1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 69 讲 绝对值不等式 解密考纲 对本考点的考查以填空题和解答题为主,填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等,解答题涉及含有两个绝对值的问题,难度中等 1已知 f(x) |x 1| |x 2|, g(x) |x 1| |x a| a(a R) (1)解不等式 f(x)5 ; (2)若不等式 f(x) g(x)恒成立,求 a 的取值范围 解析 (1)f(x) |x 1| |x 2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和,而 2 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5,3 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等
2、于 5,故不等式 f(x)5 的解集为 2,3 (2)若不等式 f(x) g(x)恒成立,即 |x 2| |x a| a 恒成立 而 |x 2| |x a|(2 x) (x a)| |a 2|, (|x 2| |x a|)min |a 2|, |a 2| a, a0 或? a 2 a2,a0, 解得 a1 ,故 a 的取值范围为 ( , 1 2设 f(x) |x 1| |x a|. (1)若 a 1,解不等式 f(x)3 ; (2)若对任意的 x R, f(x)4 ,求实数 a 的取值范围 解析 (1)当 a 1 时, f(x) |x 1| |x 1|? 2x, x 1,2, 11,其图象如下
3、 根据图象易得 f(x)3 的解集为?x? x 32或 x 32 . (2)由于 f(x) |x 1| |x a| |x 1| |a x| a 1|, 对任意的 x R, f(x)4 等价于 |a 1|4 , 解得 a5 或 a 3, 故实数 a 的取值范围为 ( , 3 5, ) 3已知函数 f(x) |x 2| |2x a|, a R. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 a 3 时,解不等式 f(x)0; (2)当 x ( , 2)时, f(x)0, 即 |x 2| |2x 3|0, 等价于? x 32,x 10或? 320或? x2 , x 10, 解得 12 x, 即 2x
4、a2 x 或 2x ax 2 恒成立, x1,当 x8,当 7 x1 时, f(x) 8, 当 x1 时, f(x)8. 综上, f(x)有最小值 8,所以 m8 ,故 m 的取值范围为 ( , 8 (2)当 m 取最大值时, m 8.原不等式等价于 |x 3| 2x4 , 等价于? x3 ,x 3 2x4 或 ? x2.当 x2 时,由 f(x)1 解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为 x|x1 (2)由 f(x) x2 x m 得 m| x 1| |x 2| x2 x. 而 |x 1| |x 2| x2 x| x| 1 |x| 2 x2 |x| ? ?|x| 32 2 54 54, 故
5、 m 的取值范围为 ? ? , 54 . 6设函数 f(x) |x a|. (1)当 a 2 时,解不等式 f(x)4 |x 1|; (2)若 f(x)1 的解集为 0,2, 1m 12n a(m0, n0),求证: m 2n4. 解析 (1)当 a 2 时,不等式为 |x 2| |x 1|4. 因为方程 |x 2| |x 1| 4 的解为 x1 12, x2 72, 所以原不等式的解集为 ? ? , 12 ? ?72, . (2)证明: f(x)1 ,即 |x a|1 ,解得 a 1 x a 1, 而 f(x)1 的解集是 0,2, 所以? a 1 0,a 1 2, 解得 a 1,所以1m12n 1(m0, n0) 所以 m 2n (m 2n)? ?1m 12n 2 2nm m2n4.