1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四章 平面向量与复数 第 1 课时 平面向量的概念与线性运算 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义 . 掌握向量加、减法和数乘运算 ， 理解其几何意义；理解向量共线定理 . 了解向量的线性运算性质及其几何意义 掌握向量加、减法、数乘的运算 ， 以及两个向量共线的充要条件 1. (必修 4P62习题 5 改编 )下列命题： 零向量的长度为零 ， 方向是任意的； 若 a，b 都是单位向量 ， 则 a b； 向量 AB 与 BA 相等则所有正确的命题是 _ (填序号 ) 答案： 解析：根据零向量的定义可知 正确；根据单位向量的定
2、义可知 ， 单位向量的模相等 ，但方向不一定相同 ， 故两个单位向量不一定相等 ， 故 错误；向量 AB 与 BA 互为相反向量 ， 故 错误 2. 在四边形 ABCD 中 ， 若 AC AB AD ， 则四 边形 ABCD 的形状是 _ 答案：平行四边形 解析：依题意知 AC 是以 AB， AD 为相邻两边的平行四边形的对角线 ， 所以四边形 ABCD是平行四边形 3. 在 ABC 中 ， AB c， AC b， 若点 D 满足 BD 2DC ， 则 AD _ 答案： 23b 13c 解析：如图 ， 因为在 ABC 中 ， AB c， AC b， 且点 D 满足 BD 2DC ， 所以 AD
3、 AB BD AB 23BC AB 23(AC AB ) 23AC 13AB 23b 13c. 4. 设向量 a， b 不平行 ， 向量 a b 与 a 2b 平行 ， 则实数 _ 答案： 12 解析：因为向量 a b 与 a 2b 平行 ， 设 a b k(a 2b)， 则? k，1 2k， 所以 12. 5. (必修 4P73习题 15 改编 )已知向量 i 与 j 不共线 ， 且 AB i mj， AD ni j.若 A， B，D 三点共线 ， 则实数 m， n 应该满足的条件是 _ (填序号 ) m n 1； m n 1； mn 1； mn 1. 答案： 解析：由 A， B， D 共线
4、可设 AB AD ， 于是有 i mj (ni j) n i j.又 i， j=【 ;精品教育资源文库 】 = 不共线 ， 因此?n 1， m， 即有 mn 1. 1. 向量的有关概念 (1) 向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量 ， 向量 AB 的大小叫做向量的 长度 (或模 )， 记作 |AB |. (2) 零向量： 长度为 0 的向量叫做零向量 ， 其方向是 任意 的 (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度 的向量叫做单位向量 (4) 平行向量：方向 相同 或 相反 的 非零 向量叫做平行向量平行向量又称为 共线向量 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上 规定： 0 与任一向量
5、 平行 (5) 相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量叫做相等向量 (6) 相反向量：与向量 a 长度 相等 且方向 相反 的向量叫做 a 的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量 2. 向 量加法与减法运算 (1) 向量的加法 定义：求两个向量和的运算 ， 叫做向量的加法 法则：三角形法则；平行四边形法则 运算律： a b b a； (a b) c a (b c) (2) 向量 的减法 定义：求两个向量差的运算 ， 叫做向量的减法 法则：三角形法则 3. 向量的数乘运算及其几何意义 (1) 实数 与向量 a 的积是一个向量 ， 记作 a， 它的长度与方向规定如下： | a| | a|；
6、当 0 时 ， a 与 a 的方向相同；当 0 时 ， a 与 a 的方向相反；当 0 时 ， a 0. (2) 运算律：设 ， R， 则： ( a) () a； ( ) a a a； (a b) a b 4. 向量共线定理 向量 b 与 a(a 0)共线的充要条件是 有且只有 一 个实数 ， 使得 b a =【 ;精品教育资源文库 】 = , 1 平面向量的基本概念 ) , 1) (1) 给出下列六个命题： 两个向量相等 ， 则它们的起点相同 ， 终点相同； 若 |a| |b|， 则 a b； 若 AB DC ， 则 A， B， C， D 四点构成平行四边形； 在 ?ABCD 中 ， 一定有
7、 AB DC ； 若 m n， n p， 则 m p； 若 a b， b c， 则 a c. 其中错误的命题是 _ (填序号 ) (2) 给出以下 命题： 对于实数 p 和向量 a， b， 恒有 p(a b) pa pb； 对于实数 p， q 和向量 a， 恒有 (p q)a pa qa； 若 pa pb(p R)， 则 a b； 若 pa qa(p， q R， a 0)， 则 p q. 其中正确的命题是 _ (填序号 ) 答案： (1) (2) 解析： (1) 两向量起点相同 ， 终点相同 ， 则两向量相等；但两相等向量 ， 不一定有相同的起点和终点 ， 故 不正确； |a| |b|， 由于
