1、,不等式、推理与证明,第 六 章,第38讲数学归纳法,栏目导航,一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立,1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明不等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应该为122223.(),
2、解析 (1)错误用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n1.(2)错误不一定所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明(3)错误不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数的增加根据题目而定(4)正确用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223是正确的,C,3用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时，应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析 由条件知，左
3、边从20,21到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，而右边应为2k11.,D,B,5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)时命题为真，进而需证n_时，命题亦真解析 因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.,2k1,数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过
4、程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法,一数学归纳法证明等式,【例1】 求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明 当n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任意nN*都成立,二数学归纳法证明不等式,(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考
5、虑应用数学归纳法(2)数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明,三归纳猜想证明,“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式,3将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和
6、如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，,解析 由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：当n1时，S1114，等式成立假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，所以当nk1时，等式也成立根据和，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立,4已知函数f(x)xxln x，数列an满足00，故f(x)在x(0,1)时为单调递增函数下面用数学归纳法证明：对任意nN*，不等式0a10，且有a2f(a1)a1a1ln a1f(1)1，即0a21，不等式也成立,假设当nk(kN*)时，有00，所以有0ak1ak21，不等式也成立综合知，对任意nN*，不等式0an1都成立,错因分析：归纳时找不准规律；使用数学归纳法时，不能完成由nk到nk1的转化,易错点归纳不准,
