、自变量趋于
35、无穷大时的极限 一般地， 我们假设函数 在 ( 为某一正数)时有定义， f xxXX ，或 . limxf xA ()f xA x 定义x f xA 如果在 过程中，对应的函数值 无限接近确定的常数 ，A f xx 则称 为函数 当 时的极限. 精确地说，就有如下定义. f xx设函数 当 大于某一正数时有定义，A如果存在常数 ，对于任意给定的正数 (不论它多么小)，Xx总存在正数 ， 使得当 满足不等式xX时， f x fxA对应的函数值 都满足不等式 ，A f x则 就叫作函数x 当 时的极限， 记作62第一章 函数、连续与极限一、自变量趋于无穷大时的极限定义 也可简述为以下形式.若 ，
36、， 当 时， 恒有 ，则 .0 0XxX fxA limxf xA如果 ， ， 当 时， 恒有 ， 则 .0 0XxX fxA limxf xA同样，我们也可以定义当 时的函数 的极限.x f x若 且 ，0 x x 当 且 时，我们就得到 时的函数 的极限定义. limxf xA limxf xAx f xx 即 时， f xA有 ， limxf xA或记为 ，0 0XxX fxA limxf xA如果 ， ， 当 时，恒有 ，则 .即63第一章 函数、连续与极限一、自变量趋于无穷大时的极限下面看一下极限 的几何解释. limxf xA对任意给定的 ， 作直线 及 ，0yAyA总存在 ，0X
37、 当 时， 的图形必位于这两直线之间（见图1-39）.xX yf x-XoXxyA yf x函数极限的几何解释(趋于无穷大)图1-3964第一章 函数、连续与极限一、自变量趋于无穷大时的极限显然可以得到下面的结论.定理 且 . limlimxxf xAf xA limxf xA注一般地， 如果 或 ， limxf xA limxf xA同理， 不存在， 因为 .limarctanxxlim arctan2xx2y 很容易看出， .111limlimlim0 xxxxxx直线 称为函数 图形的水平渐近线.0y 1yx2y arctanyx直线 和 称为函数 图形的水平渐近线. 那么称直线 为函数
38、 图形的水平渐近线.yA yf x65第一章 函数、连续与极限一、自变量趋于无穷大时的极限例 证明 .sinlim0 xxx证明对 ，要使 ， sin0 xf xAx0 f xA只需 ，1x即 ，1xsinlim0 xxx即|sin|1xxx sin0 xfxAx恒有 ，1X取 ，xX则当 时，66第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限我们先看两个实例， 再给出当 ( 为有限值)时函数极限的定义.0 xx0 x( )1f xx( )1f xx ( )1f xx ( )1f xx ( )1f xx( )1f xx x11O-12x1O-112图1-40图1-4167第一章 函数、连
39、续与极限二、自变量趋于有限值时的极限0 xx f xAA f x所谓“ 无限接近于确定的数值”， f x fxA实质上等价要求 能任意小， fxA这“任意小”又可用 (其中 为任给的正数)来刻画. 而0 xx意小”是在 的过程中实现的，又由于这“任x0 x也就是仅要求 充分接近 时， 使 fxA就行了.0 xx68第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限综上所述， 得到 时函数极限的定义.0 xx定义2或 . 0limxxf xA 0()f xA xx定义2 也可简述为 ， ，当 时，恒有 ，那么 .0 000 xx fxA 0limxxfxA记作 f x0 x设函数 在点 的某一
40、去心邻域内有定义，A如果存在常数 ，于任意给定的正数 (不论它多么小)，对总存在正数 ，x使得当 满足不等式00 xx时， f x fxA对应的函数值 都满足不等式 ，A则称 为函数 f x0 xx在 时函数的极限，注 这里 与 、 有关.0 x69第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限的几何解释如下. 0limxxf xA任意给定一正数 ， 作平行于 轴的两直线: 及 . 存在 ，当 时，曲线 位于两条直线 及 之间(见图1-42).xyAyA0000,xxxxx f xyAyAxOA函数极限的几何解释(趋于定点)图1-4270第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极
41、限例证明 .00limxxxx证明 ,要使0 fxA只要取 ，0 xx， 这个例子告诉我们， 当 时的极限值这一点的函数值 .比如当 时 的极限值就是2.00limxxxxyx0 xx0 x2x yx因此 .00 xx fxA则当 时，有 ，71第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限例 3证明当 时， .1a 0lim1xxa证明 ，不妨设 ，要使 ，即 ，只要 0 11xa11xa 1loglog11aax 取 ，则当 时，恒有 1min log,log11aa0 x1xa0limxxxa0lim1xxa即72第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限例 4证明 .0
42、00lim0 xxxxx证明 ，要使0 0f xAxx即 ， 00 xxx又要求 ，即 ，0 x 00 xxx注 同样的方法可以证明 .（这个结论可以推广到更一般的 次根式）0330limxxxx00 xxxx001xxx00min,xx取 ，00 xx 0f xAxx则当 时，恒有.73第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限上述 中的“ ”是指 可以取 左侧的点( )而趋于 ， 也可以取 右侧的点( )而趋于 . 有时我们只需考虑 从 的一侧(左侧或右侧)趋于 ， 这时就需要将上述情况分别讨论. 0limxxf xA0 xxx0 x0 xx0 x0 x0 xx0 xx0 x0
