1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 函数的单调性与最值 1增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I， (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 _任意两个 _自变量的值 x1， x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 _减函数 _. 2单调性与单调区间 如果函数 y f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在 这一区间具有 (严格的 )_单调性 _，区间 D 叫做 y f(x)的 _单调区间 _. 3函数的最大值与最小值 一般地，设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)对于任意的 x
2、I，都有 _f(x) M_；存在 x0 I，使得 _f(x0) M_，那么，我们称 M 是函数 y f(x)的最大值 (2)对于任意的 x I，都有 _f(x) M_；存在 x0 I，使得 _f(x0) M_，那么我们称M 是函数 y f(x)的最小值 4函数单调性的常用结论 区间 D 上单调递增 区间 D 上单调递减 考纲要求 考情分析 命题趋势 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2017 全国卷 ， 5 2017 浙江卷， 17 2016 全国卷 ，21(1) 2016 四川卷， 20(1) 1函数的单调性和最值等是高考热点题型，经常是利用单调性求最值或者是求参数的范围 2难度
3、小，偏重技巧，主要以选、填形式出现，属基础试题 3解题时考生要认真分析，选准突破口，采用适当的方法，如数形结合、分类讨论等方法函数的单调区间不能用并集，注意端点值的取舍 分值： 4 6 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 定义法 x1f(x2) 图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的 导数法 导数大于零 导数小于零 运算法 递增递增递增 递减递减递减 复合法 内外层单调性相同 内外层单调性相反 5对勾函数的单调性 对勾函数 y x ax(a0)的递增区间为 ( ， a和 a， ) ；递减区间为 a，0)和 (0， a，且对勾函数为奇函数 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)
4、函数 y 1x的单调递减区间为 ( ， 0) (0， ) ( ) (2)函数 f(x)在区间 a， b上单调递增，则函数 f(x)的单调递增区间为 a， b ( ) (3)若 f(x)是增函数， g(x)是增函数，则 f(x) g(x)也是增函数 ( ) (4)已知函数 y f(x)在 R 上是增函数，则函数 y f( x)在 R 上是减函数 ( ) 解析 (1)错误一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号 “ ”连接，也不能用 “ 或 ” 连接 (2)错误 f(x)在区间 a， b上是递增的并不能排除 f(x)在其他区间上单调递增，而 f(x)的单调递增区间为 a， b意味着
5、 f(x)在其他区间上不可能是递增的 (3)错误举反例：设 f(x) x， g(x) x 2 都是定义域 R 上的增函数，但是 f(x) g(x) x2 2x 在 R 上不是增函数 (4)正确易知函数 y f(x)与 y f( x)的图象关于 y 轴对称，由对称性可知结论正确 2 (2016 北京卷 )下列函数中，在区间 ( 1,1)上为减函数的是 ( D ) A y 11 x B y cos x C y ln(x 1) D y 2 x 解析 A 项中， y 11 x 1 ?x 1?的图象是将 y 1x的图象向右平移 1 个单位得到的，故 y 11 x在 ( 1,1)上为增函数，不符合题意；
6、B 项中， y cos x 在 ( 1,0)上为增函数，在 (0,1)上为减函数，不符合题意； C 项中， y ln (x 1)的图象是将 y ln x 的图象向左平移 1 个单位得到的，故 y ln (x 1)在 ( 1,1)上为增函数，不符合题意 ； D 项符合题意 3若函数 y ax 1 在 1,2上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是 ( C ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 2 B 2 C 2 或 2 D 0 解析 当 a0 时，由题意得 2a 1 (a 1) 2，则 a 2；当 a0)在 x ( 1,1)上的单调性 解析 (1)任取 x1， x2 ( 1， ) ，
7、且 x1 1， x2 1， x1 10， x2 10， 又 x10， x2 x1?x1 1?x2 1?0，即 y1 y20. y1y2， 函数 y x 2x 1在 ( 1， ) 上是减函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)f( x) a?x2 1? 2ax2?x2 1?2 a?x2 1?x2 1?2 . 又 a0，所以 f( x)0，则 x2. 函数 y log12(x2 3x 2)的定义域为 ( ， 1) (2， ) 又 u x2 3x 2 的对称轴为 x 32，且开口向上， =【 ;精品教育资源文库 】 = u x2 3x 2 在 ( ， 1)上是单调减函数，在 (2， ) 上是单
