1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 50 讲 椭圆 解密考纲 对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1如果 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( A ) A (0,1) B (0,2) C (1， ) D (0， ) 解析 x2 ky2 2 转化为椭圆的标准方程，得 x22y22k 1， x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 2k2，解得 0b0)的左、右焦点， P 为直线 x3a2 上一点， F2PF1是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( C ) A 12 B 23 C 34 D 4
2、5 解析 由题意可得 |PF2| |F1F2|，所以 2? ?32a c 2c， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 3a 4c，所以 e 34. 4 (2018 福建厦门模拟 )椭圆 E： x2a2y23 1(a0)的右焦点为 F，直线 y x m 与椭圆E 交于 A， B 两点，若 FAB 的周长的最大值是 8，则 m ( B ) A 0 B 1 C 3 D 2 解析 设椭圆的 左焦点为 F ，则 FAB 的周长为 |AF| |BF| |AB| AF| |BF|AF| |BF| 4a 8，所以 a 2，当直线 AB 过焦点 F( 1,0)时， FAB 的周长取得最大值，所以 0 1 m
3、，所以 m 1.故选 B 5已知椭圆 C： x24y23 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，椭圆 C 上点 A 满足 AF2 F1F2.若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P F2A 的最大值为 ( B ) A 32 B 3 32 C 94 D 154 解析 设向量 F1P ， F2A 的夹角为 .由条件知 |AF2| b2a32，则 F1P F2A 32|F1P |cos ，于是 F1P F2A 要取得最大值，只需 F1P 在向量 F2A 上的投影值最大，易知此时点 P 在椭圆短轴的上顶点，所以 F1P F2A 32|F1P |cos 3 32 .故选 B 6从椭圆 x2a2y2b2
4、 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A 是椭圆与 x轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是 ( C ) A 24 B 12 C 22 D 32 解析 由题意可设 P( c， y0)(c 为半焦距 )， kOP y0c， kAB ba，由于 OP AB， y0c ba， y0 bca ，把 P? ? c， bca 代入椭圆方程得 c2a2 ?bca2b2 1，即 ?ca2 12， eca22 .故选 C 二、填空题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 7若 F1， F2分别是椭圆 E： x2 y2b
5、2 1(0b0)， B1PA2为钝角， 即 B2A2 ， F2B1 所夹的角为钝角， (a， b)( c， b)0，即 e2 e 10， e 5 12 或 eb0)过点 (0,4)，离心率为35. (1)求 C 的方程； (2)求过点 (3,0)且斜率为 45的直线被 C 所截线段的中点坐标 解析 (1)将 (0,4)代入 C 的方程得 16b2 1， b 4， 由 e ca 35，得 a2 b2a2 925，即 116a2925， a 5， C 的方程为 x225y216 1. (2)过点 (3,0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3)， 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1， y
6、1)， B(x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0) 将 y 45(x 3)代入椭圆 C 的方程，得 x225x 225 1， 即 x2 3x 8 0， x0 x1 x22 32， y0 y1 y22 25(x1 x2 6) 65， 即线段 AB 的中点坐标为 ? ?32， 65 . 11 (2018 广州五校联考 )已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率 e22 ，且经过点( 6， 1)， O 为坐标原点 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆， M 是直线 x 4 在 x 轴上方的一点，过 M 作圆O 的两条切线，切点分
7、别为 P， Q，当 PMQ 60 ，求直线 PQ 的方程 解析 (1) ca 22 ， a2 2c2， a2 2b2， 又椭圆 E 经过点 ( 6， 1)， 6a2 1b2 1，解得 a 2 2， b 2， 椭圆 E 的标准方程为 x28y24 1. (2)连接 OM， OP， OQ， OM 与 PQ 交于点 A， 依题意可设 M( 4， m)(m0) 由圆的切线性质及 PMQ 60 ，可知 OPM 为直角三角形且 OMP 30 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = |OP| 2 2， |OM| 4 2， 2 m2 4 2，又 m0， 解得 m 4， M( 4,4)， 直线 OM 的斜率 kO
8、M 1， 由 |MP| |MQ|， |OP| |OQ|可得 OM PQ， 直线 PQ 的斜率 kPQ 1，设直线 PQ 的方程为 y x n， OMP 30 ， POM 60 ， OPA 30 ，由 |OP| 2 2知 |OA| 2，即点 O 到直线 PQ 的距离为 2， |n|12 2 2，解得 n 2( 舍去负值 )， 直线 PQ 的方程为 x y 2 0. 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22 ，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时， |AB| |CD| 3 2. (1)求椭圆的方程；
9、(2)求以 A， B， C， D 为顶点的四边形的面积的取值范围 解析 (1)由题意知， e ca 22 ，则 a 2c， b c. 当直线 AB 的斜率为 0 时， |AB| |CD| 2a 2b2a 2 2c 2c 3 2， c 1. 椭圆的方程为 x22 y2 1. (2) 当直线 AB 与直线 CD 中有一条与 x 轴垂直时，另一条与 x 轴重合 由题意知 S 四边形 12|AB| CD| 122 2 2 2. 当 AB， CD 都不垂直于坐标轴 时，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y k(x 1)， 则直线 CD 的方程为 y 1k(x 1) 代入
10、 x2 2y2 2 0 中得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0， x1 x2 4k21 2k2， x1x22k2 21 2k2， |AB| k2 1|x1 x2| =【 ;精品教育资源文库 】 = k2 1 2 2 k2 11 2k2 2 2 k21 2k2 . 同理， |CD|2 2? ?1k2 11 2k2 2 2 k2k2 2 . S 四边形 12| AB| CD| 12 2 2 k21 2k2 2 2 k2k2 2 k2 22k4 2 5k2 4? ?k 1k 22? ?k 1k 2 1 2 22? ?k 1k 2 1. 2? ?k 1k 2 12 ? ?2 k 1k 2 1 9， 当且仅当 k 1 时取等号， S 四边形 ? ?169 ， 2 . 综合 与 可知， S 四边形 ? ?169 ， 2 .