8、 a 与 b 方向不确定 ， 所以 a， b 不一定相等 ，故 不正确； AB DC ， 可能有 A， B， C， D 在一条直线上的情况 ， 所以 不正确；零向量与任一向量平行 ， 故 a b， b c 时 ， 若 b 0， 则 a 与 c 不一定平行 ，故 不正确 (2) 根据实数与向量乘积的定义及其运算律 ， 可知 正确； 不一定正确 ， 因为当p 0 时 ， pa pb 0， 而不一定有 a b. 备选变式（教师专享） 设 a0为单位向量 ， 若 a 为 平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行 ， 则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1， 则 a
9、 a0.上述命题中 ， 假命题个数是 _ 答案： 3 解析：向量是既有大小又有方向的量 ， a 与 |a|a0 模相同 ， 但方向不一 定相同 ，故 是假命题；若 a 与 a0平行 ， 则 a 与 a0方向有两种情况：一是同向 ， 二是反向 ， 反向时 a|a|a0， 故 、 也是假命题 , 2 平面向量的线性表示 ) , 2) 如图 ， 在 ABC 中 ， CDDA AEEB 12.若 DE CA CB ， 则 _ 答案： 23 解析：由题意 ， DA 23CA ， AE 13AB ， DE DA AE 23CA 13AB 23CA 13(CB CA ) 13CA 13CB . =【 ;精品
10、教育资源文库 】 = 又 DE CA CB ， 13， 23. 变式训练 已知点 M 是 ABC 的边 BC 的中点 ， 点 E 在边 AC 上 ， 且 EC 2AE ， 则向量 EM _ (用 AB ， AC 表示 ) 答案： 12AB 16AC 解析： EC 2AE ， EM EC CM 23AC 12CB 23AC 12(AB AC ) 12AB 16AC . , 3 共线向量 ) , 3) (1) (2017 镇江期末 )设向量 a， b 不共线 ， AB 2a pb， BC a b， CD a 2b， 若 A， B， D 三点共线 ， 则实数 p 的值为 _ (2) 已知 D 为 A
11、BC 边 BC 的中点 ， 点 P 满足 PA BP CP 0， AP PD ， 则实数 的值为 _ 答案： (1) 1 (2) 2 解析： (1) BC a b， CD a 2b， BD BC CD 2a b. A ， B， D 三点共线 ， AB ， BD 共线设 AB BD ， 2a pb ( 2a b)， 2 2 ， p ， 1， p 1. (2) 如图所示 ， 由 AP PD 且 PA BP CP 0， 可知 P 为以 AB， AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点 ， 因此 AP 2PD ， 则 2. 变式训练 已知向量 a， b 不共线 ， 且 c a b， d a (2 1)b.
12、若 c 与 d 同向 ， 则实数 的值为 _ 答案： 1 解析：由于 c 与 d 同向 ， 设 c kd(k 0)， 于是 a b ka (2 1)b， 整理得 a b ka (2k k)b. 由于 a， b 不共线 ， 所以有? k，2 k k 1， 整理得 22 1 0， 所以 1 或 12.因为 k 0， 所 以 0， 故 1. , 4 向量共线的应用 ) , 4) 已知 D 为 ABC 的边 AB 的中点点 M 在 DC 上且满足 5AM AB 3AC ， 则 ABM 与 ABC 的面积比为 _ 答案： 35 解析：由 5AM AB 3AC ， 得 2AM 2AD 3AC 3AM ，
13、即 2(AM AD ) 3(AC AM )， 即 2DM =【 ;精品教育资源文库 】 = 3MC ， 故 DM 35DC ， 故 ABM 与 ABC 同底且高的比为 35 ， 故 S ABM S ABC 35. 备选变式（教师专享） 如图 ， ABC 中 ， 在 AC 上取一点 N， 使 AN 13AC；在 AB 上取一点 M， 使 AM 13AB；在 BN的延长线上取点 P， 使得 NP 12BN；在 CM 的延长线上取点 Q， 使得 MQ CM 时 ， AP QA ， 试确定 的 值 解： AP NP NA 12(BN CN ) 12(BN NC ) 12BC ， QA MA MQ 12BM MC ， 又 AP QA ， 12BM MC 12BC ， 即 MC 12MC ， 12. 1. 下列各式不能化简为 AD 的是 _ (填序号 ) (AB CD ) BC ； ( AD MB ) (BC CM )； MB AD BM ； OC OA CD . 答案： 解析：对于 ， (AB CD ) BC (AB BC ) CD AC CD AD ；对于 ， (AD MB ) (BC CM ) AD (MB BC CM ) AD ；对于 ， MB AD BM AD 2MB ；对于 ， OC OA CD AC CD AD . 2. (2017 南京模
