1、2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编专题二十 导数及其应用1. 【2022和平二模】设为实数，且，已知函数.（1）当时，曲线的切线方程为，求的值；（2）求函数的单调区间：（3）若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围.2. 【2022南开二模】已知函数（，是自然对数的底数，）（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值3. 【2022河西二模】已知函数，（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数（3）设，比较与的大小，并说明理由4. 【2022河北二模】已知函数，.（1）若，求的
2、最大值；（2）若函数，讨论的单调性；（3）若函数有两个极值点，（），求证：.5. 【2022河东二模】已知函数（且）（1），求函数在处的切线方程（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个零点，且，证明：6. 【2020红桥二模】已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：7. 【2022滨海新区二模】已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个零点.（i）求实数a的取值范围；（ii）是的极值点，求证：.8. 【2022部分区二模】设函数为的导函数.（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）若有两个极值点且，证明：
3、.9. 【2022耀华中学二模】已知为的导函数.（1）求在的切线方程；（2）讨论在定义域内的极值；（3）若在内单调递减，求实数的取值范围.10. 【2022天津一中五月考】已知函数（自然对数底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，（）证明：存在唯一的极值点；（）证明：.2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编专题二十 导数及其应用（答案及解析）1. 【2022和平二模】设为实数，且，已知函数.（1）当时，曲线的切线方程为，求的值；（2）求函数的单调区间：（3）若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）.【分析】（1）根据导数的几何
4、意义求出斜率，点斜式写出切线方程，与已知切线方程对照即可求解；（2）求出函数导数，分和讨论，即可得出函数的单调性区间；（3）由（2）知函数有两个零点可转化为极小值，化简换元后可得对任意都成立，即可得出.【小问1详解】设切点坐标，切线方程为，即又曲线的切线方程为，.【小问2详解】，令，即，又，所以不等式化为，当时，不等式恒成立，在R上单调递增，单调递增区间为，无单调递减区间.当时，解集为，时，单调递增；时，单调递减.综上，时，的单调递增区间为， 时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.【小问3详解】函数有两个不同的零点，即，即，设，令当时，在单调递减；当时，在上单调递增.又当时，且，当且仅当时，
5、即对任意成立，.【点睛】关键点点睛：函数有两个不同零点问题，可在已知函数单调性的基础上转化为极小值为负即可，据此得出不等式，令换元后构造函数是解题的关键，利用导数分析函数的单调性、极值、零点，得出满足不等式的条件为即可求解.2. 【2022南开二模】已知函数（，是自然对数的底数，）（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值【答案】（1）， ； （2） （3）【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到，与的关系表，从而得到函数的极值点，计算可得；（2）令，求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；（3）求
6、出的导函数，依题意在上有两个不等实根，令，则在上有两个不等实根、，求出函数的导函数，结合零点存在性定理得到且，即可得到，再由导数说明函数的单调性，即可求出的最大值；【小问1详解】解：当时，令，解得，所以，与的关系如下：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当时，函数取得极大值，即，当时，函数取得极小值，即；【小问2详解】解：因为，所以令，则依题意在上恒成立，令，则，解得【小问3详解】解：因为，即，则，因为在上有两个极值点，即在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根、，因为，所以当时，单调递减，当时，单调递增，则，所以，解得，所以，所以在和上各有一个实根，所以函数在上有两个极值点时，并且，因为
7、，所以，令，则，当时，单调递减，因为，所以，即则因为且，所以满足题意的整数的最大值为；【点睛】导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理3. 【2022河西二模】已知函数，（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数（3）设，比较与的大小，并说明理由【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析 （3）；理由见解析【分析】（1）由题意可知，直线是函数在处的切线方程，由此我们可以根据函数值相等和直线的斜率等于在该点取得得到函
8、数值列出方程组，求解即可；（2）题中讨论的零点个数，我们可以进行参变分离，转化成两个函数图像的交点个数，通过求解函数的值域，即可进行判断求解；（3）题中要比较两个式子，我们可以将式子进行通分、化简合并，转化成部分有相同变量形式的式子，然后对该部分狮子构造函数判断其正负，即可完成大小的判断.【小问1详解】（1）设直线与相切与点，则有 解得，【小问2详解】当， 时，曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数由， 令，则当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增故（2）是的极小值同时也为最小值所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：当时，有0个公共点； 当，有1个公共点；当有2个公共点【小问3详解】设令，
9、则的导函数，所以在上单调递增，且因此，故在上单调递增，而，所以在上，因为当时，且，故，所以当时，.【点睛】在求解函数的交点个数时，我们可以利用参编分离将函数分成两部分，例如本题，我们转化成与两个函数图像的交点问题，这样，我们将零点问题，转化成无参数的函数求解值域的问题，这样的话，难度马上就下来了.4. 【2022河北二模】已知函数，.（1）若，求的最大值；（2）若函数，讨论的单调性；（3）若函数有两个极值点，（），求证：.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）代入的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求出函数的最大值即可；（2）首先对函数进行求导，通过
