1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 41 讲 直线 、 平面平行的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能以立体几何中的定义 、 公理和定理为出发点 ， 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 2 能运用公理 、 定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题 . 2017 江苏卷， 15 2016 全国卷 ，14 2016 四川卷， 18 与直线 、 平面平行有关的命题判断；线线平行的证明；线面平行的证明；面面平行的证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置 . 分值： 4 6 分 1 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外
2、一条直线与 _此平面内 _的一条直线平行 ， 则该直线与此平面平行 (线线平行 ?线面平行 ) _l a_， _a? _， _l? _?l 性质定理 一条直线与一个平面平行 ， 则过这条直线的任一平面与此平面的 _交线 _与该直线平行 (简记为 “ 线面平行 ?线线平行 ”) _l _， _l? _， _ b_?l b 2 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条 _相交直线 _与另一 个平面平行 ， 则这两个平面平行 (简记为 “ 线面平行 ?面面平行 ”) _a _， _b _， _a b P_， _a? ，_ _b? _? 性质定理 如
3、果两个平行平面同时和第三个平面 _相交 _， 那么它们的 _交线 _平行 _ _， _ a_， _ b_?a b 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ， 那么这两个平面平行 ( ) (2)如果两个平面平行 ， 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异 面 ( ) (3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行 ， 则 a .( ) (4)平行于同一平面的两条直线平行 ( ) (5)若 ， 且直线 a ， 则直线 a .( ) 解析 (1)错误当这两条直线为相交直线时 ， 才能保证这两个平面平行 (2)正确
4、如果两个平面平行 ， 则在这两个平面内的直线没有公共点 ， 则它们平行或异面 (3)错误若直线 a 与平面 内无数条直线平行 ， 则 a 或 a? . (4)错误两条直线平行或相交或异面 (5)错误直线 a 或直线 a? . 2 下列条件中 ， 能作为两平面平行 的充分条件的是 ( D ) A一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析 由面面平行的定义可知 ， 一平面内所有的直线都平行于另一个平面时 ， 两平面才能平行 ， 故 D 正确 3 (2016 全国卷 )平面
5、过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n， 则 m， n 所成角的正弦值为 ( A ) A 32 B 22 C 33 D 13 解析 如图 ， 延长 B1A1至 A2， 使 A2A1 B1A1， 延长 D1A1至 A3， 使 A3A1 D1A1， 连接 AA2， AA3，A2A3， A1B， A1D 易证 AA2 A1B D1C， AA3 A1D B1C 平面 AA2A3 平面 CB1D1， 即平面 AA2A3为平面 . 于是 m A2A3， 直线 AA2即为直线 n.显然有 AA2 AA3 A2A3， 于是 m， n
6、所成的角为 60 ，其正弦值为 32 .选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 已知直线 a， b， 平面 ， 则以下三个命题： 若 a b， b? ， 则 a ； 若 a b， a ， 则 b ； 若 a ， b ， 则 a b. 其中真命题的个数是 ( A ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 对于命题 ， 若 a b， b? ， 则应有 a 或 a? ， 所以 不正确； 对于命题 ， 若 a b， a ， 则应有 b 或 b? ， 因此 也不正确； 对于命题 ， 若 a ， b ， 则应有 a b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面 ， 因此 也不正确 5 在正方体 AB
7、CD A1B1C1D1中 ， E 是 DD1的中点 ， 则 BD1与平面 ACE 的位置关系为 _平行_. 解析 如图连接 AC， BD 交于 O 点 ， 连接 OE， 因为 OE BD1， 而 OE?平面 ACE， BD1?平面 ACE， 所以 BD1 平面 ACE. 一 直线与平面平行的判定与性质 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义 (无公共点 ) (2)利用线面平行的判定定理 (a? ， b? ， a b?a ) (3)利用面面平行的性质定理 ( ， a? ?a ) (4)利用面面平行的性质 ( ， a? ， a? ， a ?a ) 【例 1】 (2017 江苏卷 )
8、如图 ， 在三棱锥 A BCD 中 ， AB AD， BC BD， 平面 ABD 平面 BCD， 点 E， F(E 与 A， D 不重合 )分别在棱 AD， BD 上 ， 且 EF AD =【 ;精品教育资源文库 】 = 求证： (1)EF 平面 ABC； (2)AD AC 解析 (1)在平面 ABD 内 ， 因为 AB AD， EF AD， 所以 EF AB 又因为 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC， 所以 EF 平面 ABC (2)因为平面 ABD 平面 BCD， 平面 ADB 平面 BCD BD， BC?平面 BCD， BC BD， 所以 BC 平面 ABD 因为 AD?平面 A
