1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 40 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 解密考纲 考查点 、 线 、 面的位 罝 关系常以选择题或填空题的形式出现 一 、 选择题 1 设 a， b 是平面 内两条不同的直线 ， l 是平面 外的一条直线 ， 则 “ l a， l b”是 “ l ” 的 ( C ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析 直线 a， b 平行时 ， 由 “ l a， l b” ?/ “ l ” ； “ l ” ?“ l a， l b” ， 所以 “ l a， l b” 是 “ l ” 的必要不充分条件 2 如图所示 ， ABCD
2、A1B1C1D1是长方体 ， O 是 B1D1的中点 ， 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是 ( A ) A A， M， O 三点共线 B A， M， O， A1不共面 C A， M， C， O 不共面 D B， B1， O， M 共面 解析 连接 A1C1， AC， 则 A1C1 AC， A1， C1， C， A 四点共面 A1C?平面 ACC1A1. M A1C， M 平面 ACC1A1. 又 M 平面 AB1D1， M 为平面 ACC1A1与 AB1D1的公共点 同理 O， A 为平面 ACC1A1与平面 AB1D1的公共点 A， M， O 三点共线 3 正方体
3、 A1C 中 ， E， F 分别是线段 BC， CD1的中点 ， 则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是 ( A ) A相交 B异面 C平行 D垂直 解析 如图所示 ， 直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1， EF?平面 A1BCD1， 且两直线不平行 ， 故两直线相交 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 已知空间中有三条线段 AB， BC 和 CD， 且 ABC BCD， 那么直线 AB 与 CD 的位置关系是 ( D ) A AB CD B AB 与 CD 异面 C AB 与 CD 相交 D AB CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解析 若
4、三条线段共面 ， 如果 AB， BC， CD 构成等腰三角形 ， 则直线 AB 与 CD 相交 ， 否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面 ， 则直线 AB 与 CD 是异面直线 5.如图 ， 直三棱柱 ABC A1B1C1中 ， BCA 90 ， 点 D1， F1分别是 A1B1， A1C1的中点 ， 若BC CA CC1 1， 则 BD1与 AF1所成角的余弦值为 ( A ) A 3010 B 12 C 3015 D 1510 解析 取 BC 的中点 E， 连接 EF1， EA， 则可知 EF1A 为 BD1与 AF1所成的角 ， 在 AEF1中 ，可求得 F1E 62 ， AF1 52
5、 ， AE 52 ， 由余弦定理得 ， cos EF1A ? ?62 2 ? ?52 2 ? ?52 22 62 52 3010 ，故选 A 6 如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 M， N 分别在 AB1， BC1上 ， 且 AM 13AB1， BN 13BC1.给出下列结论： AA1 MN； A1C1 MN； MN 平面 A1B1C1D1； B1D1 MN.其中正确结论的个数是 ( B ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 在 BB1上取一点 P， 使 BP 13BB1， 连接 PN， PM. 点 M， N 分别在 AB1， BC1上 ， 且=【 ;精品教育资源文
6、库 】 = AM 13AB1， BN 13BC1， PN B1C1， PM A1B1.又 PN PM P， B1C1 A1B1 B1， 平面 PMN平面 A1B1C1D1. MN?平面 PMN， MN 平面 A1B1C1D1.又 AA1 平面 PMN， AA1 MN.故 正确分别作 MM1 BB1， NN1 CC1， 交 A1B1， B1C1于点 M1， N1， 连接 M1N1， 则 M1N1不平行于 A1C1， MN 与 A1C1不平行又 A1C1 B1D1， B1D1与 MN 不垂直 ， 故 不正确 正确结论的个数是 2， 故选 B 二 、 填空题 7 下列如图所示是正方体和正四面体 ，
7、P， Q， R， S 分别是所在棱的中点 ， 则四个点共面的图形是 _ _. 解析 在 图中 ， 可证 Q 点所在棱与平面 PRS 平行 ， 因此 ， P， Q， R， S 四点不共面可证 中四边形 PQRS 为梯形； 中可证四边形 PQRS 为平行四边形； 中如图所示 ， 取 A1A 与BC 的中点为 M， N， 可证明 PMQNRS 为平面图形 ， 且 PMQNRS 为正六边形 8 四棱锥 P ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 上的投影恰好是 A， 其三视图如图所示 ， 其中正视图与侧视图都是腰长为 a的等腰三角形 ， 则在四棱锥 P ABCD的任意两个顶点的连线中 ，互相垂直的异面
8、直线共有 _6_对 解析 由题意可得 PA BC， PA CD， AB PD， BD PA， BD PC， AD PB， 即互相垂直的异面直线共有 6 对 9 如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点 ， 有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 MN 与 AC 所成的角为 60. 其中正确的结论为 _ _(填所有正确结论的序号 ) 解析 AM 与 CC1是异面直线 ， AM 与 BN 是异面直线 ， BN 与
9、MB1为异面直线因为 D1C MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角 ， 为 60. 三 、 解答题 10 如图 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， M， N 分别是棱 CD， CC1的中点 ， 求异面直线 A1M与 DN 所成的角的大小 解析 如图 ， 连接 D1M， 可证 D1M DN. 又 A1D1 DN， A1D1， MD1?平面 A1MD1， A1D1 MD1 D1， DN 平面 A1MD1， DN A1M， 即异面直线 A1M 与 DN 所成的夹角为 90. 11 如 图 ， 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形 ， BAD F
10、AB 90 ， BC 12AD， BE 12FA，G， H 分别为 FA, FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形 (2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？ 解析 (1)证明：由已知 FG GA， FH HD， 可得 GH 12AD 又 BC 12AD， GH BC 四边形 BCHG 为平行四边形 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 BE 12AF， G 为 FA 的中点知 ， BE FG， 四边形 BEFG 为平行四边形 EF BG.由 (1)知 BG CH， EF CH， EF 与 CH 共面 又 D FH， C， D， F， E 四点共面 12 如图所
11、示 ， 在三棱锥 P ABC 中 ， PA 平面 ABC， BAC 60 ， PA AB AC 2， E 是 PC 的中点 (1)求证： AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥 A EBC 的体积 解析 (1)证明：假设 AE 与 PB 共面 ， 设此平面为 . 因为 A ， B ， E ， 所以平面 即为平面 ABE， 所以 P 平面 ABE， 这与 P?平面 ABE 矛盾 ， 所以 AE 与 PB 是异面直线 (2)取 BC 的中点 F， 连接 EF， AF， 则 EF PB， 所以 AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成的角 ， 因为 BAC 60 ， PA AB AC 2， PA 平面 ABC， 所以 AF 3， AE 2， EF 2， 由余弦定理得 cos AEF 2 2 32 2 2 14， 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 14. (3)因为 E 是 PC 的中点 ， 所以点 E 到平面 ABC 的距离为 12PA 1， VA EBC VE ABC 13 ? ?1222 32 1 33 .
