1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 62 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 2利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 . 2017 全国卷 ， 19 2016 山东卷， 19 2016 福建卷， 16 1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查 2离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查 . 分值： 5 12分 1离散型随机变量
2、的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn (1)均值 称 E(X) _x1p1 x2p2 ? xipi ? xnpn_为随机变量 X 的均值或 _数学期望 _，它反映了离散型随机变量取值的 _平均水平 _ (2)方差 称 D(X) _?i 1n(xi E(X)2pi_为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的 _平均偏离程度 _，其算术平方根 D?X?为随机变量 X 的 _标准差 _ 2均值与方差的性质 (1)E(aX b) _aE(X) b_(a， b 为常数 ) (2)D(aX b)
3、_a2D(X)_(a， b 为常数 ) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X) _p_， D(X) _p(1 p)_ (2)若 X B(n， p)，则 E(X) _np_， D(X) _np(1 p)_ 4正态分布 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)正态曲线：函数 ， (x) 12 ex 22 2 ， x ( ， ) ，其中实数 和 为参数 ( 0， R)我们称函数 ， (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的性质 曲线位于 x 轴 _上方 _，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 _x _对称； 曲线在 _x _处达到峰
4、值 1 2 ； 曲线与 x 轴之间的面积为 _1_； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 _ _的变化沿 x 轴平移， 如图甲所示； 当 一定时，曲线的形状由 确定， _越小 _，曲线越 “ 瘦高 ” ，表示总体的分布越集中； _越大 _，曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示 (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数 a， b(a120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解析 (1)依题意，得 p1 P(4
5、0 X 80) 1050 0.2， p2 P(80 X120) 3550 0.7， p3 P(X 120) 550 0.1. 由二项分布，在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p C04(1 p3)4 C14(1 p3)3p3 ? ?910 4 4 ? ?910 3 ? ?110 0.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元 ) 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y 5 000，E(Y) 5 0001 5 000. 安装 2 台发电机的情形 依题意，当 40 X 80 时，一台发电机运行
6、， 此时 Y 5 000 800 4 200， 因此 P(Y 4 200) P(40 X 80) p1 0.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5 0002 10 000，因此 P(Y 10 000) P(X8 0) p2 p3 0.8.由此得 Y 的分布列如下： Y 4 200 10 000 P 0. 0.8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 所以 E(Y) 4 2000.2 10 0000.8 8 840. 安装 3 台发电机的情形 依题意，当 40 X 80 时，一台发电机运行，此时 Y 5 000 1 600 3 400，因此 P(Y 3 400) P(40 X 80) p
7、1 0.2；当 80 X120 时，两台发电机运行，此时 Y 5 0002 800 9 200， 因此 P(Y 9 200) P(80 X120) p2 0.7；当 X 120 时，三台发电机运行，此时 Y 5 0003 15 000，因此 P(Y 15 000) P(X 120) p3 0.1，由此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以 E(Y) 3 4000.2 9 2000.7 15 0000.1 8 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 三 正态分布的应用 解决正态分布问题有三个关键点： (1
8、)对称轴 x ； (2)标准差 ； (3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由 ， ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3 特殊区间，从而求出所求概率注意只有标准正态分布的对称轴才为 x 0. 【例 4】 (2017 全国卷 改编 )为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 (单位： cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N( ， 2) (1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 ( 3 ， 3 )之外的零件数，求 P(X1) 及 X 的数学期望； (
9、2)一天内抽检零件中 ，如果出现了尺寸在 ( 3 ， 3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 =【 ;精品教育资源文库 】 = 经计算得 x 116?i 116x i 9.97， s 116?i 116?xi x ?2 116?i 116x2i 16 x 20.212 ，其中
10、 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸， i 1,2， ? ， 16. 用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？ 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4, 0.997 4160.959 2. 解析 (1)抽取的一个零件的尺寸在 ( 3 ， 3 )之内的概率为 0.997 4，从而零件的尺寸在 ( 3 ， 3 )之外的概率为 0.002 6，故 X B(16,0.002 6) 因而 P(X1) 1 P(X 0) 1 0.997 4160.040 8. X 的数学期望为 E
11、(X) 160.002 6 0.041 6. (2) 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( 3 ， 3 )之外的概率只有 0.002 6，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( 3 ， 3 )之外的零件的概率只有 0.040 8，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 由 x 9.97， s0.212 ，得 的估计值为 9.97， 的估计值为 0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 ( 3 ， 3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查 1在某次大型考试中，某
12、班同学的成绩服从正态分布 N(80,52)，现已知该班同学中成绩在 80 85 分的有 17 人试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人 附：若随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( ) 68.26%， P( 2 2 ) 95.44%. 解析 成绩服从正态分布 N(80,52)， 80， 5， 75， 85. 于是成绩在 (75,85内的同学占全班同学的 68.26%. 由正态曲线的对称性知，成绩在 (80,85内的同学占全班同学的 1268.26% 34.13%. 设该班同学共有 x 人，则 x34.13% 17，解得 x50. 又 2 80 10 70， 2 80 10 90
13、， 成绩在 (70,90内的同学占全班同学的 95.44%. 成绩在 (80,90内的同学占全班同学的 47.72%. =【 ;精品教育资源文库 】 = 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 50% 47.72% 2.28%. 即有 502.28%1( 人 )，故成绩在 90 分以上的同学仅有 1 人 2乒乓球台面被球网分割成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A， B，乙被划分为两个不相交的区域 C， D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其它情况记 0 分对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上
14、的概率为 12，在 D 上的概率为 13；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 15，在 D 上的概率为 35.假设共有两次来球且落在 A， B 上各一次，小明的两次回球互不影响求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明的得分之和 的分布列与均值 解析 (1)记 Ai为事件 “ 小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分 ”( i 0,1,3)， 则 P(A3) 12， P(A1) 13， P(A0) 1 12 13 16. 记 Bj为事件 “ 小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分 ”( j 0,1,3)， 则 P(B3) 15， P(B1) 35， P(B0) 1 15 35 15. 记 D 为事件 “ 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上 ” 由题意， D A3B0 A1B0 A0B1 A0B3， 由事件的独立性和互斥性，得 P(D) P(A3B0 A1B0 A0B1 A0B3) P(A3B0) P(A1B0) P(A0B1) P(A0B3) P(A3)P(B0) P(A1)P(B0) P(A0)P(B1) P(A0)P(B3) 12 15 13 15 16 35 16 15 310， 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为 310. (2)