9、DB， 所以 BC AD 又 AB AD， BC AB B， AB?平面 ABC， BC?平面 ABC， 所以 AD 平面 ABC 又因为 AC?平面 ABC， 所以 AD AC 二 平面与平面平行的判定与性质 判定面面平行的四种方法 (1)利用定义 ， 即证两个平面没有公共点 (不常用 ) (2)利用面面平行的判定定理 (主要方法 ) (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行 (客观题可用 ) (4)利用平面平行的传递性 ， 即两个平面同时平行于第三个平面 ， 则这两个平面平行 (客观题可用 ) 【例 2】 如图所示 ， 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ， E， F， G， H 分别是 AB
10、， AC， A1B1， A1C1的中点 ， 求证： (1)B， C， H， G 四点共面； (2)平面 EFA1 平面 BCHG. 证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = GH 是 A1B1C1的中位线 ， GH B1C1. 又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面 (2) E， F 分别是 AB， AC 的中点 ， EF BC EF?平面 BCHG， BC?平面 BCHG， EF 平面 BCHG. A1G EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形 ， A1E GB A1E?平面 BCHG， GB?平面 BCH
11、G， A1E 平面 BCHG. A1E EF E， 平面 EFA1 平面 BCHG. 三 空间平行关系的探索性问题 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在 ， 从这个结果出发 ， 寻找使这个结论成立的充分条件 ， 如果找到了使结论成立的充分条件 ， 则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾 )， 则不存在而对于探求点的问题 ， 一般是先探求点的位置 ， 多为线段的中点或某个等分点 ， 然后给出符合要求的证明 【例 3】 如图所示 ， 四边形 ABCD 为矩形 ， DA 平面 ABE, AE EB BC 2， BF 平 面ACE 于点 F， 且点 F 在线段 CE 上 (1)求证： AE
12、 BE； (2)设点 M 在线段 AB 上 ， 且满足 AM 2MB， 试在线段 CE 上确定一点 N， 使得 MN 平面ADE. 解析 (1)证明：由 DA 平面 ABE 及 AD BC， 得 BC 平面 ABE， 又 AE?平面 ABE， 所以 AE BC， 因为 BF 平面 ACE， AE?平面 ACE， 所以 BF AE， 又 BC BF B， BC， BF?平面 BCE， 所以 AE 平面 BCE. 因为 BE?平面 BCE， 故 AE BE. (2)在 ABE 中 ， 过点 M 作 MG AE 交 BE 于点 G， 在 BEC 中 ， 过点 G 作 GN BC 交 CE 于点 N，
13、 连接 MN， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则由 CNCE BGBE MBAB 13， 得 CN 13CE. 因为 MG AE， AE?平面 ADE， MG?平面 ADE， 所以 MG 平面 ADE， 又 GN BC， BC AD， AD?平面 ADE， GN?平面 ADE， 所以 GN 平面 ADE， 又 MG GN G， 所以平面 MGN 平面 ADE， 因为 MN?平面 MGN， 所以 MN 平面 ADE. 故当点 N 为线段 CE 上靠近 C 的一个三等分点时 ， MN 平 面 ADE. 1有下列命题： 若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l ； 若直线 a 在平面
14、外，则 a ； 若直线 a b， b ，则 a ； 若直线 a b， b ，则 a 平行于平面 内的无数条直线 其中真命题的个数是 ( A ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 命题 ， l 可以在平面 内 ， 不正确；命题 ， 直线 a 与平面 可以是相交关系 ， 不正确；命题 ， a 可以在平面 内 ， 不正确；命题 正确 2 已知 m， n 是两条直线 ， ， 是两个平面 ， 给出下列命题： 若 n ， n ， 则 ； 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等 ， 则 ； 若 m， n 为异面直线 ， n? ， n ， m? ， m ， 则 . 其中正确命题的个数是 ( B ) A 3 B 2 C 1 D 0 解析 若 n ， n ， 则 n 为平面 与 的公垂线 ， 则 ， 故 正确； 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等 ， 三点可能在平面 的异侧 ， 此时 与 相交 ， 故 错误； 若 n， m 为异面直线 n? ， n ， m? ， m ， 根据面面平行的判定定理 ， 可得 正确故选 B 3 如图 ， 已知四棱锥 P ABCD 的底 面为直角梯形 ， AB CD， DAB 90 ， PA 底面=【 ;精品教育资源文库 】 = ABCD， 且 PA AD DC 12AB 1， M 是 PB 的中点