43、x如果 仅从 的左侧趋于 (记作 )时， 趋于 ， 则称 为 在 时的左极限，记作 .x0 x0 x f xAA f x0 xx0 xx 0000limlimxxxxx xfxfxfxA如果 仅从 的右侧趋于 (记作 )时， 趋于 ， 则称 为 在 时的右极限，记作 .x0 x0 x0 xx f xAA f x0 xx 0000limlimxxxxx xfxfxfxA显然有 .因此如果 、 中有一个不存在， 或两个虽存在但不相等， 则 不存在. 000limxxfxAfxfxA0fx0fx 0limxxf x74第一章 函数、连续与极限二、自变量趋于有限值时的极限例如， 函数 1,00,01,
44、0 xxf xxxx由于 ，000lim( )lim11xxff xxyy=x-1y=x+1-1-111xO则 不存在（见图1-43所示）； 0limxf x图1-43000lim( )lim11xxff xx ，00limlim1xxxxxx，0limxxx再比如， 不存在，因为00limlim1xxxxxx .75第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法极限的定义只能用来验证函数的已知极限， 那么如何计算(求)函数的极限呢？要讨论极限的求法， 首先要建立相关的一些运算规则，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等. 76第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法定理 (函
45、数极限的四则运算法则) 设 ， ，则 0limxxf xA 0limxxg xB定理 的证明见第一章第四节.（1） 000limlimlimxxxxxxfxg xABfxg x 000limlimlimxxxxxxfxg xA Bfxg x 000limlim(0)limxxxxxxf xf xABg xBg x（2）（3）77第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法推论若 ， 存在， 则 0limxxf x 0limxxg x上述极限中将“ ”改为“ ”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）0 xxx （1）（2）（3）； 000limlimlimxxxxxxfxg xfxg x 00l
46、imlim()nnxxxxf xf xnZ若 ，则 . 0fx 00limlimxxxxf xf x；78第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法按照四则运算法则，我们很容易计算下列极限.（1）1lim 21xx3221lim53xxxx3232342lim753xxxxx（3）（2）2 13 112limlim1xxx8 174 1033 3222222limlim1lim5lim3lim1xxxxxxxx3733423lim537xxxxx79第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法注 （1）设 ，则 12012nnnnnP xa xa xa xa 0012012limlimn
47、nnnnxxxxPxa xa xa xa000012012limlimlimlim1nnnnxxxxxxxxaxaxaxa120010200nnnnna xa xa xaP x80第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法（2）设 ，其中 、 为多项式，则 nmPxf xQx nP x mQx 000limlimlimnxxxxmxxP xf xQx000nmP xf xQx81第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法例 5求 .321lim221xxxx解 因为 ，即分母的极限为零， 所以不能直接应用极限运算法则. 221lim23=1 +2 1 3=0 xxx 2211lim23
48、xxxx1(1)(1)lim(3)(1)xxxxx11lim3xxx1.2 我们先利用多项式的因式分解， 约去公因式后， 再利用函数极限的四则运算法则进行运算.82第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法例计算 解 因分母的极限为零， 要先对函数做必要的变形， 因分子中含有根式， 通常用根式有理化， 然后约去分子、分母中的公因子.321(1)(1)lim.(1)xxxx321(1)(1)lim(1)xxxx33213(1)(1)lim(1) (1)(1)xxxxxxx32131lim(1)(1)xxxx1.683第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法 00limlimxxuufg
49、 xf uA定理(复合函数的极限运算法则) 设函数 是由函数 与 复合而成的， 在点 的去心邻域内有定义， yfg x ug x yf u fg x0 x 若 ， ，且存在 ，当 时，有 ， 则 00limxxg xu 0limuuf uA0000,oxU x 0g xu84第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法例 7求极限 .0limln1xx解1ux记 ，0lim10 1 1xx 由于 ，故0limln1xx1limlnuu.ln1085第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法例 8求极限 .20lim42xx由于 ，故 20lim4044xx204lim42lim2xuxu
50、解24ux记 ，42486第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法例 9求极限 .211lim2(1)xxx解一 212(1)xux12x , 1解二211lim2(1)xxx211lim2(1)xxx11lim2xx11.1limuu1.故原式21,2(1)xux令1x 则当 时，87第一章 函数、连续与极限三、函数极限的计算方法例 10 () 求极限 ； （2）求极限 . 220lim42xxx2lim42xxx解 （1）当 时， 分母 的极限为零， 故不能直接应用商的极限运算法则.但若采取将分母有理化，即将分子与分母同时乘 ， 则得0 x 242x 242x 220lim42xxx
