1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 解三角形应用举例 1某人向正东方向走 x km 后，顺时针转 150 ，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好 3 km，则 x ( ) A. 3 B 2 3 C 2 3或 3 D 3 2两座灯塔 A和 B 与海洋观察站 C的距离都等于 a km，灯塔 A在观察站 C的北偏东 20的方向，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 的方向，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A a km B. 2a km C 2a km D. 3a km 3如图 X381，一艘海轮从 A 处出发，以 40 海里 /时的速度沿南偏东 40 方向直线航行， 3
2、0 分钟后到达 B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) 图 X381 A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 2海里 D 20 3海里 4 (2014 年四川 )如图 X382，从 气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67 ， 30 ，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于 _m (用四舍五入法将结果精确到个位参考数据： sin 670.92 ， cos 670.39 ， sin 370.60 ， cos 370.80 ， 31.7
3、3) 图 X382 5 (2016 年河南信阳模拟 )某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45 距离为 10 海里的C 处，该渔船沿北偏东 105 方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 海里，则舰艇到达渔 船的最短时间是 _分钟 6 (2017 年浙江 )已知 ABC， AB AC 4， BC 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2，连接 CD，则 BDC 的面积是 _， cos BDC _. 7 (2016 年上海 )已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_ 8 (2017 年广东揭阳一模 )如图 X383，在 ABC 中， B
4、6 ， AC 1，点 D 在边 AB上，且 DA DC， BD 1，则 DCA _. 图 X383 =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 (2017 年新课标 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 sin A 3cos A 0， a 2 7， b 2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD 的面积 10 (2017 年广东广州一模 )如图 X384，在 ABC 中， 点 P 在 BC 边上， PAC 60 ，PC 2， AP AC 4. (1)求 ACP； (2)若 APB 的面积是 3 32 ， 求 sin BAP.
5、图 X384 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 8 讲 解三角形应用举例 1 C 解析：如图 D105，在 ABC 中， AC 3， BC 3， ABC 30. 由余弦定理，得AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC. 3 x2 9 6xcos 30 ，解得 x 3或 2 3. 图 D105 图 D106 2 D 解析：如图 D106，依题意，得 ACB 120. 由余弦定理，得 AB2 AC2 BC22AC BCcos 120 a2 a2 2a2 ? ? 12 3a2， AB 3a km.故选 D. 3 A 解析：在 ABC 中， BAC 50 20 30 ， ABC 40 6
6、5 105 ，AB 400.5 20(海里 )，则 ACB 45. 由正弦定理，得 BCsin 30 20sin 45 .解得 BC10 2(海里 )故选 A. 4 60 解析：根据已知的图形可得 AB 46sin 67 .在 ABC 中， BCA 30 ， BAC 37 ，由正弦定理，得 ABsin 30 BCsin 37 .所以 BC2 460.920.60 60(m) 5 40 解析：设两船在 B 处碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是 x 小时，则 AC 10，AB 21x， BC 9x， ACB 120 ，由余弦定理，知 (21x)2 100 (9x)2 2109 xcos 120 ，整
7、理，得 36x2 9x 10 0.解得 x 23或 x 512(舍 )故舰艇到达渔船的最短时间是 40 分钟 6. 152 104 解析：取 BC 中点 E， DC 中点 F，连接 AE， BF.由题意知 AE BC， BF CD.在 ABE 中， cos ABC BEAB 14， cos DBC 14， sin DBC 1 116 154 . S BDC 12 BD BCsin DBC 152 . cos DBC 1 2sin2 DBF 14. sin DBF 104 . cos BDC sin DBF 104 .综上所述， BDC 的面积为 152 ， cos BDC 104 . 7.7
8、33 解析：利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦 值为 32 52 72235 12，所以此角的正弦值为 32 .设外接圆半径为 R，则 2R 732.所以 R 7 33 . 8. 3 或 9 解析：方法一，设 A ACD ， 0 2 ，则 ADC 2 ，又 AC1，由正弦定理，得 ACsin 2 CDsin ?CD 12cos .在 BDC 中，由正弦定理，得 CDsin B=【 ;精品教育资源文库 】 = BDsin BCD ?12cos sin 6 1sin? ?56 2? cos sin ? ?56 2 ? sin ? ? 2 sin? ?56 2 ，由 0 2?0 2 2 ，
9、 656 2 56 ，得 2 56 2 或 2 56 2 ? 3 或 9. ? 或 cos sin?56 2 ?cos cos?2 3 ?2 ? 3 ? 3 或 9 方法二，过点 C 作 CE AB 于点 E，设 A ACD ，则 CDB 2 .在 Rt AEC 中，CE sin . 在 Rt CED 中， DE CEtan 2 sin tan 2 . 在 Rt CEB 中， BE CEtan 6 3sin . 由 BD 1，得 sin tan 2 3sin 1?sin cos 2 3sin sin 2 sin 2?cos 2 3sin 2 2cos ?cos cos? ?2 3 ?2 3 ?
10、 3 或 9. 9解： (1)由 sin A 3cos A 0，得 tan A 3. 所以 A 23 . 在 ABC 中，由余弦定理，得 28 4 c2 4ccos23 ，即 c2 2c 24 0. 解得 c 6 (舍去 )， c 4. (2)由题设可得 CAD 2. 所以 BAD BAC CAD 6. 所以 S ABDS ACD12AB ADsin612AC AD 1. 又 ABC 的面积为 1242sin BAC 2 3， 所以 ABD 的面积为 3. 10解： (1)在 APC 中， 因为 PAC 60 ， PC 2， AP AC 4， 由余弦定理，得 PC2 AP2 AC2 2 AP
11、ACcos PAC. 所以 22 AP2 (4 AP)2 2 AP(4 AP)cos 6 0. 整理，得 AP2 4AP 4 0. 解得 AP 2.所以 AC 2. 所以 APC 是等边三角形 所以 ACP 60. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)方法一，由于 APB 是 APC 的外角， 所以 APB 120. 因为 APB 的面积是 3 32 ， 所以 12 AP PBsin APB 3 32 . 所以 PB 3. 在 APB 中， AB2 AP2 PB2 2 AP PBcos APB 22 32 223cos 120 19, 所以 AB 19. 在 APB 中， 由正弦定理，得
12、ABsin APB PBsin BAP. 所以 sin BAP 3sin 12019 3 5738 . 方法二，如图 D107，作 AD BC, 垂足为点 D. 图 D107 因为 APC 是边长为 2 的等边三角形， 所以 PD 1， AD 3， PAD 30. 因为 APB 的面积是 3 32 ， 所以 12 AD PB 3 32 . 所以 PB 3.所以 BD 4. 在 Rt ADB 中， AB BD2 AD2 19， 所以 sin BAD BDAB 419， cos BAD ADAB 319. 所以 sin BAP sin( BAD 30) sin BADcos 30 cos BADsin 30 419 32 319 12 3 5738 .