10、讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根，进而可得判别式、根与系数的关系，所以可以得两极值点，的关系，及极值点的取值范围；然后写出关于极值点的表达式，构造函数，根据函数的单调性证明结论成立即可.【详解】（1）当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以的最大值为；（2）由已知得，.当时，由得所以当时，单调递增，当时，单调递；当时，所以当时，单调递增；当时，由，得或，所以当与时，单调递增，当时，单调递减；当时，由，得或，因而当与时，单调递增，当时，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在与上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递
11、增；当时，在与上单调递增，在上单调递减.（3）证明：，则定义域为，若有两个极值点，（），则方程的判别式，且，又，即，设，其中，由得，由于，即，在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为，从而成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用.5. 【2022河东二模】已知函数（且）（1），求函数在处的切线方
12、程（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个零点，且，证明：【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析.【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；（2）求出导函数，对a分类讨论： a0分别讨论单调性；（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)g(e)=0即为f(2e- x2)0.【小问1详解】当时，所以.，所以.所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】的定义域为(0，+)， .当a0时， .在上，所以单调递减；在上，所以单调递增.【小问3详解】当，.由(2)
13、知， 上单调递减，在上单调递增.由题意可得：.由及得：.欲证x1+x22e，只要x12e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)0即可.由得 .所以令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，g(t)g(e)=0即f(2e- x2)0.综上x1+x22e.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中
14、的优化问题(4)利用导数判断单调性，证明不等式6. 【2020红桥二模】已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：【答案】（）由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）实数的取值范围是（）【详解】解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得 当时，此时在上单调递增故，符合题意 当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（），由此得，故7. 【2022滨海新区二模】已知函数，（1）求
15、曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个零点.（i）求实数a的取值范围；（ii）是的极值点，求证：.【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义即可求出答案.（2）（i）分类讨论，求出的单调性，结合零点存在性定理，即可求出a的取值范围；（ii）设，令，由转化为，由（i）可知，是的极值点，故，即，即，由，只需证，令，证.【小问1详解】的定义域是，可得，又故曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】（i）由（1）可知时，在单调递增，此时至多有一个零点；时，令，解得，令，解得，故在递减，在递增，要使有两个零点，需，解得，即，而，当时，令，则，故，由零点
16、存在性定理可知，在与上分别存在唯一零点综上.（ii）因为，令，由，即，由（i）可知，是的极值点故，即，由，只需证，令，则，令，则，故在上单调递增，故在上单调递增，；.8. 【2022部分区二模】设函数为的导函数.（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）若有两个极值点且，证明：.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 （3）证明见解析【分析】（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）得，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；（3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得
17、证；【小问1详解】解：因为， 所以 即，则 当时，单调递增；当时，单调递减所以的单调递增区间为，的单调递减区间为【小问2详解】解：由（1）得， 当时，则在上无零点 当时，则在上有一个零点 当时，因为，所以，故在上有两个零点 综上，当时，在上无零点；当时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点【小问3详解】证明：由（2）及有两个极值点，且，可得， 在上有两个零点，且所以， 两式相减得，即 因为，所以 下面证明，即证 令，则即证 令，则，所以在上单调递增，所以，故 又，所以，故【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想
18、的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理9. 【2022耀华中学二模】已知为的导函数.（1）求在的切线方程；（2）讨论在定义域内的极值；（3）若在内单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）答案见解析 （3）【分析】（1）求出函数的导数，从而可求切线方程；（2）设，其中，求出，讨论其符号后可求导数的极值.（3）在内单调递减即为，利用导数可求后者，从而可求参数的取值范围.【小问1详解】，而，故切线方程为：即.【小问2详解】设，其中，则，当时，故在上为减函数，故无极值；当时，若，则，故在上增函数；若，则，故在上为减函数；故有极大值其极大值为，无极小值.【小
19、问3详解】因为在内单调递减，则于恒成立，故在恒成立即.令，则.令得，令得，故在单调递减，单调递增.所以，故.所以.10. 【2022天津一中五月考】已知函数（自然对数底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，（）证明：存在唯一的极值点；（）证明：.【答案】（1），单调递增，单调递减； （2）（）证明见解析；（）证明见解析【分析】（1）由导数法讨论单调性即可；（2）（）结合零点存在定理证明存在唯一零点即可；（）结合（）中证明的唯一极大值点及其范围，则，先用导数法求的最大值，再进一步用导数法证关于的函数的最大值小于0即可【小问1详解】，令，当，为减函数且，故当，单调递增；当，单调递减【小问2详解】（）当，由（1）得，为减函数，且， 为连续函数，故存在唯一零点，即存在唯一的极值点，且为极大值点，得证；（）由（）得存在唯一的极值点，且为极大值点，即，要证，需证，即，令，则，故单调递减，令，则，由为减函数且，故当，故，即，得证
