1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 43 讲 空间向量及其运算 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解空间直角坐标系 ，会用空间直角坐标表示点的位置 2 会推导空间两点间的距离公式 . 2017 全国卷 ， 16 2016 山东卷， 17 空间直角坐标系 、 空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具 ， 解决直线 、 平面的平行 、 垂直位置关系的判定等问题 . 分值： 3 分 1 空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为 _0_的向量 0 单位向量 长度 (模 )为 _1_的向量 相等向量 方向 _相同 _且模 _相等 _的向 量 a b 相反向量 方向 _相反 _且模 _相等
2、_的向量 a 的相反向量为 a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 _平行或重合 _的向量 a b 共面向量 平行于同一个 _平面 _的向量 2 空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a(a 0)与 b 共线的充要条件是存在实数 ， 使得 _b a_. 推论 如图所示 ， 点 P 在 l 上的充要条件是 OP OA ta. =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中 a 叫直线 l 的方向向量 ， t R， 在 l 上取 AB a， 则 可化为 OP OA tAB 或 OP _(1 t)OA tOB _. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式： p _x a
3、y b_， 其中 x， y R， a， b 为不共线向量 ，推论的表达式为 MP xMA yMB 或对空间向量任意一点 O， 有 OP _OM xMA yMB _或 OP xOM yOA zOB ， 其中 x y z _1_. (3)空间向量基本定理 如果向量 e1， e2， e3是空间三个不共面的向量， a 是空间任一向量 ， 那么存在唯一一组实数 1， 2， 3， 使得 a _ 1e1 2e2 3e3_， 空间中不共面的三个向量 e1， e2， e3叫做这个空间的一个基底 3 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O，
4、 作 OA a， OB b， 则 AOB 叫做向量 a 与b 的夹角 ， 记作 _ a， b _， 其范围是 _0 a， b _， 若 a， b 2 ， 则称 a与 b_互相垂直 _， 记作 a b. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a， b， 则 _|a|b|cos a， b _叫做向量 a， b 的数量积 ， 记作 _ab _， 即 ab _|a|b|cos a， b _. (2)空间向量数量积的运算律 结合律： ( a)b _ (ab )_； 交换律： ab _ba _； 分配律： a (b c) _ab ac _. 4 空间向量的坐标表示及其应用 设 a (a1， a2， a3)
5、， b (b1， b2， b3). 向量表示 坐标表示 数量积 ab _a1b1 a2b2 a3b3_ 共线 a b(b0 ， b R) _a1 b 1， a2 b 2， a3 b 3_ 垂 ab 0(a 0， _a1b1 a2b2 a3b3 0_ =【 ;精品教育资源文库 】 = 直 b 0) 模 |a| _ a21 a22 a23_ 夹角 a， b (a 0， b 0) cos a， ba1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)空间中任意两个非零向量 a， b 共面 ( ) (2)对任意两个空间向量 a
6、， b， 若 ab 0， 则 a b.( ) (3)若 a， b， c是空间的一个基底 ， 则 a， b， c 中至多有一个零向量 ( ) (4)若 ab 0， BC CD 0，CD DA 0， DA AB 0， 则该四边形为 ( D ) A平行四边形 B梯形 C长方形 D空间四边形 解析 由已知得 BA BC 0， CB CD 0， DC DA 0， AB AD 0， 由夹角的定义知 B， C， D， A 均为钝角 ， 故 A， B， C 项不正确 课时达标 第 43 讲 解密考纲 空间向量及其应用的考查以解答题为主 ， 多作为解答题的第二种解法 (第一种解法为几何法 ， 第二种解法为向量法 )， 难度中等 一 、 选择题 1 点 M( 8,6,1)关于 x 轴的对称点的坐标是 ( A ) A ( 8， 6， 1) B (8， 6， 1)
