1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.7 抛物线 知识梳理 1抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛物线的 准线 2抛物线的标准方程与几何性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3必记结论 (1)抛物线 y2 2px(p 0)上一点 P(x0， y0)到焦点 F? ?p2， 0 的距离 |PF| x0 p2，也称为抛物线的焦半径 (2)y2 ax 的焦点坐标为 ? ?a4， 0 ，准线方程为 x a4. (3)直线 AB 过抛物线 y2 2px(p0)的焦点，交抛物线于 A(x1， y1)， B(
2、x2， y2)两点，如图 =【 ;精品教育资源文库 】 = y1y2 p2， x1x2 p24. |AB| x1 x2 p， x1 x22 x1x2 p，即当 x1 x2时，弦长最短为 2p. 1|AF| 1|BF|为定值 2p. 弦长 AB 2psin2 ( 为 AB 的倾斜角 ) 以 AB 为直径的圆与准线相切 焦点 F 对 A， B 在准线上射影的张角为 90. 诊断自测 1概念思辨 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)方程 y ax2(a0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ? ?a4， 0 ，准线方程是
3、x a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (4)过 抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 2ay(a 0)的通径长为 2a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A1 1P64A 组 T2)抛物线 y 1ax2(a0) 的焦点坐标为 ( ) A.? ?0， a4 或 ? ?0， a4 B.? ?0， a4 C.? ?0， a4 D.? ?a4， 0 答案 C 解析 把方程写成 x2 ay，若 a0，则 p a2，焦点为 F? ?0， a4 ；若 a0)经过 C， F 两点，则 b
4、a _. 答案 1 2 解析 |OD| a2， |DE| b， |DC| a， |EF| b，故 C? ?a2， a ， F? ?a2 b， b ， 又抛物线 y2 2px(p0)经过 C， F 两点， 从而有? ? a?2 2p a2，b2 2p? ?a2 b ，即? a p，b2 ap 2bp， b2 a2 2ab， ? ?ba 2 2 ba 1 0，又 ba1， ba 1 2. 题型 1 抛物线的定义及应用 典例 (2016 浙江高考 )若抛物线 y2 4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 抛物线定义法 答案 9 解析
5、设 M(x0， y0)，由抛物线方程知焦点 F(1,0)根据抛物线的定义得 |MF| x0 110， x0 9，即点 M 到 y 轴的距离为 9. 条件探究 1 将典例条件变为 “ 过该抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若|AF| 3” ，求 AOB 的面积 解 焦点 F(1,0)，设 A， B 分别在第一、四象限，则点 A 到准线 l： x 1 的距离为 3，得 A 的横坐标为 2，纵坐标为 2 2， AB 的方程为 y 2 2(x 1)，与抛物线方程联立可得 2x2 5x 2 0，所以 B 的横坐标为 12，纵坐标为 2， S AOB 121(2 2 2) 3 22 . 条
6、件探究 2 将典例条件变为 “ 在抛物线上找一点 M，使 |MA| |MF|最小，其中A(3,2)” 求 M 点坐标及此时的最小值 解 如图，点 A 在抛物线 y2 4x 的内部，由抛物线的定义可知， |MA| |MF| |MA|MH|， 其中 |MH|为 M 到抛物线的准线的距离 过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B， 则 |MA| |MF| |MA| |MH| AB| 4， 当且仅当点 M 在 M1的位置时等号成立 此时 M1点的坐标为 (1,2) 方法技巧 利用抛物线的定义可解决的常见问题 1轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨 迹是否为抛物线
7、见典例 2距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见条件探究 2. 3看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 冲关针对训练 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2017 湖北二模 )设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点， A， B， C 为该抛物线上三点，若 FA FB FC 0，则 |FA| |FB| |FC|的值为 ( ) A 3 B 6 C 9 D 12 答案 B 解析 抛物线 y2 4x 焦点坐标为 F(1,0)，准线方程 x 1， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3，
8、y3) FA FB FC 0， 点 F 是 ABC 重心，则 x1 x2 x33 1， x1 x2 x3 3. 由抛物线的定义可知： |FA| |FB| |FC| (x1 1) (x2 1) (x3 1) 6， |FA| |FB| |FC| 6，故选 B. 题型 2 抛物线的标准方程及性质 典例 1 设抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， |MF| 5，若以 MF 为直径的圆过点 (0,2)，则 C 的方程为 ( ) A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 本题采用待定系
