1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 56 讲 二项式定理 解密考纲 对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现 一、选择题 1二项式 ? ?x 2x2 10的展开式中的常数项是 ( A ) A 180 B 90 C 45 D 360 解析 ? ?x 2x2 10的展开式 的通项为 Tk 1 Ck10( x)10 k ? ?2x2 k 2kCk10x552 k，令 5 52k0，得 k 2，故常数项为 22C210 180. 2设 n 为正整数， ? ?x 1x x 2n展开式中存在常数项
2、，则 n 的一个可能取值为 ( B ) A 16 B 10 C 4 D 2 解析 ? ?x 1x x 2n展开式的通项公式为 Tk 1 Ck2nx2n k ? ? 1x x k Ck2n( 1)kx4n 5k2 ，令4n 5k2 0，得 k4n5 ，依据选项知 n 可取 10. 3.? ?ax 36 6的展开式的第二项的系数为 3，则 ?-2a x2dx 的值为 ( B ) A 3 B 73 C 3 或 73 D 3 或 103 解析 该二项展开式的第二项的系数为 C16 36 a5，由 C16 36 a5 3，解得 a 1，因此 ?-2ax2dx ? 2 1x2dx x33| 1 21383
3、73. 4已知 (1 x)10 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a10(1 x)10，则 a8 ( D ) A 5 B 5 C 90 D 180 解析 (1 x)10 2 (1 x)10 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 a10(1 x)10， a8C8102 2( 1)8 180，故选 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 5若 (3 y x)5展开式的第三项为 10，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状为 ( D ) 解析 (3 y x)5的展开式的通项为 Tr 1 Cr5xr2 y5-r3 ，则 T3 C25xy 10，即 xy 1，由题意知 x0 ，故 D 选项的图象符
4、合 6在 (2x xlg x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1 120，则 x ( C ) A 1 B 110 C 1 或 110 D 1 解析 二项式系数最大的项为第 5 项，由题意可知 T5 C48(2x)4( xlg x)4 1 120， x4(1lg x) 1，两边取对数可知 lg2x lg x 0，得 lg x 0 或 lg x 1，故 x 1 或 x 110. 二、填空题 7 (2017 浙江卷 )已知多项式 (x 1)3(x 2)2 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5，则 a4_16_， a5 _4_. 解析 由题意知 a4为展开式含 x 的项的系数，根
5、据二项式定理得 a4 C231 2C 222 2 C331 3C 122 16， a5是常数项，所以 a5 C331 3C 222 2 4. 8 (2016 全国卷 )(2x x)5 的展开式中，含 x3 项的系数是 _10_(用数字填写答案 ) 解析 由 (2x x)5得 Tr 1 Cr5(2x)5 r( x)r 25 rCr5x5r2 ， 令 5 r2 3 得 r 4，此时系数为 10. 9若二项式?x 23xn的展开式中的常数项是 80，则该展开式的二项式系数之和等于_32_. 解析 对于 Tr 1 Crn( x)n r?23xr Crn2rxn-r2 r3，当 r35n 时展开式为常数
6、项，因此 n为 5 的倍数，不妨设 n 5m，则有 r 3m，则 23mC3m5m 80，因此 m 1，则该展开式中的二项式系数之和等于 2n 25 32. 三、解答题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10已知在?3 x 123 xn的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 解析 (1)依题意知?3 x 123 xn 的展开式的通项为 Tr 1 Crn(3 x)n r? 123 xr? 12rCrnxn-2r3 ， 又第 6 项为常数项，则当 r 5 时， n 2r3 0，即 n 103 0， 解得 n 10. (2)由 (1
7、)得 Tr 1 ? ? 12 rCr10x10-2r3 ，令 10 2r3 2，解得 r 2， 故含 x2的项的系数为 ? ? 12 2C210 454. (3)若 Tr 1为有理项，则有 10 2r3 Z，且 0 r10 ， r Z， 故 r 2,5,8， 则展开式中的有理项 分别为 T3 C210? ? 12 2x2 454x2， T6 C510? ? 12 5 638 ， T9 C810? ? 12 8x 2 45256x 2. 11已知 (1 2x)7 a0 a1x a2x2 a7x7，求： (1)a1 a2 a7； (2)a1 a3 a5 a7； (3)a0 a2 a4 a6； (4
8、)|a0| |a1| |a2| |a7|. 解析 令 x 1， 得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1. 令 x 1， 得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37. (1) a0 C07 1， a1 a2 a3 a7 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)( )2 ， 得 a1 a3 a5 a7 1 372 1 094. (3)( )2 ， 得 a0 a2 a4 a6 1 372 1 093. (4) (1 2x)7展开式中 a0， a2， a4， a6大于零 ， 而 a1， a3， a5， a7小于零 ， |a0| |a1| |a2| |a7| (a0
9、a2 a4 a6) (a1 a3 a5 a7) 1 093 ( 1 094) 2 187. 12已知 ? ?12 2x n，求： (1)展开式中第 5 项，第 6 项与 第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项 解析 (1) C4n C6n 2C5n， n2 21n 98 0. n 7 或 n 14， 当 n 7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5. T4的系数为 C37? ?12 423 352 ， T5的系数为 C47? ?12 324 70， 当 n 14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. T8的系数为 C714? ?12 727 3 432. (2) C0n C1n C2n 79， n2 n 156 0. n 12 或 n 13(舍去 )设 Tk 1项的系数最大， ? ?12 2x 12 ? ?12 12(1 4x)12， ? Ck124kC k 112 4k 1，Ck124kC k 112 4k 1， 9.4 k10.4 ， k N， k 10. 展开式中 系数最大的项为 T11， T11 C1012 ? ?12 22 10 x10 16 896x10.
