1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 39 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间图形 (长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合 )的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图 3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 4了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 . 2017 江苏卷， 18 2016 全国卷 ， 3 2016 四川卷， 13 2016 全国卷 ， 6 2
2、016 全国卷 ， 9 2016 山东卷， 5 空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积 . 分值： 5 分 1空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面 _平行 _，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 _公共顶点 _的三角形 棱台 棱锥被平行于 _底面 _的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 . (2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一直角
3、边所在的直线 圆台 直角梯形或等腰梯 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连=【 ;精品教育资源文库 】 = 形 线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： _正视图 _、 _侧视图 _、 _俯视图 _. (2)三视图的画法 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成 _虚线 _. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别 是从几何体的 _正前 _方、 _正左 _方、 _正上 _方观察几何体的正投影图 3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 _斜二测 _画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中，
4、 x 轴， y 轴的夹角为 _45 或135 _， z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面 _垂直 _. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 _平行于坐标轴 _； 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 _不变 _； 平行于 y 轴的线段在直观图中长度为 _原来的一半 _. 4空间几何体的 表面积与体积 名称几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V _Sh_ 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V _13Sh_ 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h 球
5、S _4 R2_ V _43 R3_ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱 ( ) (2)有一个面是多边形，其 余各面都是三角形的几何体是棱锥 ( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱 ( ) (4)用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A90 ，则在直观图中， A 45.( ) (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)错误因为侧棱不一定与底面垂直 (2)错误尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形
6、具有公共顶点 (3)错误因为两个平行截面不能保证与底面平行 (4)错误 A 应为 45 或 135. (5)错误正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同 2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( C ) A圆柱 B圆锥 C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面 3 (2017 全国卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积 为 ( B ) A 9
7、0 B 63 C 42 D 36 解析 方法一 由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积 V 3 210 123 26 63. 方法二 依题意，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为 3，高为 7 的圆柱的体积，所以它的体积 V3 27 63 ，选择 B 4表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直 径为 _2_. 解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 rl r2 3 ， l 2 r，解得 r 1，即直径为 2. 5某
8、几何体的三视图如图所示，其中正视图的等腰三角形腰长为 2，侧视图是半径为 1的半圆，则该几何体的表面积是 _2( 3)_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为 2 3；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2( 3) 一 空间几何体的三视图和直观图 (1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即 “ 长对正，宽相等，高平齐 ” (2)解决有关 “ 斜二测画法 ” 问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽
9、量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系 【例 1】 (1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是 ( B ) A B C D (2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观 图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( A ) (3)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能是 ( C ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩
10、形内部有一条线段连接的两个三角形 (2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2. (3)当正视图为等腰三角形时，则高应为 2，且应为虚线，排除 A， D 项；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线，故答案为 C 二 空间几何体的表面积和体积 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 (3)若所
11、给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解 其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积 (4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 (5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 【例 2】 (1)(2017 北京卷 )某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ( B ) A 3 2 B 2 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 2 2 D 2 (2)(2016 全国卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的表面积
12、为 ( B ) A 18 36 5 B 54 18 5 C 90 D 81 解析 (1)由三视图还原为如图所示的四棱锥 A BCC1B1，从图中易得最长的棱为 AC1AC2 CC21 ?22 22? 22 2 3. (2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形 (边长为 3)，高为 6，侧棱长为 3 5的斜四棱柱，其表面积 S 23 2 233 5 236 54 18 5，故选 B 三 与球有关的切、接问题 (1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥 (2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离
13、恰为棱柱高的 12.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径 (3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题 (4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或 “ 切点 ”“ 接 点 ” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题 【例 3】 (1)(2017 全国卷 )已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( B ) A B 34 C 2 D 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)(2017 全国卷 )如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D， E， F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积 (单位： cm3)的最大值为 _4 15_. 解析 (1)设圆柱的底面半径为 r，则 r2 12 ? ?12 2 34，所以，圆柱的体积 V 341 34 ，故选 B (2)方法一 由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，设
