1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5 3 等比数列及其前 n 项和 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 邢台摸底 )已知数列 an为等比数列， a5 1， a9 81，则 a7 ( ) A 9 或 9 B 9 C 27 或 27 D 27 答案 B 解析 依题意得 a27 a5 a9 81，又注意到 a7a5 q20(其中 q 为公比 )，因此 a5， a7的符号相同，故 a7 9.故选 B. 2 (2018 安徽安庆模拟 )数列 an满足： an 1 a n 1(n N*， R 且 0) ， 若数列 an 1是等比数列，则 的值等于 ( ) A 1 B 1 C.12 D 2 答
2、案 D 解析 由 an 1 a n 1，得 an 1 1 a n 2 ? ?an2 .由于数列 an 1是等比数列，所以 2 1，得 2.故选 D. 3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ” 其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了 ( ) A 192 里 B 96 里 C 48 里 D 24 里 答案 B 解析 设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q 12，依题意有a1? ?1 1261
3、12 378，解得 a1 192，则 a2 192 12 96，即第二天走了 96 里故 选 B. 4 (2018 浙江温州十校联考 )设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 5， Sm 11，Sm 1 21，则 m ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 由已知得， Sm Sm 1 am 16， Sm 1 Sm am 1 32，故公比 q am 1am 2.又 Sm a1 amq1 q 11，故 a1 1.又 am a1 qm 1 16，故 ( 1)( 2)m 1 16，求得 m 5.故选 C. 5 (2017 福建漳州八校联
4、考 )等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 2， S6 18，则 S10S5等于 ( ) A 3 B 5 C 31 D 33 答案 D 解析 设等比数列 an的公比为 q，则由已知得 q1. S3 2， S6 18， 1 q31 q6218，得 q3 8， q 2. S10S5 1 q101 q5 1 q5 33.故选 D. 6 (2017 安徽六校素质测试 )在各项均为正数的等比数列 an中 ， a2， a4 2， a5成等差数列， a1 2， Sn是数列 an的前 n 项的和，则 S10 S4 ( ) A 1008 B 2016 C 2032 D 4032 答案 B 解析 由题意
5、知 2(a4 2) a2 a5，即 2(2q3 2) 2q 2q4 q(2q3 2)，得 q 2，所以an 2n， S10 2101 2 211 2 2046， S4 241 2 25 2 30，所以 S10 S4 2016.故选 B. 7 (2018 上海黄浦模拟 )已知 an是首项为 1 的等比数列，若 Sn是数列 an的前 n 项和，且 28S3 S6，则数列 ? ?1an的前 4 项和为 ( ) A.158 或 4 B.4027或 4 C.4027 D.158 答案 C 解析 设数列 an的公比为 q. 当 q 1 时，由 a1 1，得 28S3 283 84， S6 6，两者不相等，
6、因此不合题意 当 q1 时，由 28S3 S6及首项为 1， 得 q31 q 1 q61 q，解得 q 3. 所以数列 an的通项公式为 an 3n 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以数列 ? ?1an的前 4 项和为 1 13 19 127 4027. 8 (2018 衡水模拟 )已知 Sn 是等比数列 an的前 n 项和， a1 120， 9S3 S6，设 Tna1a2a3? an，则使 Tn取最小值时 n 的值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 设等比数列 an的公比为 q，由 9S3 S6知， q1 ，故 q31 q 1 q61 q，解得 q 2，又
7、a1 120， 所以 an a1qn 1 2n 120 . 因为 Tn a1a2a3? an， 故当 Tn取最小值时 an1 ，且 an 11 ， 即? 2n 120 1 ，2n201 ，得 n 5.故选 C. 9 (2018 河南洛阳模拟 )若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p0， q0)的两个不同的零点，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q的值等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 答案 D 解析 a， b 是函数 f(x) x2 px 十 q(p0， q0)的两个不同的零点， a b p， ab q. p0， q0，
8、 a0， b0. 又 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成 等比数列， ? 2b a 2，ab 4 或 ? 2a b 2，ab 4， 解 得? a 4，b 1， 解 得 ? a 1，b 4. p a b 5， q 14 4. p q 9.故选 D. 10 (2017 广东清远一中一模 )已知正项等比数列 an满足： a3 a2 2a1，若存在两项am， an，使得 aman 4a1，则 1m 4n的最小值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.32 B.53 C.256 D不存在 答案 A 解析 正项等比数列 an满足： a3 a2 2a1， a1q2 a
