1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 函数的单调性与最值 1 (2014 年北京 )下列函数中，定义域是 R，且为增函数的是 ( ) A y e x B y x3 C y ln x D y |x| 2设奇函数 f(x)在 (0， ) 上为增函数，且 f(1) 0，则不等式 f x f xx f( 2)，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ? ， 12 B.? ? ， 12 ? ?32， C.? ?12， 32 D.? ?32， 6 (2017 年山东 )若函数 exf(x)(e 2.718 28 ，是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上 单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质
2、，下列函数中具有 M 性质的是 ( ) A f(x) 2 x B f(x) x2 C f(x) 3 x D f(x) cos x 7已知函数 f(x) x3 sin x， x ( 1,1)，如果 f(1 m) f(1 m2)0； (2)若关于 x 的方程 f(x) log2(a 4)x 2a 5 0 的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)设 a0，若对任意 t ? ?12， 1 ，函数 f(x)在区间 t， t 1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围 10 (2014 年大纲 )函数 f(x) ax3 3x2 3x(a0) (1)讨
3、论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)在区间 (1,2)上是增函数，求 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 函数的单调性与最值 1 B 解析： y e x ? ?1e x 在 R 上单调递减； y ln x 的定义域为 (0， ) ； y |x|? x， x0 ， x， xx 12x成立，即 a? ?x 12x min.又 x 12x在 (0， ) 上单调递增，所以 ? ?x 12x min 0 120 1.故 a 1.故选 D. 5 C 解析：由题意，得 f( 2|a 1|)f( 2)? 2|a 1| 2?2|a 1|0，得 1x 51. 解得 x ?
4、? ， 14 ( )0， . (2)1x a (a 4)x 2a 5， 即 (a 4)x2 (a 5)x 1 0. 当 a 4 时， x 1，经检验，满足题意 当 a 3 时， x1 x2 1，经检验，满足题意 当 a3 ，且 a4 时， x1 1a 4， x2 1， x1 x2. =【 ;精品教育资源文库 】 = x1是原方程的解当且仅当 1x1 a0，即 a2； x2是原方程的解当且仅当 1x2 a0，即 a1. 于是满足题意的 a (1,2 综上所述， a 的取值范围为 (1,2 3,4 (3)当 01x2 a， log2? ?1x1 a log2? ?1x2 a ， 所以 f(x)在
5、(0， ) 上单调递减 函数 f(x)在区间 t， t 1上的最大值与最小值分别为 f(t)， f(t 1) f(t) f(t 1) log2? ?1t a log2? ?1t 1 a 1 ，即 at2 (a 1)t 10 对任意 t?121成立 因为 a0，所以函数 y at2 (a 1)t 1 在区间?121上单调递增，当 t 12时， y 有最小值 34a 12. 由 34a 120 ，得 a 23. 故 a 的取值范围为 ? ?23， . 10解： (1)f( x) 3ax2 6x 3， f( x) 3ax2 6x 3 0 的判别式 36(1 a) 若 a1 ， 0 ，则 f( x)0
6、 ，且 f( x) 0 当且仅当 a 1， x 1， 故此时 f(x)在 R 上是增函数 由于 a0 ，故当 ax2， 则当 x ( ， x2)或 x (x1， ) 时， f( x)0. 故 f(x)在 ( ， x2)， (x1， ) 上是增函数； 当 x (x2， x1)时， f( x)0. 故 f(x)在 (x1， x2)上是增函数 (2)当 a0， x0 时， f( x)0. 所以当 a0 时， f(x)在区间 (1,2)上是增函数 当 a0 时， f(x)在区间 (1,2)上是增函数当且仅当 f(1)0 ，且 f(2)0 ，解得 54 a0. 综上所述， a 的取值范围是?540 (0， )