8、调增函数而 y log12u 在 (0， ) 上是单调减函数， y log12(x2 3x 2)的单调递减区间为 (2， ) ，单调递增区间为 ( ， 1) 三 求函数的值域 (最值 ) 求函数值域 (最值 )的常用方法 (1)分离常数法形如 y cx dax b(ac0) 的函数的值域经常使用 “ 分离常数 法 ” 求解 (2)配方法配方法是求 “ 二次函数型函数 ” 值域的基本方法，形如 F(x) a(f(x)2bf(x) c(a0) 的函数的值域问题，均可使用配方法 (3)换元法 代数换元，形如 y ax b cx d(a， b， c， d 为常数， ac0) 的函数，可设 cx d t
9、(t0) ，转化为二次函数求值域 三角换元对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响 另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域 (最值 ) 【例 3】 求下列函数的值域 (1)y 5x 14x 2， x 3， 1； (2)y 2x 1 2x； (3)y x 4 9 x2； (4)y ?x 3?2 16 ?x 5?2 4. 解析 (1)(有界性法 )由 y 5x 14x 2， 得 x 2y 15 4y. 3 x 1， 3 2y 15 4y 1， 解得 85 y3 ， 函数的值域为 ? ?85， 3 . (2)(代数换元法 )令 t 1 2x(t0
10、) ，则 x 1 t22 ， y t2 t 1 ? ?t 12 2 54. 当 t 12，即 x 38时， y 取最大值， ymax 54，且 y 无最小值， 函数的值域为 ? ? ， 54 . (3)(三角换元法 )令 x 3cos ， 0， ，则 =【 ;精品教育资源文库 】 = y 3cos 4 3sin 3 2sin? ? 4 4. 0 ， 4 4 54 ， 22 sin ? ? 4 1 1 y3 2 4， 函数的值域为 1,3 2 4 (4)(数形结合法 )如图，函数 y ?x 3?2 16 ?x 5?2 4的几何意义为平面内一点P(x,0)到点 A( 3,4)和点 B(5,2)的距
11、离之和由平面解析几何知识，找出 B 关于 x 轴的对称点 B(5 ， 2)，连接 AB 交 x 轴于点 P，此时距离之和最小， ymin |AB| 82 6210，又 y 无最大值， 函数的值域为 10， ) 四 函数单调性的应用 (1)含 “ f” 不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉 “ f” ，转化为具体的不等式 (组 )，此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内 (2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选
12、择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解 (3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程 (组 )(不等式(组 )或先得到其图象的升降 ，再结合图象求解 【例 4】 (1)(2017 全国卷 )函数 f(x)在 ( ， ) 单调递减，且为奇函数，若f(1) 1，则满足 1 f(x 2)1 的 x 的取值范围是 ( D ) A 2,2 B 1,1 C 0,4 D 1,3 (2)如果函数 f(x) ax2 2x 3 在区间 ( ， 4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是 ( D ) A ? ? 14， B ? ? 14， C ? ? 14， 0 D ? ? 14， 0
13、=【 ;精品教育资源文库 】 = (3)若函数 f(x) loga(6 ax)在 0,2上为减函数，则实数 a 的取值范围是 ( B ) A (0,1) B (1,3) C (1,3 D 3， ) 解析 (1) 函数 f(x)在 ( ， ) 单调递减，且 f(1) 1， f( 1) f(1)，由 1 f(x 2)1 ，得 1 x 21 ， 1 x3 ，故选 D (2)当 a 0 时， f(x) 2x 3，在定义域 R 上是单调递增的， 故在 ( ， 4)上单调递增； 当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x 1a，因为 f(x)在 ( ， 4)上单调递增，所以 a1 且 6 2a0，解得
14、 11 时， f(x)在 0,1上单调递减， M m f(0) f(1) 1 a 与 a 有关，与 b 无关综上所述， M m 与 a 有关，但与b 无关，故选 B 3若函数 f(x) |2x a|的单调递增区间是 3， ) ，则 a _ 6_. 解析 由图象的对称性，知函数 f(x) |2x a|关于直线 x a2对称，因为函数 f(x) |2x a|的单调递增区间是 3， ) ，所以 a2 3，即 a 6. 4函数 y x x(x0) 的最大值为 ！ 14 #. 解析 令 t x，则 t0 ，所以 y t t2 ? ?t 12 2 14，结合图象知，当 t 12，即 x 14时， ymax 14. 易错点 1 忽视函数的定义域 错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的 “ 同增异减 ” 原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则 【例 1】 函数 y x2 2x的单 调增区间为 _，减区间为 _. 解析 由 x2 2x0 得函数的定义域为 0,2 t x2 2x (x 1)2 1 在 0,
