专题二十 导数及其应用解答题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编.docx

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1、2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编专题二十 导数及其应用1. 【2022和平二模】设为实数,且,已知函数.(1)当时,曲线的切线方程为,求的值;(2)求函数的单调区间:(3)若对任意,函数)有两个不同的零点,求的取值范围.2. 【2022南开二模】已知函数(,是自然对数的底数,)(1)当时,求函数的极值;(2)若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围;(3)若函数有两个极值点,且,求的最大值3. 【2022河西二模】已知函数,(1)若直线与的图象相切,求实数的值;(2)设,讨论曲线与曲线公共点的个数(3)设,比较与的大小,并说明理由4. 【2022河北二模】已知函数,.(1)若,求的

2、最大值;(2)若函数,讨论的单调性;(3)若函数有两个极值点,(),求证:.5. 【2022河东二模】已知函数(且)(1),求函数在处的切线方程(2)讨论函数的单调性;(3)若函数有两个零点,且,证明:6. 【2020红桥二模】已知函数()若,试确定函数的单调区间;()若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;()设函数,求证:7. 【2022滨海新区二模】已知函数,(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若函数有两个零点.(i)求实数a的取值范围;(ii)是的极值点,求证:.8. 【2022部分区二模】设函数为的导函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数;(3)若有两个极值点且,证明:

3、.9. 【2022耀华中学二模】已知为的导函数.(1)求在的切线方程;(2)讨论在定义域内的极值;(3)若在内单调递减,求实数的取值范围.10. 【2022天津一中五月考】已知函数(自然对数底数).(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,()证明:存在唯一的极值点;()证明:.2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编专题二十 导数及其应用(答案及解析)1. 【2022和平二模】设为实数,且,已知函数.(1)当时,曲线的切线方程为,求的值;(2)求函数的单调区间:(3)若对任意,函数)有两个不同的零点,求的取值范围.【答案】(1); (2)答案见解析; (3).【分析】(1)根据导数的几何

4、意义求出斜率,点斜式写出切线方程,与已知切线方程对照即可求解;(2)求出函数导数,分和讨论,即可得出函数的单调性区间;(3)由(2)知函数有两个零点可转化为极小值,化简换元后可得对任意都成立,即可得出.【小问1详解】设切点坐标,切线方程为,即又曲线的切线方程为,.【小问2详解】,令,即,又,所以不等式化为,当时,不等式恒成立,在R上单调递增,单调递增区间为,无单调递减区间.当时,解集为,时,单调递增;时,单调递减.综上,时,的单调递增区间为, 时,的单调递增区间为,的单调递减区间为.【小问3详解】函数有两个不同的零点,即,即,设,令当时,在单调递减;当时,在上单调递增.又当时,且,当且仅当时,

5、即对任意成立,.【点睛】关键点点睛:函数有两个不同零点问题,可在已知函数单调性的基础上转化为极小值为负即可,据此得出不等式,令换元后构造函数是解题的关键,利用导数分析函数的单调性、极值、零点,得出满足不等式的条件为即可求解.2. 【2022南开二模】已知函数(,是自然对数的底数,)(1)当时,求函数的极值;(2)若函数在区间上单调递减,求实数的取值范围;(3)若函数有两个极值点,且,求的最大值【答案】(1), ; (2) (3)【分析】(1)求出函数的导函数,即可得到,与的关系表,从而得到函数的极值点,计算可得;(2)令,求出函数的导函数,依题意在上恒成立,即可得到不等式组,解得即可;(3)求

6、出的导函数,依题意在上有两个不等实根,令,则在上有两个不等实根、,求出函数的导函数,结合零点存在性定理得到且,即可得到,再由导数说明函数的单调性,即可求出的最大值;【小问1详解】解:当时,令,解得,所以,与的关系如下:单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当时,函数取得极大值,即,当时,函数取得极小值,即;【小问2详解】解:因为,所以令,则依题意在上恒成立,令,则,解得【小问3详解】解:因为,即,则,因为在上有两个极值点,即在上有两个不等实根,即在上有两个不等实根、,因为,所以当时,单调递减,当时,单调递增,则,所以,解得,所以,所以在和上各有一个实根,所以函数在上有两个极值点时,并且,因为

