1、第四章第四章 非线性振动非线性振动第四章第四章 非线性振动非线性振动 质点运动微分方程可分为两类质点运动微分方程可分为两类: :线性微分方程和线性微分方程和非线性微分方程非线性微分方程. . 自然界的现象自然界的现象本质上是非线性的本质上是非线性的, ,用线性微分方用线性微分方程描述自然界的现象是程描述自然界的现象是近似的近似的, ,有条件的有条件的. . 线性微分方程线性微分方程 存在存在一般的求解方法一般的求解方法. . 非线性微分方程非线性微分方程 只有只有少部分是可积的少部分是可积的, ,而且要用而且要用各不相同的特殊方法才能求出其解析解各不相同的特殊方法才能求出其解析解. .大部分是
2、不大部分是不可积的可积的, ,不可能求得他们的准确的解析解不可能求得他们的准确的解析解. .计算机技术计算机技术 非线性微分方程的数值研究非线性微分方程的数值研究 混沌混沌( (chaos) )、耗散结构、耗散结构( (dissipative structure) )、孤、孤立子立子( (soliton) )、分形、分形( (fractal) )第四章第四章 非线性振动非线性振动 一维线性振动一维线性振动 一维非线性振动及其微分方程的近似解法一维非线性振动及其微分方程的近似解法 相平面法相平面法 用数值计算和相图研究大幅度单摆运动用数值计算和相图研究大幅度单摆运动 自激振动自激振动 非线性受迫
3、振动中一些重要现象非线性受迫振动中一些重要现象 能导致混沌的倒摆的受迫振动能导致混沌的倒摆的受迫振动 周期倍化分叉周期倍化分叉 一种通向混沌的道路一种通向混沌的道路 第四章第四章 非线性振动非线性振动4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动1.1.运动微分方程的建立运动微分方程的建立 .)0(! 31)0(! 21)0()0()(32 xFxFxFFxFtFxFxFxmcos)()(0R 弹性恢复力（矩）弹性恢复力（矩）驱动力驱动力阻尼力阻尼力00)()(xFxFkF)0( )0(! 31F振幅振幅固有频率固有频率3)(xkxxFtmFxmkxmxcos0 tfxxxcos220 xxF)(R
4、当阻力满足线性条件时当阻力满足线性条件时220f4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动tFkxxxmcos0 x较小时较小时可忽略可忽略阻尼系数阻尼系数二阶线性非二阶线性非齐次方程齐次方程4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动2.2.运动微分方程的求解运动微分方程的求解0220 xxx rtxe02202rr220ir2201)ee(e11i2i1tttccx)cos(e1tAxt4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动设非齐次方程的特解设非齐次方程的特解 )cos(tBxtfxxxcos220 代代入入)sin(tBx )cos(2tBx )cos(2tBtftBtBcos)sin(2)
5、cos(220tfttBttBcos)sincoscos(sin2)sinsincos(cos220)sin(2tBtftBcos)cos(204-1 4-1 一维线性振动一维线性振动tfttBttBcos)sincoscos(sin2)sinsincos(cos220因为因为t为任意时刻都成立，等式两边为任意时刻都成立，等式两边cost的系数相的系数相等，等，sint的系数相等的系数相等)2(0cos2sin) 1 (sin2cos220220BBfBB由由（1）得得2202tan2202tan4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动2cos121sin2cos121cos22tan1tan
6、11212222204222tan1tan112122222022042222204)(fsin2cos2220BfB）式式得得由由（4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动)cos(e1tAxt)cos(4)(222220tf通通解解为为方方程程tfxxxcos220 为弹簧振子的固有频率为弹簧振子的固有频率022010为驱动力的固有频率为驱动力的固有频率4-1 一维线性振动一维线性振动3.解的讨论解的讨论（1）00f01)cos(0tAx质点自由质点自由 (简谐简谐) 振动振动 )cos(e1tAxt)cos(4)(222220tf阻尼力为阻尼力为0驱动力为驱动力为04-1 一维线性振动一
7、维线性振动（2）00ftAxe质点阻尼振动质点阻尼振动 )cos(1t)cos(e1tAxt)cos(4)(222220tf014-1 一维线性振动一维线性振动（3）00f质点受迫振动质点受迫振动 A）振动过程分为）振动过程分为暂态过程暂态过程和和稳态过程稳态过程. B）稳态过程的振幅与初始条件无关）稳态过程的振幅与初始条件无关, 并将随驱动力并将随驱动力频率的变化而改变频率的变化而改变, 会产生共振现象会产生共振现象.220c2220max2fB0ddB4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动4.4.叠加原理叠加原理tfxxxcos220 )(dd2dd2022tfxtt)(tfLx 线性算
8、线性算子子)()(tfatfnn)()(11tftLx)()(22tftLx)()(11tftLx 4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动)()()()(tftfatLxatxaLnnnnnn)(txaxnn 线性微分方程的解是多个单独分力产生的解的相线性微分方程的解是多个单独分力产生的解的相加加, , 这就是这就是叠加原理叠加原理, , 它是线性微分方程或线性算子它是线性微分方程或线性算子的重要性质的重要性质. . 各种运动同时存在时各种运动同时存在时( (一个解代表一种运动一个解代表一种运动), ), 它它们之间并不发生相互作用们之间并不发生相互作用, , 一种运动不受其他运动影一种运动不受其他运动影响响, , 就像它单独存在那样就像它单独存在那样, , 多种运动共同存在不会诱多种运动共同存在不会诱发出新的运动形态发出新的运动形态, , 总的结果只是原来那些运动的叠总的结果只是原来那些运动的叠加加. . 似乎各个运动之间存在着一种似乎各个运动之间存在着一种“壁垒壁垒”保护其独保护其独立性立性, , 这种这种“壁垒壁垒”通常称通常称“线性壁垒线性壁垒”. .
