1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 4 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理 1直线与圆的位置关系 设直线 l： Ax By C 0(A2 B20) ， 圆： (x a)2 (y b)2 r2(r0)， d 为圆心 (a， b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 . 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 d r 0 相离 dr 0)， 圆 O2 (x a2)2 (y b2)2 r22(r20) 方法位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1， r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 dr1 r2 无解 外切 d r1 r2
2、一组实数解 相交 |r1 r2|0)相交于 A， B 两点，且 AOB 120( O 为坐标原点 )，则 r _. 答案 2 解析 如图，过 O 点作 OD AB 于 D 点，在 Rt DOB 中， DOB 60 ， DBO 30 ， 又 |OD| |30 40 5|5 1， r 2|OD| 2. 题型 1 直线与圆的位置关系 典例 1 (2018 凉州模拟 )若圆 (x 3)2 (y 5)2 r2 有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是 ( ) A (4,6) B (4,6 C 4,6) D 4,6 几何法：利用 d 与 r 的关系 答案 A =【 ;精品
3、教育资源文库 】 = 解析 由圆的标准方程得圆心坐标为 (3， 5)，则圆心到直线 4x 3y 2 的距离等于 |43 3 ? 5? 2|32 42 255 5，若圆 (x 3)2 (y 5)2 r2 有且只有两个点到直线 4x3y 2 的距离等于 1，则满足 |5 r|3， 所以 (a b)29，即 a b3 或 a b1， 所以直线 x y 1 0 与圆 (x a)2 (y b)2 1 相离 方法技巧 圆与圆位置关系的判断步骤及两圆公共弦长的求法 1判断圆与圆的位置关系的步骤 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1 r2， |r1 r2
4、|； (3)比较 d， r1 r2， |r1 r2|的大小，写出结论 2两圆公共 弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长 l2，半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解 冲关针对训练 已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆 C2： x2 y2 2x 2my m2 3 0，若圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m ( ) A 5 B 5 或 2 C 6 D 8 答案 B 解析 对于圆 C1与圆 C2的方程，配方得圆 C1： (x m)2 (y 2)2 9，圆 C2： (x 1)2(y m)2 4，则圆 C1的圆心 C1(m， 2)，半径 r1
5、3，圆 C2的圆心 C2( 1， m)，半径 r2 2.如果圆 C1与圆 C2相外切，那么有 |C1C2| r1 r2，即 ?m 1?2 ?m 2?2 5，则 m2 3m 10 0，解得 m 5 或 m 2，所以当 m 5 或 m 2 时，圆 C1与圆 C2相外切故选 B. 题型 3 定点、定圆问题 典例 1 (2018 常州期末 )已知圆 M 的方程为 x2 (y 2)2 1，直线 l 的方程为 x 2y 0，点 P 在直线 l 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA， PB，切点为 A， B. (1)若 APB 60 ，试求点 P 的坐标； (2)若 P 点的坐标为 (2,1)，过 P 作直
6、线与圆 M 交于 C， D 两点，当 CD 2时，求直线CD 的方程； (3)经过 A， P， M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由 (1)数形结合得到 MP 2，再用两点间距离公式=【 ;精品教育资源文库 】 = 列方程求解； (2)利用点到直线的距离公式求解； (3)用 “ 肯定顺推法 ” 求解 解 (1)设 P(2m， m)，由题可知 MP 2，所以 (2m)2 (m 2)2 4， 解之得 m 0 或 m 45， 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P? ?85， 45 . (2)设直线 CD 的方程为 y 1 k(x 2)，易知
7、k 存在， 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 22 ，所以 22 | 2k 1|1 k2 ， 解得 k 1 或 k 17，故所求直线 CD 的方程为 x y 3 0 或 x 7y 9 0. (3)设 P(2m， m)， MP 的中点 Q? ?m， m2 1 ， 因为 PA 是圆 M 的切线，所以经过 A， P， M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆， 故其方程为 (x m)2 ? ?y m2 1 2 m2 ? ?m2 1 2， 化简得 x2 y2 2y m(2x y 2) 0，此式是关于 m 的恒等式， 故 x2 y2 2y 0 且 (2x y 2) 0， 解得? x 0，
