1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11 4 直接证明与间接证明 知识梳理 1直接证明 2间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法 (1)反证法的定义：假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立 )，经过正确=【 ;精品教育资源文库 】 = 的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 原命题成立 的证明方法 (2)用反证法证明的一般步骤： 反设 假设命题的结论不成立； 归谬 根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； 结论 断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立 诊断自测 1概念思辨 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要
2、条件 ( ) (2)证明不等式 2 7 3 6最适合的方法是分析法 ( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾 ( ) (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 2P90例 5)用反证法证明某命题时，对结论 “ 自然数 a， b， c 中恰有一个是偶 数 ” 正确的反设为 ( ) A a， b， c 中至少有两个偶数 B a， b， c 中至少有两个偶数或都是奇数 C a， b， c 都是奇数 D a， b， c 都是偶数 答案 B 解析 a， b， c 中恰有一个
3、偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有 a， b， c 均为奇数或 a， b， c 中至少有两个偶数故选 B. (2)(选修 A2 2P89T2)设 ab0， m a b， n a b，则 m， n 的大小关系是 _ 答案 m0， n0，则 m2 n2 a b 2 ab a b 2b 2 ab 2 b2 2 ab0， b0，且 a b 4，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.1ab12 B.1a 1b1 C. ab2 D. 1a2 b2 18 答案 D 解析 a2 b22 ab， 2(a2 b2)( a b)2 16. a2 b28 ， 1a2 b2 18.故选 D. (2)设 a， b 是两
4、个实数，给出下列条件： =【 ;精品教育资源文库 】 = a b2； a2 b22.其中能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 _ (填序号 ) 答案 解析 取 a 2， b 1，则 a2 b22，从而 推不出 能够推出，即若 a b2，则 a， b 中至少有一个大于 1. 用反证法证明如下： 假设 a1 ，且 b1 ，则 a b 2 与 a b2 矛盾 因此假设不成立，所以 a， b 中至少有一个大于 1. 题型 1 分析法的应用 典例 已知 a0，证明： a2 1a2 2 a 1a 2. 本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法 证明 要证 a2 1a2 2 a 1
5、a 2， 只需证 a2 1a2 ? ?a 1a (2 2) 因为 a0，所以 ? ?a 1a (2 2)0， 所以只需证 ? ? a2 1a2 2 ? ? ?a 1a ?2 2? 2， 即 2(2 2)? ?a 1a 8 4 2， 只需证 a 1a2. 因为 a0， a 1a2 显然成立 ? ?a 1a 1时等号成立 ，所以要证的不等式成立 方法技巧 1分析法证明问题的策略 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想 (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分 )的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证 2分析法的适用范围及证题关键
6、(1)适用范围 已知条件与结论之间的联系不够明显、直接 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明过程中所需要用的知识不太明确、具体 含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导 (2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的 冲关针对训练 (2018 天津期末 )已知 xy0， m0.用分析法证明： xy(2 xy)1. 证明 要用分析法证明： xy(2 xy)1 ， 只需 2 xy ( xy)21 ， 只需 ( xy)2 2 xy 10 ， 即 ( xy 1)20 ， 因为 x， y0，且 ( xy 1)20 成立， 所以 xy(2 xy)1. 题型 2 综合法的应用 典例 设 a， b，
7、c 均为正数，且 a b c 1，证明： (1)ab bc ca 13； (2)a2bb2cc2a1. 证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得 (a b c)2 1， 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca)1 ， 即 ab bc ca 13. 当且仅当 “ a b c” 时等号成立 (2)因为 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， 当且仅当 “ a2 b2 c2” 时等号成立， 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a