7、,所以,令,则,当时,单调递减,因为,所以,即则因为且,所以满足题意的整数的最大值为;【点睛】导函数中常用两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理3. 【2022河西二模】已知函数,(1)若直线与的图象相切,求实数的值;(2)设,讨论曲线与曲线公共点的个数(3)设,比较与的大小,并说明理由【答案】(1) (2)答案不唯一,具体见解析 (3);理由见解析【分析】(1)由题意可知,直线是函数在处的切线方程,由此我们可以根据函数值相等和直线的斜率等于在该点取得得到函

8、数值列出方程组,求解即可;(2)题中讨论的零点个数,我们可以进行参变分离,转化成两个函数图像的交点个数,通过求解函数的值域,即可进行判断求解;(3)题中要比较两个式子,我们可以将式子进行通分、化简合并,转化成部分有相同变量形式的式子,然后对该部分狮子构造函数判断其正负,即可完成大小的判断.【小问1详解】(1)设直线与相切与点,则有 解得,【小问2详解】当, 时,曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数由, 令,则当时,即在上单调递减,当时,即在上单调递增故(2)是的极小值同时也为最小值所以对曲线与曲线公共点的个数,讨论如下:当时,有0个公共点; 当,有1个公共点;当有2个公共点【小问3详解】设令,

9、则的导函数,所以在上单调递增,且因此,故在上单调递增,而,所以在上,因为当时,且,故,所以当时,.【点睛】在求解函数的交点个数时,我们可以利用参编分离将函数分成两部分,例如本题,我们转化成与两个函数图像的交点问题,这样,我们将零点问题,转化成无参数的函数求解值域的问题,这样的话,难度马上就下来了.4. 【2022河北二模】已知函数,.(1)若,求的最大值;(2)若函数,讨论的单调性;(3)若函数有两个极值点,(),求证:.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)代入的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,进而求出函数的最大值即可;(2)首先对函数进行求导,通过

10、讨论的范围,求出函数的单调区间即可;(3)首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根,进而可得判别式、根与系数的关系,所以可以得两极值点,的关系,及极值点的取值范围;然后写出关于极值点的表达式,构造函数,根据函数的单调性证明结论成立即可.【详解】(1)当时,当时,单调递增,当时,单调递减,所以的最大值为;(2)由已知得,.当时,由得所以当时,单调递增,当时,单调递;当时,所以当时,单调递增;当时,由,得或,所以当与时,单调递增,当时,单调递减;当时,由,得或,因而当与时,单调递增,当时,单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在与上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递

11、增;当时,在与上单调递增,在上单调递减.(3)证明:,则定义域为,若有两个极值点,(),则方程的判别式,且,又,即,设,其中,由得,由于,即,在上单调递增,在上单调递减,即的最大值为,从而成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.5. 【2022河东二模】已知函数(且)(1),求函数在处的切线方

12、程(2)讨论函数的单调性;(3)若函数有两个零点,且,证明:【答案】(1); (2)答案见解析; (3)证明见解析.【分析】(1)利用导数求出切线的斜率,利用点斜式写出切线方程;(2)求出导函数,对a分类讨论: a0分别讨论单调性;(3)本题属于极值点偏移,利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)0,由构造函数,利用导数证明出g(t)在(e,2e)上是递增的,得到g(t)g(e)=0即为f(2e- x2)0.【小问1详解】当时,所以.,所以.所以函数在处的切线方程为,即.【小问2详解】的定义域为(0,+), .当a0时, .在上,所以单调递减;在上,所以单调递增.【小问3详解】当,.由(2)

13、知, 上单调递减,在上单调递增.由题意可得:.由及得:.欲证x1+x22e,只要x12e- x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e- x2)0即可.由得 .所以令则,则g(t)在(e,2e)上是递增的,g(t)g(e)=0即f(2e- x2)0.综上x1+x22e.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数几何意义,往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中