8、y 2 或 ? x 45，y 25，所以经过 A， P， M 三点的圆必过定点 (0,2)或 ? ?45， 25 . 典例 2 (2018 武昌区期末 )已知直线 l： y kx 1 与圆 C： (x 1)2 y2 1 相交于 P，Q 两点，点 M(0， b)满足 MP MQ. (1)当 b 0 时，求实数 k 的值； (2)当 b ? ? 12， 1 时，求实数 k 的取值范围； (3)设 A， B 是圆 C： (x 1)2 y2 1 上两点，且满足 |OA| OB| 1，试问：是否存在一个定圆 S，使直线 AB 恒与圆 S 相切 解 (1)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 由
9、题设条件可得 x1x2 y1y2 0，将 y kx 1 代入圆 C： (x 1)2 y2 1 得 (1 k2)x2 2(1 k)x 1 0， 故有 x1 x2 2 2k1 k2， x1x2 11 k2， 又 y1y2 (kx1 1)(kx2 1) k2x1x2 k(x1 x2) 1 k21 k22k 2k21 k2 11 2k1 k2， 1 2k1 k2 11 k2 0，得 k 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 P， Q 两点的坐标为 (x1， kx1 1)， (x2， kx2 1)， 则由圆 C： (x 1)2 y2 1 及直线 l： y kx 1， 得 (k2 1)x2 2
10、(k 1)x 1 0， 则 x1x2 1k2 1， x1 x2 2?k 1?k2 1 ， 则 MP (x1， kx1 1 b)， MQ (x2， kx2 1 b) 由 MP MQ，则 x1x2 (kx1 1 b)(kx2 1 b) 0， 即 2k2 2kk2 1 (b 1)1?b 1?， b ? ? 12， 1 ， 12b 12， 2k2 2kk2 1 (b 1)1?b 1? ?2， 52 ， 解得 k1 ， 故实数 k 的取值范围 1， ) (3) 圆 C 的方程为 (x 1)2 y2 1， 设 AB： x ky ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 |OA| OB| 1， (
11、x21 y21)(x22 y22) 1. (x1 1)2 y21 1， (x2 1)2 y22 1， 2x12 x2 1?x1x2 14. 又 ? ?x 1?2 y2 1，x ky ?(k2 1)x2 2(k2 )x 2 0， x1x2 2k2 114?| |k2 112， 又原点 O 到直线 AB 距离 d | |1 k2， d 12，即原点 O 到直线 AB 的距离恒为 d 12， 直线 AB 恒与圆 S： x2 y2 14相切 方法技巧 定点、定圆问题属于存在性问题 通常用 “ 肯定顺推法 ” 求解先肯定满足条件的元素 (点、曲线 )存在，用待定系数法设出，列出相关的方程或方程组，进而解
12、之，同时注意 “ 设而不求 ” 的解题策略 冲关针对训练 已知圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 4，点 M 在圆 C 上运动， 点 N 的坐标是 (2,0) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)若线段 MN 的中点形成的轨迹为 G，求轨迹 G 的方程； (2)点 P 在直线 x 8 上，过 P 点引轨迹 G 的两条切线 PA， PB，切点为 A， B，求证：直线 AB 恒过定点 解 (1)设线段 MN 的中点 (x， y)，则 M(2x 2,2y) 点 M 在圆 (x 2)2 y2 4 上运动， (2x 2 2)2 (2y)2 4， 即 x2 y2 1. (2)证明：连接 OA， OB
13、， PA， PB 是圆 C 的两条切线， OA AP， OB BP， A， B 在以 OP 为直径的圆上， 设点 P 的坐标为 (8， b)， b R， 则线段 OP 的中点坐标为 ? ?4， b2 ， 以 OP 为直径的圆方程化简得 x2 y2 8x by 0， b R， AB 为两圆的公共弦， 得，直线 AB 的方程为 8x by 1， b R， 即 8? ?x 18 by 0， 则直线 AB 恒过定点 ? ?18， 0 . 题型 4 直线与圆的综合问题 角度 1 直 线与圆的相切问题 典例 (2014 江西高考 )在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 A
14、B 为直径的圆 C 与直线 2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( ) A.45 B.34 C (6 2 5) D.54 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 AB 的中点为 C， C 是圆心， D 是切点， |OC| |CD| r，要使 r 最小，则需 2r |OC| |CD|最小 答案 A 解析 由题意 得以 AB 为直径的圆 C 过原点 O，圆心 C 为 AB 的中点，设 D 为切点，要使圆 C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需 OC CD 最小，其最小值为 OE(过原点 O 作直线 2x y 4 0 的垂线，垂足为 E)的长度由点到直线的距离公式，得 OE 45 . 圆 C 面积的最小值为 ? ?25 2 45 .故选 A. 角度 2 与圆有关的弦长问题 典例 (2016 全国卷 )已知直线 l： mx y 3m 3 0 与圆 x2 y2 12 交于 A， B两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若 |AB| 2 3，则 |CD| _. 由 |AB| 2 3，先求 m 的值，然后再求 |CD|. 答案 4 解析 由题意可知直线 l 过定点 ( 3， 3)，该定点在圆 x2 y2 12 上，不妨设点 A(3， 3)，由于 |AB| 2 3， r 2 3，所以圆心到直线 AB 的距离为 d ?2 3?2 ? 3?2 3，
