1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 69 讲 绝对值不等式 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)| |a b | |a | |b . (2)| |a b | |a c | |c b . 2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： | |ax b c， | |ax b c， | |x a | |x b c. 2017 全国卷 ， 23 2016 全国卷 ， 24 2016 全国卷 ， 24 2016 江苏卷， 21(D) 解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主 . 分值：
2、5 10 分 1绝对值三角不等式 定理 1：如果 a， b 是实数，那么 | |a b | |a | |b ，当且仅当 _ab0 _时，等号成立 定理 2：如果 a， b， c 是实 数，那么 | |a b | |a c | |c b ，当且仅当 _(a c)(c b)0 _时，等号成立 2含绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式 | |x a， | |x a 的解集 不等式 a 0 a 0 a 0 | |x a _x| a xa_ _?_ _?_ | |x a _x|x a 或 x a_ _x|x R 且x0 _ _R_ (2)| |ax b c(c 0)和 | |ax b c(c 0)
3、型不等式的解法 | |ax b c? c ax b c； | |ax b c?ax b c 或 ax b c. 1思维辨析 (在括内打 “” 或打 “ ”) (1)对 | |a b | |a | |b 当且仅当 a b 0 时等号成立 ( ) (2)对 | |a | |b | |a b 当且仅当 | |a | |b 时等号成立 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)对 | |a b | |a | |b 当且仅当 ab0 时等号成立 ( ) (4)| |ax b c 的解等价于 c ax b c.( ) (5)不等式 | |x 1 | |x 2 2 的解集为 ?.( ) 2设 ab 0
4、， a， b R，那么正确的是 ( C ) A | |a b | |a b B | |a b | |a | |b C | |a b | |a b D | |a b | | |a | |b 解析 由 ab 0，得 a， b 异号， 易知 |a b| |a b|， |a b| |a| |b|， |a b| |a| |b|， C 项成立， A， B， D 项均不成立 3不等式 1 | |x 1 3 的解集为 ( D ) A (0,2) B ( 2,0) (2,4) C ( 4,0) D ( 4， 2) (0,2) 解析 1 |x 1| 3?1 x 1 3 或 3 x 1 1?0 x 2 或 4 x
5、2. 4不等式 |2x 1| 2 3x 的解集是 ( C ) A ? ?x|x 12 B ? ?x|12 x 35 C ? ?x|x 35 D ? ?x|x 35 解析 |2x 1| 2 3x?3x 2 2x 1 2 3x? 3x 2 2x 1，2x 1 2 3x ? x 1，x 35?x 35. 5若不等式 |3x b| 4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3，则 b 的取值范围为 _(5,7)_ 解析 由 |3x b| 4 得 4 3x b 4，即 4 b3 x 4 b3 ， 不等式 |3x b| 4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3， 则? 0 4 b3 1，3 4 b3 4? 4 b
6、 7，5 b8 ， 5 b 7. 一 绝对值不等式的解法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中 x 的系数为 1(或可化为 1)，可选用几何法或图象法求解较为简单若 x 的系数不全为 1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍 【例 1】 解不等式 |x 1| |x 2|5. 解析 将原不等式转化为 |x 1| |x 2| 50 ， 令 f(x) |x 1| |x 2| 5， 则 f(x)? 2x 6， x 2， 2， 2 x 1，2x 4， x1.作出函数的图象，如图所示 由图可知，当 x ( ， 3 2， )时， y 0， 原不等式的解集为 ( ，
7、3 2， ) 二 绝对值不等式的证明 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明 (2)利用三角不等式 |a| |b| a b| a| |b|进行证明 (3)转化为函数问题，数形结合进行证明 【例 2】 设 a R，函数 f(x) ax2 x a( 1 x1) ，若 |a|1 ，求证： |f(x)| 54. 证明 方法一 1 x1 ， |x|1. 又 |a|1 ， |f(x)| |a(x2 1) x| a(x2 1)| |x| x2 1| |x| 1 |x|2|x| ? ?|x| 12 2 54 54. 方法二 设 g(a) f(x) ax2 x a (x2 1)a x. 1
8、 x1 ， 当 x 1 ，即 x2 1 0 时， |f(x)| |g(a)| 1 54； 当 11 时， 式化为 x2 x 40 ，从而 10， 当 x0，得 x0， 无解； 当 0 x 12时， x (2x 1) 10，得 x0， 012时， x (2x 1) 10，得 x0. (1)当 a 1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 解析 (1)当 a 1 时， f(x)1 化为 |x 1| 2|x 1| 10. 当 x 1 时，不等式化为 x 40，无解； 当 10，解得 230，解得 1 x1 的解集为 ? ?