14、的优化问题(4)利用导数判断单调性,证明不等式6. 【2020红桥二模】已知函数()若,试确定函数的单调区间;()若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;()设函数,求证:【答案】()由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是()实数的取值范围是()【详解】解:()由得,所以由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是()由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得 当时,此时在上单调递增故,符合题意 当时,当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在上,依题意,又综合,得,实数的取值范围是(),由此得,故7. 【2022滨海新区二模】已知函数,(1)求

15、曲线在点处的切线方程;(2)若函数有两个零点.(i)求实数a的取值范围;(ii)是的极值点,求证:.【答案】(1) (2)(i);(ii)证明见解析【分析】(1)对求导,求出,由导数的几何意义即可求出答案.(2)(i)分类讨论,求出的单调性,结合零点存在性定理,即可求出a的取值范围;(ii)设,令,由转化为,由(i)可知,是的极值点,故,即,即,由,只需证,令,证.【小问1详解】的定义域是,可得,又故曲线在点处的切线方程为,即.【小问2详解】(i)由(1)可知时,在单调递增,此时至多有一个零点;时,令,解得,令,解得,故在递减,在递增,要使有两个零点,需,解得,即,而,当时,令,则,故,由零点

16、存在性定理可知,在与上分别存在唯一零点综上.(ii)因为,令,由,即,由(i)可知,是的极值点故,即,由,只需证,令,则,令,则,故在上单调递增,故在上单调递增,;.8. 【2022部分区二模】设函数为的导函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数;(3)若有两个极值点且,证明:.【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为 (2)答案见解析 (3)证明见解析【分析】(1)求出的导函数,即可得到的解析式,再求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间;(2)由(1)得,再对分三种情况讨论结合零点存在性定理,分别得到函数的零点个数;(3)由(2)可得且,依题意可得,利用导数证明,即可得到,从而得

17、证;【小问1详解】解:因为, 所以 即,则 当时,单调递增;当时,单调递减所以的单调递增区间为,的单调递减区间为【小问2详解】解:由(1)得, 当时,则在上无零点 当时,则在上有一个零点 当时,因为,所以,故在上有两个零点 综上,当时,在上无零点;当时,在上有一个零点;当时,在上有两个零点【小问3详解】证明:由(2)及有两个极值点,且,可得, 在上有两个零点,且所以, 两式相减得,即 因为,所以 下面证明,即证 令,则即证 令,则,所以在上单调递增,所以,故 又,所以,故【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想

18、的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理9. 【2022耀华中学二模】已知为的导函数.(1)求在的切线方程;(2)讨论在定义域内的极值;(3)若在内单调递减,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)答案见解析 (3)【分析】(1)求出函数的导数,从而可求切线方程;(2)设,其中,求出,讨论其符号后可求导数的极值.(3)在内单调递减即为,利用导数可求后者,从而可求参数的取值范围.【小问1详解】,而,故切线方程为:即.【小问2详解】设,其中,则,当时,故在上为减函数,故无极值;当时,若,则,故在上增函数;若,则,故在上为减函数;故有极大值其极大值为,无极小值.【小

19、问3详解】因为在内单调递减,则于恒成立,故在恒成立即.令,则.令得,令得,故在单调递减,单调递增.所以,故.所以.10. 【2022天津一中五月考】已知函数(自然对数底数).(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,()证明:存在唯一的极值点;()证明:.【答案】(1),单调递增,单调递减; (2)()证明见解析;()证明见解析【分析】(1)由导数法讨论单调性即可;(2)()结合零点存在定理证明存在唯一零点即可;()结合()中证明的唯一极大值点及其范围,则,先用导数法求的最大值,再进一步用导数法证关于的函数的最大值小于0即可【小问1详解】,令,当,为减函数且,故当,单调递增;当,单调递减【小问2详解】()当,由(1)得,为减函数,且, 为连续函数,故存在唯一零点,即存在唯一的极值点,且为极大值点,得证;()由()得存在唯一的极值点,且为极大值点,即,要证,需证,即,令,则,故单调递减,令,则,由为减函数且,故当,故,即,得证

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