1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 11 讲 解密考纲 本考点考查函数与方程的关系、函数的零点在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等 一、选择题 1函数 f(x) x3 2x 1 的零点所在的大致区间是 ( A ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 解析 f(0) 10，则 f(0) f(1) 20，故零点一定在区间 (2,3)内 3 f(x) 2sin x x 1 的零点个数为 ( B ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析 令 f(x) 0，则 2sin x x
2、1，令 h(x) 2sin x， g(x) x 1，则 f(x) 2sin x x 1 的零点个数为两个函数 h(x)与 g(x)图象的交点个数 h(x) 2sin x的最小正周期为 T 2 2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有 5 个，所以 f(x) 2sin x x 1 的零点个数为 5. 4已知方程 |x2 a| x 2 0 有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围为 ( B ) A (0,4) B (4， ) C (0,2) D (2， ) 解析 依题意，知方程 |x2 a| x 2 有两个不等的实数根，即函数 y1 |x2 a|的图象与函数 y
3、2 x 2 的图象有两个不同的交点如图，则 a2，即 a4，故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 5已知函数 f(x) e|x| |x|，若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是 ( B ) A (0,1) B (1， ) C ( 1,0) D ( ， 1) 解析 因为 f( x) e| x| | x| e|x| |x| f(x)，故 f(x)是偶函数当 x0 时，f(x) ex x 是增函数，故 f(x) f(0) 1，由偶函数图象关于 y 轴对称，知 f(x)在 ( ，0)上是减函数，值域为 1， ) ，作出函数 y f(x)与 y k 的图象，如图
4、所示，由图可知，实数 k 的取值范围是 (1， ) ，故选 B 6已知 f(x 1) f(x 1)， f(x) f( x 2)，方程 f(x) 0 在 0,1内有且只有一个根 x 12，则 f(x) 0 在区间 0,2 017内根的个数为 ( C ) A 2 015 B 1 008 C 2 017 D 1 009 解析 由 f(x 1) f(x 1)，可知 f(x 2) f(x)，所以函数 f(x)的周期是 2.由 f(x) f( x 2)可知函数 f(x)的图象关于直线 x 1 对称因为函数 f(x) 0 在 0,1内有且只有一个根 x 12，所以函数 f(x) 0 在区间 0,2 017内
5、根的个数为 2 017，故选 C 二、填空题 7若二次函数 f(x) x2 2ax 4 在 (1， ) 上有两个零点，则实数 a 的取值范围为 _? ?2， 52 _. 解析 依据二次函数的图象有 ? 0， 2a2 1，f ，即? 4a2 160，a1，a0 时， f(x) 2 017x log2 017x，则在 R 上函数f(x)零点的个数为 _3_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0) 0，当 x0 时， f(x) 2 017x log2 017x在区间 ? ?0， 12 017 内存在一个零点，又 f(x)为增函数，因此在 (0， )
6、 内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在 ( ， 0)内有且仅有一零点，从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3. 9已知函数 f(x)? 2x a， x0 ，x2 3ax a， x0 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ?49， 1 . 解析 依题意，要使函数 f(x)有三个不同的零点，则当 x0 时，方程 2x a 0，即 2x a 必有一个根，此时 00 时，方程 x2 3ax a 0 有两个不等的实根，即方程 x2 3ax a 0 有两个不等的正实根， 于是有? 9a2 4a0，3a0，a0，解得 a49， 因此，满足题意的实数 a 需满足? 049， 即490 恒成
7、立， 即对于任意 b R， b2 4ab 4a0 恒成立， 所以有 ( 4a)2 4(4 a)0) (1)若 y g(x) m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 解析 (1) x0 时， g(x) x e2x2 e2 2e，等号成立的条件是 x e，故 g(x)的值域是 2e， ) ，因而只需 m2e 时， y g(x) m 就有零点所以 m 的取值范围是 2e，) (2)若 g(x) f(x) 0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x) x e2x(x0)的大致图象 f(x) x2 2ex m 1 (x e)2 m 1 e2. 其图象的 对称轴为 x e，开口向下，最大值为 m 1 e2. 故当 m 1 e22e，即 m e2 2e 1 时， g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x) f(x) 0有两个相异实根 m 的取值范围是 ( e2 2e 1， )