9、数法，列方程求解 答案 C 解析 以 MF 为直径的圆过点 (0,2)， 点 M 在第一象限由 |MF| xM p2 5 可得M? ?5 p2， 2p? ?5 p2 ，以 MF 为直径的圆，其圆心 N 为 ? ?52， 12 2p? ?5 p2 ， 点 N 的横坐标恰好等于圆的半径， 圆与 y 轴切于点 (0,2)，从而 2 12 2p? ?5 p2 ，即 p2 10p 16 0，解得 p 2 或 p 8， 抛物线方程为 y2 4x 或 y2 16x.故选 C. 典例 2 (2016 天津高考 )设抛物线 ? x 2pt2，y 2pt (t 为参数， p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上
10、一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C? ?72p， 0 ， AF 与 BC 相交于点 E.若 |CF|2|AF|，且 ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为 _ 答案 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为 y2 2px(p0)，则 |FC| 3p， |AF| |AB| 32p，不妨设 A 在第一象限，则 A(p， 2p)易证 EFC EAB，所以|EF|AE|FC|AB|FC|AF| 2，所以|AE|AF|13，所以 S ACE13S AFC1332p 2p22 p2 3 2，所以p 6. 方法技巧 确定及应用抛物线性质的关键与
11、技巧 1关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程见典例 1. 2技巧：要结合图形分析，灵活运用 平面几何的性质以图助解见典例 2. 冲关针对训练 1.如图，过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B，交其准线 l 于点 C，若 |BC| 2|BF|，且 |AF| 3，则此抛物线的方程为 ( ) A y2 9x B y2 6x C y2 3x D y2 3x 答案 C 解析 设 A， B 在准线上的射影分别为 A1， B1， 由于 |BC| 2|BF| 2|BB1|，则直线 l 的斜率为 3， 故 |AC| 2|AA1| 6，
12、从而 |BF| 1， |AB| 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 p|AA1| |CF|AC| 12，即 p 32，从而抛物线的方程为 y2 3x，故选 C. 2 (2018 河南洛阳统考 )已知 F1， F2分别是双曲线 3x2 y2 3a2(a 0)的左、右焦点，P 是抛物线 y2 8ax 与双曲线的一个交点，若 |PF1| |PF2| 12，则抛物线的准线方程为_ 答案 x 2 解析 将双曲线方程化为标准方程得 x2a2y23a2 1，可得 F2(2a,0)，又易知其也是抛物线的 焦 点 ， 联 立? x2a2y23a2 1，y2 8ax? x 3a ， 即 点 P 的 横 坐
13、 标 为 3a. 而由? |PF1| |PF2| 12，|PF1| |PF2| 2a ?|PF2| 6 a， |PF2| 3a 2a 6 a，得 a 1， 抛物线的准线方程为 x 2. 题型 3 直线与抛物线的综合问题 角度 1 直线与抛物线的交点问题 典例 (2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l： y t(t0) 交 y 轴于点 M，交抛物线 C： y2 2px(p0)于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求 |OH|ON|； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由 本题采用方程组法 解 (1)由
14、已知得 M(0， t)， P? ?t22p， t . =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N? ?t2p， t ，故 ON 的方程为 yptx，将其代入 y2 2px，整理得 px2 2t2x 0，解得 x1 0， x2 2t2p ，因此 H?2t2p ， 2t .所以 N 为 OH 的中点，即|OH|ON|2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点 理由如下：直线 MH 的方程为 y t p2tx， 即 x 2tp(y t) 代入 y2 2px，得 y2 4ty 4t2 0，解得 y1 y2 2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，
15、所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点 角度 2 与抛物线弦中点有关的问题 典例 (2018 郑州模拟 )已知抛物线 C： y mx2(m 0)，焦点为 F，直线 2x y 2 0交抛物线 C 于 A， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标； (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值； (3)是否存在实数 m，使 ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 解 (1) 抛物线 C： x2 1my， 它的焦点 F? ?0， 14m . (2) |RF| yR 14m， 2 14m 3，得 m 14. (3)存在，联立方程? y mx2，2x y 2 0， 消去 y 得 mx2 2x 2 0， 依题意，有 ( 2)2 4 m( 2) 0?m 12. 设 A(x1， mx21)， B(x2， mx22)， 则? x1 x2 2m，x1 x2 2m.(*)