8、2bb2cc2a a b c. 所以 a2bb2cc2a1. 方法技巧 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1利用综合法证题的策略 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题； (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用 条件逐步逼近结论的题型 2综合法证明问题的常见类型及方法 (1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用见典例 (2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前 n 项和公式证明 冲关针对训练 (2017 黄冈模拟 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，且
9、 (3 m)Sn 2man m 3(n N)其中 m为常数，且 m 3. (1)求证： an是等比数列； (2)若数列 an的公比 q f(m)，数列 bn满足 b1 a1， bn 32f(bn 1)(n N， n2) ，求证：?1bn为等差数列 证明 (1)由 (3 m)Sn 2man m 3，得 (3 m)Sn 1 2man 1 m 3. 两式相减，得 (3 m)an 1 2man， m 3， an 1an 2mm 3， an是等比数列 (2) (3 m)Sn 2man m 3， (3 m)a1 2ma1 m 3， a1 1. b1 a1 1， q f(m) 2mm 3， 当 n N 且
10、n2 时， bn 32f(bn 1) 32 2bn 1bn 1 3?bnbn 1 3bn 3bn 1?1bn 1bn 1 13. ? ?1bn是首项为 1，公差为 13的等差数列 题型 3 反证法的应用 典例 直线 y kx m(m0) 与椭圆 W： x24 y2 1 相交于 A， C 两点， O 是坐标原点 (1)当点 B 的坐标为 (0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形 因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点，求对角线的斜率，=【 ;精品教育资源文库 】 = 研究其是否垂直
11、解 (1)因为四边形 OABC 为菱形， AC 与 OB 相互垂直平分 可设 A? ?t， 12 ，代入椭圆方程得 t2414 1， 即 t 3，所以 |AC| 2 3. (2)证明：假设四边形 OABC 为菱形 因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC OB，所以 k0. 由? x2 4y2 4，y kx m， 消 y 并整理得 (1 4k2)x2 8kmx 4m2 4 0. 设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，则 x1 x22 4km1 4k2， y1 y22 kx1 x22 mm1 4k2. AC 的中点为 M? ? 4km1 4k2， m1 4k2 . 因为 M 为 AC 和
12、OB 的交点，且 m0 ， k0 ， 所以直线 OB 的斜率为 14k. 因为 k ? ? 14k 1，所以 AC 与 OB 不垂直 所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾 所以当 点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形 方法技巧 反证法的适用范围 (1)否定性命题； (2)命题的结论中出现 “ 至少 ”“ 至多 ”“ 唯一 ” 等词语的； (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的； (4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少 冲关针对训练 (2017 济南质检 )若 f(x)的定义域为 a， b，值域为 a， b
13、(a 2)，使函数 h(x) 1x 2是区间 a， b上的 “ 四维光军 ” 函数？=【 ;精品教育资源文库 】 = 若存在，求出 a， b 的值；若不存在，请说明理由 解 假设函数 h(x) 1x 2在区间 a， b(a 2)上是 “ 四维光军 ” 函数，因为 h(x)1x 2在区间 ( 2， ) 上单调递减， 所以有? h?a? b，h?b? a， 即 ? 1a 2 b，1b 2 a，解 得 a b，这与已知矛盾故不存在 1 (2014 山东高考 )用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b 0 至少有一个实根 ” 时，要作的假设是 ( ) A方程 x3 ax b
14、0 没有实根 B方程 x3 ax b 0 至多有一个实根 C方程 x3 ax b 0 至多有两个实根 D方程 x3 ax b 0 恰好有两个实根 答案 A 解析 因为 “ 方程 x3 ax b 0 至少有一个实根 ” 等价于 “ 方程 x3 ax b 0 的实根的个数大于或等于 1” ，因此，要作的假设是方程 x3 ax b 0 没有实根故选 A. 2 (2017 郑州模拟 )设 x0， P 2x 2 x， Q (sinx cosx)2，则 ( ) A PQ B P0，所以 P2；又 (sinx cosx)2 1 sin2x，而 sin2x1 ，所以 Q2. 于是 PQ.故选 A. 3 (2016 邹平期中 )若 abc，则使 1a b 1b c ka c恒成立的最大 的正整数 k 为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 abc， a b0， b c0， a c0，且 a c a b b c. 又 a ca b a cb c a b b ca b a b b cb c 2 b ca b a bb c2 2 4，当且仅当 a b b c 时等号成立 k a ca b a cb c， k4 ， 故 k 的最大整数为 4.故选 C. 4 (20