9、x|23a.所以函数 f(x)的图象与 x轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? ?2a 13 ， 0 ， B(2a 1,0)，C(a， a 1)， ABC 的面积为 23(a 1)2. 由题设得 23(a 1)26，故 a2. 所以 a 的取值范围为 (2， ) 易错点 不能正确处理好整体与个体的关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 错因分析：先由已知求得 x 和 y 的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误 【例 1】 已知 | |x y 13， | |2x y 16，求证： | |x y 29. 证明 设 m(x y) n(2x y) x y， 则? m 2n 1，m n 1，
10、解得 ? m 13，n 23， | |x y ? ? 13?x y? 23?2x y? 13| |x y 23| |2x y 19 19 29. 【跟踪训练 1】 (2016 江苏卷 )设 a 0， | |x 1 a3， | |y 2 a3，求证： | |2x y 4 a. 证明 因为 |x 1| a3， |y 2| a3， 所以 |2x y 4| |2(x 1) (y 2)|2| x 1| |y 2| 2 a3 a3 a. 课时达标 第 69 讲 解密考纲 对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等 1已
11、知 f(x) |x 1| |x 2|， g(x) |x 1| |x a| a(a R) (1)解不等式 f(x)5 ； (2)若不等式 f(x) g(x)恒成立，求 a 的取值范围 解析 (1)f(x) |x 1| |x 2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和，而 2 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5,3 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5， 故不等式 f(x)5 的解集为 2,3 (2)若不等式 f(x) g(x)恒成立，即 |x 2| |x a| a 恒成立 而 |x 2| |x a|(2 x) (x a)| |a 2|， (|x 2
12、| |x a|)min |a 2|， |a 2| a， a0 或? ?a 2?2 a2，a0， 解得 a1 ，故 a 的取值范围为 ( ， 1 2设 f(x) |x 1| |x a|. (1)若 a 1，解不等式 f(x)3 ； (2)若对任意的 x R， f(x)4 ，求实数 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)当 a 1 时， f(x) |x 1| |x 1|? 2x， x 1，2， 11，其图象如下 根据图象易得 f(x)3 的解集为?x? x 32或 x 32 . (2)由于 f(x) |x 1| |x a| |x 1| |a x| a 1|， 对任意的 x
13、R， f(x)4 等价于 |a 1|4 ， 解得 a5 或 a 3， 故实数 a 的取值范围为 ( ， 3 5， ) 3已知函数 f(x) |x 2| |2x a|， a R. (1)当 a 3 时，解不等式 f(x)0； (2)当 x ( ， 2)时， f(x)0， 即 |x 2| |2x 3|0， 等价于? x 32，x 10或? 320或? x2 ， x 10， 解得 12 x， 即 2x a2 x 或 2x ax 2 恒成立， x1，当 x8，当 7 x1 时， f(x) 8， 当 x1 时， f(x)8. 综上， f(x)有最小值 8，所以 m8 ，故 m 的取值范围为 ( ， 8
14、(2)当 m 取最大值时， m 8.原不等式等价于 |x 3| 2x4 ， 等价于? x3 ，x 3 2x4 或 ? x2.当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x) x2 x m 得 m| x 1| |x 2| x2 x. 而 |x 1| |x 2| x2 x| x| 1 |x| 2 x2 |x| ? ?|x| 32 2 54 54， 故 m 的取值范围为 ? ? ， 54 . 6设函数 f(x) |x a|. (1)当 a 2 时，解不等式 f(x)4 |x 1|； (2)若 f(x)1 的解集为 0,2， 1m 12n a(m0， n0)，求证： m 2n4. 解析 (1)当 a 2 时，不等式为 |x 2| |x 1|4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为方程 |x 2| |x 1| 4 的解为 x1 12， x2 72， 所以原不等式的解集为 ? ? ， 12 ? ?72， . (2)证明： f(x)1 ，即 |x a|1 ，解得 a 1 x a 1， 而 f(x)1 的解集是 0,2， 所以? a 1 0，a 1 2， 解得 a 1，所以1m12n 1(m0， n0) 所以 m 2n (m 2n)? ?1m 12n 2 2nm m2n4.