9、1q 2a1， 即 q2 q 2，解得 q 1(舍 )或 q 2， 存在两项 am， an，使得 aman 4a1， aman 16a21， (a12 m 1)( a12 n 1) 16a21， a212 m n 2 16a21， m n 6， 1m 4n ? ?1m 4n ? ?16 m n 16? ?5 nm 4mn 16? ?5 2 nm 4mn 32(当且仅当 n 2m 时取等 )， 1m 4n的最小值是 32.故选 A. 二、填空题 11 (2014 天津高考 )设 an是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， Sn为其前 n 项和若S1， S2， S4成等比数列，则 a1的 值为
10、_ 答案 12 解析 S1 a1， S2 2a1 1， S4 4a1 6.故 (2a1 1)2 a1(4a1 6)，解得 a1 12. 12 (2014 广东高考 )若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a12 2e5，则 ln a1 ln a2 ? ln a20 _. 答案 50 解析 因为等比数列 an中， a10 a11 a9 a12，所以由 a10a11 a9a12 2e5，可解得 a10 a11 e5. 所以 ln a1 ln a2 ? ln a20 ln (a1 a2? a20) ln (a10 a11)10 10ln (a10 a11) 10ln e5 50. 1
11、3 (2017 广东潮州二模 )已知 Sn为数列 an的前 n 项和 ， an 23 n 1(n N*)， 若 bnan 1SnSn 1， 则 b1 b2 ? bn _. 答案 12 13n 1 1 解析 由 an 23 n 1可知数列 an是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 Sn 3n1 3 3n 1， 则 bn an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1，则 b1 b2 ? bn ? ?1S1 1S2 ? ?1S2 1S3 ? ? ?1Sn 1Sn 1 1S1 1Sn 1 12 13n 1 1. 14一正数等比数列前
12、 11 项的几何平均数为 32，从这 11 项中抽去一项后所余下的 10项的几何平均数为 32，那么抽去的这一项是第 _项 答案 6 解析 由于数列的前 11 项的几何平均数为 32，所以该数列的前 11 项之积为 3211 255. 当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 3210 250， 抽去的一项为 2552 50 25. 又因 a1 a11 a2 a10 a3 a9 a4 a8 a5 a7 a26， a1 a2? a11 a116 .故有 a116 255， 即 a6 25. 抽出的应是第 6 项 三、解答题 15 (2017 海淀区模拟 )已知 an是等差数列，满足 a1 2， a4
13、 14，数列 bn满足 b1 1，b4 6，且 an bn是等比数列 (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)若 ? n N*，都有 bn bk成立，求正整数 k 的值 解 (1)设 an的 公差为 d，则 d a4 a13 4， an 2 (n 1)4 4n 2， 故 an的通项公式为 an 4n 2(n N*) 设 cn an bn，则 cn为等比数列 c1 a1 b1 2 1 1， c4 a4 b4 14 6 8， 设 cn的公比为 q，则 q3 c4c1 8，故 q 2. 则 cn 2n 1，即 an bn 2n 1. bn 4n 2 2n 1(n N*) 故 bn的通项公式为
14、bn 4n 2 2n 1(n N*) (2)由题意， bk应为数列 bn的最大项 由 bn 1 bn 4(n 1) 2 2n 4n 2 2n 1 4 2n 1(n N*) 当 n 3 时， bn 1 bn 0， bn bn 1，即 b1 b2 b3； 当 n 3 时， bn 1 bn 0，即 b3 b4； 当 n 3 时， bn 1 bn 0， bn bn 1，即 b4 b5 b6 ?. 综上所述，数列 bn中的最大项为 b3和 b4. 故存在 k 3 或 4，使 ? n N*，都有 bn bk成立 16 (2015 广东高考 )设数列 an的前 n 项和为 Sn， n N*.已知 a1 1，
15、 a2 32， a3 54，=【 ;精品教育资源文库 】 = 且当 n2 时， 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1. (1)求 a4的值； (2)证明： ? ?an 112an 为等比数列； (3)求数列 an的通项公式 解 (1) 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1， n 2 时， 4S4 5S2 8S3 S1， 4(a1 a2 a3 a4) 5(a1 a2) 8(a1 a2 a3) a1， 4 ? ?1 32 54 a4 5 ? ?1 32 8 ( 1 32 54 ) 1，解得 a4 78. (2)证明： n2 时， 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1， 4(Sn 2 Sn 1) 2(Sn 1 Sn) 2? ?Sn 1 Sn 12 Sn Sn 1 ， (Sn 2 Sn 1) 12(Sn 1 S
