1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 圆的方程 1 (2016年新课标 )圆 x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线 ax y 1 0的距离为 1，则 a ( ) A 43 B 34 C. 3 D 2 2若实数 x， y 满足 x2 y2 4x 2y 4 0，则 x2 y2的最大值是 ( ) A. 5 3 B 6 5 14 C 5 3 D 6 5 14 3若直线 ax 2by 2 0(a 0， b 0)始终平分圆 x2 y2 4x 2y 8 0 的周长，则 1a 2b的最小值为 ( ) A 1 B 5 C 4 2 D 3 2 2 4 若方程 x2 y2 2x 2my 2m2 6m
2、 9 0 表示圆，则 m 的取值范围是 _；当半径最大时，圆的方程为 _ 5 (2015 年新课标 )一个圆经过椭圆 x216y24 1 的三个顶 点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 _ 6 (2016 年浙江 )已知 a R，方程 a2x2 (a 2)y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则圆心坐标是 _，半径是 _ 7 (2015 年江苏 )在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0)为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _ 8已知圆心在直线 x 2y 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为
3、2 3，则圆 C 的标准方程为 _ 9 (2013年新课标 )在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 y x 的距离为 22 ，求圆 P 的方程 10 (2014 年新课标 )已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y2 8y 0，过点 P 的动直线 l 与圆 C交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为点 M， O 为坐标原点 (1)求 M 的轨迹方程； (2)当 |OP| |OM|时，求直线 l 的方程及 POM 的面积 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11在平面直角坐
4、标系 xOy 中，设二次函数 f(x) x2 2x b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)圆 C 是否经过某定点 (其坐标与 b 无关 )？请证明你的结论 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 圆的方程 1 A 解析：由 x2 y2 2x 8y 13 0 配方，得 (x 1)2 (y 4)2 4，所以圆心坐标为 (1,4)，半径 r 2.因为圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，所以 |a 4 1|a2 12 1.解得 a 43.故选 A. 2
5、A 解析：将 x2 y2 4x 2y 4 0 转化为标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 32， x2 y2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即 2 12 3 5 3.故选 A. 3 D 解析：由题意知圆心 C(2,1)在直线 ax 2by 2 0 上， 2a 2b 2 0.整理，得 a b 1. 1a 2b ? ?1a 2b (a b) 3 ba 2ab 3 2 ba 2ab 3 2 2. 当且仅当 ba 2ab ，即 b 2 2， a 2 1 时，等号成立 1a 2b的最小值为 3 2 2. 4 2 m 4 (x 1)2 (y 3)2 1 解析： 原方程可化为 (x 1)2 (y m
6、)2 m26m 8， r2 m2 6m 8 (m 2)(m 4) 0. 2 m 4，当 m 3 时， r 最大为 1， 此时圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 1. 5.? ?x 32 2 y2 254 解析：设圆心为 (a,0)，则半径为 4 a.则 (4 a)2 a2 22.解得 a 32.故圆的方程为 ? ?x 32 2 y2 254. 6 ( 2， 4) 5 解析：由题意，得 a2 a 2，所以 a 1 或 2.当 a 1 时方程为 x2 y2 4x 8y 5 0，即 (x 2)2 (y 4)2 25，圆心为 ( 2， 4)，半径为 5， a 2时方程为 4x2 4y2 4x 8y
7、 10 0，即 ? ?x 12 2 (y 1)2 54，不表示圆 7 (x 1)2 y2 2 解析：直线 mx y 2m 1 0 恒过定点 (2， 1)，由题意，得半径最大的圆的半径 r 2 2 2.故所求圆的标准方程为 (x 1)2 y2 2. 8 (x 2)2 (y 1)2 4 解析：因为圆心在直线 x 2y 0 上，所以设圆心为 (2a， a)因为圆 C 与 y 轴的正半轴相切，所以 a0， r 2a.又因为圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，所以 a2 ( 3)2 (2a)2，所以 a 1.则圆 C 的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 4. 9解： (1)设 P(x， y)，
8、圆 P 的半径为 r. 则 y2 2 r2， x2 3 r2. y2 2 x2 3，即 y2 x2 1. 圆心 P 的轨迹方程为 y2 x2 1. (2)设 P 的坐标为 (x0， y0)， 则 |x0 y0|2 22 ，即 |x0 y0| 1. y0 x0 1 ，即 y0 x01. 当 y0 x0 1 时，由 y20 x20 1，得 (x0 1)2 x20 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = ? x0 0，y0 1. r2 3. 圆 P 的方程为 x2 (y 1)2 3. 当 y0 x0 1 时，由 y20 x20 1，得 (x0 1)2 x20 1. ? x0 0，y0 1. r2 3
9、. 圆 P 的方程为 x2 (y 1)2 3. 综上所述，圆 P 的方程为 x2 (y1) 2 3. 10解： (1)圆 C 的方程可化为 x2 (y 4)2 16， 所以圆心为 C(0,4)，半径为 4. 设 M(x， y)，则 CM (x， y 4)， MP (2 x,2 y) 由题设知 CM MP 0， 故 x(2 x) (y 4)(2 y) 0， 即 (x 1)2 (y 3)2 2. 由于点 P 在圆 C 的内部， 所以 M 的轨迹方程是 (x 1)2 (y 3)2 2. (2)由 (1)知， M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆由于 |OP| |OM|，故点 O在线段
10、 PM 的垂直平分线上 又点 P 在圆 N 上，从而 ON PM. 因为 ON 的斜率为 3，所以直线 l 的斜率为 13. 故直线 l 的方程为 y 13x 83，即 x 3y 8 0. 则点 O 到直线 l 的距离为 d | 8|12 32 4 105 . 又点 N 到直线 l 的距离为 |11 33 8|10 105 ， 则 |PM| 2 2 ? ?105 2 4 105 . 所以 S POM 12 4 105 4 105 165. 11解： (1)令 x 0，得抛物线与 y 轴交点是 (0， b)， 令 f(x) x2 2x b 0，由题意 b0 ，且 0，解得 b 1，且 b0. (2)设所求圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， 令 y 0，得 x2 Dx F 0，且 x2 Dx F 0 这与 x2 2x b 0，是同一个方程，故 D 2， F b. 令 x 0，得 y2 Ey b 0，此方程有一个根为 b，代入，得出 E b 1. 所以圆 C 的方程为 x2 y2 2x (b 1)y b 0. (3)圆 C 必过定点 (0,1)和 ( 2,1) 证明如下：将 (0,1)代入圆 C 的方程，得 左边 02 12 20 (b 1)1 b 0，右边 0. 所以圆 C 必过定点 (0,1) 同理可证圆 C 必过定点 ( 2,1)
