1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 3 3 三角函数的图象与性质 知识梳理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y sinx， x 0,2 的图象上，五个关键点是： (0,0)， ? ? 2 ， 1 ， ( ， 0)，?32 ， 1 ， (2 ， 0) 余弦函数 y cosx， x 0,2 的图象上，五个关键点是： (0,1)， ? ? 2 ， 0 ， ( ，1)， ? ?32 ， 0 ， (2 ， 1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)y tanx 在整个定义域上是增函数 ( ) (2)函数 f(x) sin
2、( 2x)与 f(x) sin2x 的单调增区间都是 ? ?k 4 ， k 4 (kZ) ( ) (3)由 sin? ? 6 23 sin 6 知， 23 是正弦函数 y sinx(x R)的一个周期 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)若非零实数 T是函数 f(x)的周期，则 kT(k是非零整数 )也是函数 f(x)的周期 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A4P46T2)函数 f(x) (1 3tanx)cosx 的最小正周期、 最大值为 ( ) A 2 ， 2 B.32 ， 3 C ， 2 D. 2 ， 3 答案 A 解析 f(x) (1
3、 3tanx)cosx cosx 3sinxcosx cos x 2cos? ?x 3 ，则 T 2. 最大值为 2.故选 A. (2)(必修 A4P40T4)已知函数 f(x) sin? ?2x 2 (x R)，下列结论错误的是 ( ) A函数 f(x)是偶函数 B函数 f(x)的最小正周期为 C函数 f(x)在区间 ? ?0， 2 上是增函数 D函数 f(x)的图象关于直线 x 4 对称 答案 D 解析 f(x) sin? ?2x 2 cos2x，此函数为最小正周期为 的偶函数，所以 A， B正确由函数 y cosx 的单调性知 C 正确函数图象的对称轴方程为 x k2 (k Z)，显然，
4、无论 k 取任何整数， x 4 ，所以 D 错误故选 D. 3小题热身 (1)函数 f(x) sin? ?2x 4 在区间 ? ?0， 2 上的最小值为 ( ) A 1 B 22 C. 22 D 0 答案 B 解析 由已知 x ? ?0， 2 ，得 2x 4 ? ? 4 ， 34 ，所以 sin? ?2x 4 ? ? 22 ， 1 ，故函数 f(x) sin? ?2x 4 在区间 ? ?0， 2 上的最小值为 22 .故选 B. (2)函数 y tan? ?x2 3 的单调递增区间是 _，最小正周期是 _ 答案 ? ?2k 53 ， 2k 3 (k Z) 2 =【 ;精品教育资源文库 】 =
5、解析 由 k 2 0， 由 得 8 x8 ，由 得 sinx12，由正弦曲线得 6 2k1，即 a2，则当 cosx 1 时， ymax a 58a 32 1?a 20130(舍去 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 综合上述，存在 a 32符合题设 方法技巧 1三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组 )，常借助三角函数线或三角函数图象来求解见典例 1. 2三角函数值域的不同求法 (1)形如 y asinx bcosx k 的三角函数化为 y Asin(x ) k 的形式，再求值域(最值 ) (2)形如 y asin2x bsinx k 的三角函数，可先设
6、sinx t，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 )见典例 2. (3)形如 y asinxcosx b(sinxcos x) c 的三角函数，可先设 t sinxcos x，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 ) 冲关针对训练 1 (2017 郑州模拟 )已知函数 f(x) sin? ?x 6 ，其中 x ? ? 3 ， a ，若 f(x)的值域是 ? ? 12， 1 ，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 3 ， 解析 由 x ? ? 3 ， a ，知 x 6 ? ? 6 ， a 6 . x 6 ? ? 6 ， 2 时， f(x)的值域为 ? ? 12， 1 ， 由函数的图象
7、知 2 a 6 76 ，所以 3 a. 2已知 3sin2 2sin2 2sin ，求 y sin2 sin2 的取值范围 解 3sin2 2sin2 2sin ， sin2 32sin2 sin ， 0sin 2 1 ， ? 32sin2 sin 0 ， 32sin2 sin 1 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 0sin 23， y sin2 sin2 12sin2 sin 12(sin 1)2 12， 0sin 23， sin 0 时， ymin 0； sin 23时， ymax 49， 0sin 2 sin2 49. 题型 2 三角函数的单调性 典例 1 (2017 长沙一模
8、)函数 y sin?3 12x ， x 2 ， 2 的单调递增区间是( ) A.? ? 3 ， 53 B.? ? 2 ， 3 C.? ?53 ， 2 D.? ? 2 ， 3 和 ? ?53 ， 2 本题用子集法 答案 D 解析 依题意得 y sin? ?12x 3 ，当 2k 2 12x 3 2 k 32 (k Z)，即 4k 53 x4 k 113 (k Z)时，函数 y sin? ?12x 3 是单调递增函数又 x 2 ，2 ，因此函数 y sin? ?12x 3 ， x 2 ， 2 的单调递增区间是 ? ? 2 ， 3 和?53 ， 2 .选 D. 典例 2 已知 0，函数 f(x) s
9、in?x 4 在 ?2 ， 上单调递减，则实数 的取值范围是 ( ) A.? ?12， 54 B.? ?12， 34 C.? ?0， 12 D (0,2 子集反推法 答案 A 解析 由 20， 2 0， 20， 0,00， | | 2 的最小正周期为 4 ，且对 ? x R，有 f(x) f? ? 3 恒成立，则f(x)图象的一个对称中心 是 ( ) A.? ? 23 ， 0 B.? ? 3 ， 0 C.? ?23 ， 0 D.? ?53 ， 0 应用公式法 答案 A 解析 由 f(x) sin(x )的最小正周期为 4 ，得 12.因为 f(x) f? ? 3 恒成立，所以 f(x)max
10、f? ? 3 ，即 12 3 2 2k( k Z)由 | | 2 ，得 3 ，故 f(x)sin? ?12x 3 . 令 12x 3 k( k Z)，得 x 2k 23 (k Z)， 故 f(x)图象的对称中心为 ? ?2k 23 ， 0 (k Z)当 k 0 时， f(x)图象的对称中心为? 23 ， 0 .故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法技巧 1若 f(x) Asin(x )为偶函数，则 k 2(k Z)，同时当 x 0 时， f(x)取得最大或最小值若 f(x) Asin(x )为奇函数，则 k( k Z)，同时当 x 0时， f(x) 0.见典例 1. 2解决对称性问
11、题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心对于函数 yAsin(x )，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 x x0 或点 (x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断见典例 2. 冲关针对训练 1 (2017 揭阳模拟 )当 x 4 时，函数 f(x) sin(x )取得最小值，则函数 yf? ?34 x ( ) A是奇函数且图象关于点 ? ? 2 ， 0 对称 B是偶函数且图象关于点 ( ， 0)对称 C是奇函数且图象关于直线 x 2 对称 D是偶函数且图象关于直线 x 对称 答案 C 解析 当 x 4 时，函数 f(x)取得最小值， sin? ? 4 1， 2k 34 (k Z)， f(x) sin? ?x 2k 34 sin? ?x 34 ， y f? ?34 x sin( x) sinx， y f? ?34 x 是奇函数，且图象关于直线 x 2 对称故选 C. 2 (2018 南阳期末 )已知函数 f(x) 1 cos2x，试讨论该函数的奇偶性、周期性以及在区间 0， 上的单调性 解 因为 y 1 cos2x sin2x |sinx| ? sinx， 2k x2 k ， k Z， sinx， 2k x2 k 2 ， k Z， 所以作函数的 图象如下：
